Сюрреалистический номер

Визуализация сюрреалистического числового дерева.

В математике сюрреалистическая счисления система представляет собой полностью упорядоченный собственный класс, содержащий не только действительные числа , но также бесконечные и бесконечно малые числа , соответственно большие или меньшие по абсолютной величине, чем любое положительное действительное число. Исследование эндшпиля Го, проведенное Джоном Хортоном Конвеем, привело к оригинальному определению и построению сюрреалистических чисел. Конструкция Конвея была представлена ​​в книге Дональда Кнута 1974 года « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье» .

Сюрреалистические объекты имеют много общих свойств с реальными, включая обычные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление); как таковые, они образуют упорядоченное поле . Если сюрреалистические числа сформулированы в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя , они представляют собой универсальное упорядоченное поле в том смысле, что все другие упорядоченные поля, такие как рациональные числа, действительные числа, рациональные функции , поле Леви-Чивита , сверхдействительные числа (включая гипердействительные числа ) могут быть реализованы как подполя сюрреалистических явлений. Сюрреалистические изображения также содержат все трансфинитные порядковые числа ; арифметика над ними задается естественными операциями . Также было показано (в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя), что гипервещественное поле максимального класса изоморфно сюрреалистическому полю максимального класса.

История концепции

Исследование эндшпиля Го, проведенное Джоном Хортоном Конвеем, привело к оригинальному определению и построению сюрреалистических чисел. Конструкция Конвея была представлена ​​в книге Дональда Кнута 1974 года « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье» . В своей книге, оформленной в форме диалога, Кнут ввёл термин «сюрреалистические числа» для обозначения того, что Конвей называл просто числами . Позже Конвей принял термин Кнута и использовал сюрреалистические изображения для анализа игр в своей книге 1976 года « О числах и играх» .

Отдельный путь к определению сюрреализма начался в 1907 году, когда Ганс Хан ввел ряды Хана как обобщение формальных степенных рядов , а Феликс Хаусдорф ввел определенные упорядоченные множества, называемые η _α -множествами для ординалов α , и спросил, можно ли найти совместимые множества. упорядоченная групповая или полевая структура. В 1962 году Норман Аллинг использовал модифицированную форму рядов Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определенными ординалами α, а в 1987 году он показал, что если взять α в качестве класса всех ординалов в его конструкции, то получится класс, который является упорядоченным полем. изоморфны сюрреалистическим числам.

Если сюрреалистические объекты рассматриваться как «всего лишь» реальное закрытое поле размера подходящего класса, то в статье Аллинга 1962 года рассматривается случай сильно недоступных кардиналов, которые естественным образом можно рассматривать как собственные классы, отсекая кумулятивную иерархию вселенной на одну ступень выше Кардинал, и, соответственно, Аллинг заслуживает большой похвалы за открытие/изобретение сюрреализма в этом смысле. Однако в сюрреалистических изображениях есть важная дополнительная полевая структура, которая не видна через эту линзу, а именно понятие «дня рождения» и соответствующее естественное описание сюрреалистических изображений как результата процесса заполнения разрезов в течение их дней рождения, данное формулой Конвей. Эта дополнительная структура стала фундаментальной для современного понимания сюрреалистических чисел, и, таким образом, Конвею принадлежит заслуга открытия сюрреалистических чисел, какими мы их знаем сегодня - сам Аллинг полностью отдает должное Конвею в статье 1985 года, предшествующей его книге на эту тему.

Описание

В конструкции Конвея сюрреалистические числа строятся поэтапно вместе с упорядочиванием ≤ таким, что для любых двух сюрреалистических a и b чисел a ≤ b или b ≤ a . (Оба могут иметь место, и в этом случае a и b эквивалентны и обозначают одно и то же число.) Каждое число формируется из упорядоченной пары уже построенных подмножеств чисел: заданы подмножества чисел L и R такие, что все члены L являются строго меньше всех членов R , то пара { L | R } представляет число, промежуточное по значению между всеми членами L и всеми членами R .

Разные подмножества могут определять одно и то же число: { L | р } и { L' | R′ } может определять одно и то же число, даже если L ≠ L′ и R ≠ R′ . (Аналогичное явление происходит, когда рациональные числа определяются как частное целых чисел: ⁠ 1/2 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2/4 классы ⁠ — это разные представления одного и того же рационального числа.) Итак, строго говоря, сюрреалистические числа — это эквивалентности представлений вида { L | R }, которые обозначают одно и то же число.

На первом этапе построения ранее существовавших чисел нет, поэтому единственное представление должно использовать пустой набор: { | } . Это представление, где L и R пусты, называется 0. Последующие этапы дают такие формы, как

{ 0 | } = 1

{ 1 | } = 2

{ 2 | } = 3

и

{ | 0 } = −1

{ | −1 } = −2

{ | −2 } = −3

Таким образом, целые числа содержатся в сюрреалистических числах. (Вышеупомянутые тождества являются определениями в том смысле, что правая часть является именем левой части. То, что имена действительно подходят, станет очевидным, когда будут определены арифметические операции над сюрреалистическими числами, как в разделе ниже. ). Аналогично, такие представления, как

{ 0 | 1 } = ⁠ 1 / 2 ⁠

{ 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠ } = ⁠ 1 / 4 ⁠

{ ⁠ 1 / 2 ⁠ | 1 } = ⁠ 3 / 4 ⁠

возникают, так что двоичные рациональные числа (рациональные числа, знаменателями которых являются степени 2) содержатся в сюрреалистических числах.

После бесконечного числа этапов становятся доступными бесконечные подмножества, так что любое действительное число a можно представить как { L _a | Ра _} , где L _a — множество всех двоично-рациональных чисел, меньших a , и Ra _a — множество всех двоичных рациональных чисел, больших ( напоминает разрез Дедекинда ). Таким образом, реальные числа также встроены в сюрреалистические.

Существуют также такие представления, как

{ 0, 1, 2, 3, ... | } = ω

{ 0 | 1, ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 4 ⁠ , ⁠ 1 / 8 ⁠ , ... } знак равно е

где ω — трансфинитное число, большее всех целых чисел, а ε — бесконечно малое, большее 0, но меньше любого положительного действительного числа. Более того, стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) можно распространить на эти недействительные числа таким образом, что совокупность сюрреалистических чисел превратится в упорядоченное поле, так что можно будет говорить о 2 ω или ω. − 1 и так далее.

Строительство

Сюрреалистические числа конструируются индуктивно как классы эквивалентности пар . наборов сюрреалистических чисел, ограниченные условием, что каждый элемент первого набора меньше, чем каждый элемент второго набора Конструкция состоит из трех взаимозависимых частей: правила построения, правила сравнения и правила эквивалентности.

Формы

Форма — это пара наборов сюрреалистических чисел, называемых левым набором и правым набором . Форма с левым множеством L и правым множеством R записывается { L | Р } . Если L и R заданы в виде списков элементов, скобки вокруг них опускаются.

Один или оба левого и правого набора формы могут быть пустым набором. Форма { { } | { } } с пустым левым и правым набором также записывается { | } .

Числовые формы и их классы эквивалентности

Правило построения

Форма { L | R } является числовым, если пересечение L и R представляет собой пустое множество и каждый элемент R больше, чем каждый элемент L , в соответствии с отношением порядка ≤, заданным правилом сравнения ниже.

Числовые формы помещаются в классы эквивалентности; каждый такой класс эквивалентности является сюрреалистическим числом . Элементы левого и правого множеств формы взяты из вселенной сюрреалистических чисел (не форм , а классов их эквивалентности ).

Правило эквивалентности

Две числовые формы x и y являются формами одного и того же числа (принадлежат одному и тому же классу эквивалентности) тогда и только тогда, когда оба x ≤ y и y ≤ x .

Отношение порядка должно быть антисимметричным , т. е. оно должно обладать свойством x = y (т. е. x ≤ y и y ≤ x оба являются истинными) только тогда, когда x и y являются одним и тем же объектом. Это не относится к формам сюрреалистических чисел , но верно по построению для сюрреалистических чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности, содержащий { | } помечен как 0; другими словами, { | } — это форма сюрреалистического числа 0.

Заказ

Рекурсивное определение сюрреалистических чисел завершается определением сравнения:

Даны числовые формы x = { X _L | Икс _р } и у знак равно { Y _L | Y _R }, x ≤ y тогда и только тогда, когда оба:

• Не существует x _L ∈ X _L такого, что y ≤ x _L . То есть каждый элемент в левой части x строго меньше y .
• Не существует y _R ∈ Y _R такого, что y _R ≤ x . То есть каждый элемент в правой части y строго больше x .

Сюрреалистические числа можно сравнивать друг с другом (или с числовыми формами), выбирая числовую форму из своего класса эквивалентности для представления каждого сюрреалистического числа.

Индукция

Эта группа определений является рекурсивной и требует некоторой формы математической индукции для определения вселенной объектов (форм и чисел), которые встречаются в них. Единственные сюрреалистические числа, достижимые с помощью конечной индукции, — это двоичные дроби ; более широкая Вселенная достижима при наличии некоторой формы трансфинитной индукции .

Правило индукции

• Существует поколение S ₀ = { 0 }, в котором 0 состоит из единственной формы { | }.
• Учитывая любой порядковый номер n , поколение Sn _{подмножеств} — это набор всех сюрреалистических чисел, которые генерируются по правилу построения из ${\textstyle \bigcup _{i<n}S_{i}}$.

Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, где 0 считается меткой «наименьшего порядкового номера». Поскольку не существует S _i с i < 0, выражение ${\textstyle \bigcup _{i<0}S_{i}}$ – пустое множество; единственным подмножеством пустого множества является пустое множество, и поэтому S ₀ состоит из единственной сюрреалистической формы { | } лежащий в одном классе эквивалентности 0.

Для каждого конечного порядкового числа n , Sn _{упорядочиванию} благодаря хорошо упорядочен индуцированному правилом сравнения сюрреалистических чисел.

Первая итерация правила индукции дает три числовые формы { | 0 } < { | } < { 0 | } (форма { 0 | 0 } нечисловая, поскольку 0 ≤ 0). Класс эквивалентности, содержащий { 0 | } помечен цифрой 1, а класс эквивалентности, содержащий { | 0 } помечен как −1. Эти три метки имеют особое значение в аксиомах, определяющих кольцо ; это аддитивное тождество (0), мультипликативное тождество (1) и аддитивное обратное 1 (−1). Определенные ниже арифметические операции соответствуют этим меткам.

Для каждого i < n , поскольку каждая допустимая форма в Si _также является допустимой формой в , _Sn все числа из также _Si в Sn _{появляются} (как надмножества их представления в Si ₎ . (В нашем правиле построения появляется выражение объединения множеств, а не более простая форма S _{n −1} , так что определение также имеет смысл, когда n является предельным ординалом .) Числа из Sn _, которые являются надмножеством некоторого числа из S _i Говорят, что они были унаследованы от поколения i . Наименьшее значение α, при котором данное сюрреалистическое число появляется в S _α, называется его днем ​​рождения . Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения −1 равен 1.

Вторая итерация правила построения дает следующий порядок классов эквивалентности:

{ | −1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1 }

< { | 0 } = { | 0, 1 }

< { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 }

< { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 }

< { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 }

< { 0 | } = { −1, 0 | }

< { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }

Сравнение этих классов эквивалентности является последовательным независимо от выбора формы. Далее следуют три наблюдения:

1. S ₂ содержит четыре новых сюрреалистических номера. Два содержат экстремальные формы: { | −1, 0, 1 } содержит все числа предыдущих поколений в своем правом наборе, а { −1, 0, 1 | } содержит все числа предыдущих поколений в левом наборе. Остальные имеют форму, разделяющую все числа предыдущих поколений на два непустых набора.
2. Каждое сюрреалистическое число x, существовавшее в предыдущем «поколении», существует также и в этом поколении и включает в себя по крайней мере одну новую форму: разделение всех чисел, отличных от x, из предыдущих поколений на левый набор (все числа меньше x ) и правильный набор (все числа больше x ).
3. Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неофициальные интерпретации { 1 | } и { | −1 } — это «число сразу после 1» и «число сразу перед −1» соответственно; их классы эквивалентности обозначены 2 и −2. Неформальные интерпретации { 0 | 1 } и { −1 | 0 } — это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между -1 и 0» соответственно; их классы эквивалентности обозначены ⁠ 1 / 2 ⁠ и − ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Эти ярлыки также будут оправданы приведенными ниже правилами сюрреалистического сложения и умножения.

Классы эквивалентности на каждом этапе n индукции можно охарактеризовать своими n - полными формами (каждая из которых содержит как можно больше элементов предыдущих поколений в своих левых и правых множествах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений в своем левом или правом наборе, и в этом случае это первое поколение, в котором это число встречается; или оно содержит все числа предыдущих поколений, кроме одного, и в этом случае это новая форма этого одного числа. Мы сохраняем метки предыдущего поколения для этих «старых» номеров и записываем приведенный выше порядок, используя старые и новые метки:

−2 < −1 < − ⁠ 1 / 2 ⁠ < 0 < ⁠ 1/2 < 1 < 2 ⁠ .

Третье наблюдение распространяется на все сюрреалистические числа с конечными левым и правым множествами. (Для бесконечных левых или правых множеств это справедливо в измененной форме, поскольку бесконечные множества могут не содержать ни максимального, ни минимального элемента.) Число { 1, 2 | 5, 8 } поэтому эквивалентно { 2 | 5 }; можно установить, что это формы числа 3, используя свойство дня рождения , что является следствием приведенных выше правил.

Недвижимость на день рождения

Форма х = { L | R }, встречающееся в поколении n, представляет число, унаследованное от более раннего поколения i < n когда существует некоторое число в Si _, которое больше, чем все элементы L , и меньше, чем все элементы R. , тогда и только тогда , (Другими словами, если L и R уже разделены числом, созданным на более раннем этапе, то x представляет собой не новое число, а уже созданное.) Если x представляет число из любого поколения, предшествующего n , существует наименьшее такое поколение i и ровно одно число c с этим наименьшим i в качестве дня рождения, которое находится между L и R ; x является формой этого c . Другими словами, оно лежит в классе эквивалентности в Sn _, который является надмножеством представления c в поколении i .

Арифметика

Сложение, отрицание (аддитивное обратное) и умножение сюрреалистических чисел образуют x = { X _L | Икс _р } и у знак равно { Y _L | Y _R } определяются тремя рекурсивными формулами.

Отрицание

Отрицание данного числа x = { X _L | X _R } определяется формулой

$-x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}=\{-X_{R}\mid -X_{L}\},$

где отрицание набора чисел S задается набором отрицаемых элементов S :

$-S=\{-s:s\in S\}.$

Эта формула включает в себя отрицание сюрреалистических чисел, появляющихся в левом и правом наборах x , что следует понимать как результат выбора формы числа, оценки отрицания этой формы и принятия класса эквивалентности полученного числа. форма. Это имеет смысл только в том случае, если результат один и тот же, независимо от выбора формы операнда. Это можно доказать индуктивно, используя тот факт, что числа, встречающиеся в X _L и X _R, взяты из поколений, более ранних, чем то, в котором форма x впервые встречается, и наблюдая особый случай:

$-0=-\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0.$

Добавление

Определение сложения также является рекурсивной формулой:

$x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\},$

где

$X+y=\{x+y:x\in X\},\quad x+Y=\{x+y:y\in Y\}$.

Эта формула включает в себя суммы одного из исходных операндов и сюрреалистического числа, взятого из левого или правого набора другого. Это можно доказать индуктивно в особых случаях:

$0+0=\{{}\mid {}\}+\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0$

$x+0=x+\{{}\mid {}\}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x$

$0+y=\{{}\mid {}\}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y$

Например:

⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | 1 } + { 0 | 1 } = { ⁠ 1 / 2 ⁠ | ⁠ 3 / 2 ⁠ },

который по свойству дня рождения имеет форму 1. Это оправдывает метку, использованную в предыдущем разделе.

Умножение

Умножение также можно определить рекурсивно, начиная с особых случаев, включающих 0, мультипликативное тождество 1 и его аддитивное обратное -1:

${\begin{aligned}xy&=\{X_{L}\mid X_{R}\}\{Y_{L}\mid Y_{R}\}\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}\mid X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}$

Формула содержит арифметические выражения, включающие операнды и их левый и правый наборы, например выражение $X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}$ который появляется в левом наборе произведения x и y . Под этим понимается набор чисел, генерируемый путем выбора всех возможных комбинаций членов $X_{R}$ и $Y_{R}$и подставив их в выражение.

Например, чтобы показать, что квадрат ⁠ 1 / 2 ⁠ это ⁠ 1 / 4 ⁠ :

⁠ 1 / 2 ⁠ ⋅ ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | 1 } ⋅ { 0 | 1 } = { 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠ } = ⁠ 1 / 4 ⁠ .

Разделение

Определение деления осуществляется с точки зрения обратного и умножения:

${\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}$

где

${\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}$

для положительного y . только положительные значения y _L В формуле разрешены , при этом любые неположительные члены игнорируются (а y _R всегда положительны). Эта формула включает в себя не только рекурсию с точки зрения возможности деления на числа из левого и правого наборов y , но также рекурсию, заключающуюся в том, что члены левого и правого наборов y ⁠ 1 / у ⁠ сам. 0 всегда является членом левого набора ⁠ 1 / y ⁠ , и это можно использовать для поиска большего количества терминов рекурсивным способом. Например, если y = 3 = { 2 | }, то мы знаем левый член ⁠ 1/3 , означает ⁠ будет 0. Это, в свою очередь ⁠ 1 + (2 − 3)0 / 2 ⁠ = ⁠ 1/2 ⁠ — . правильный термин Это означает

${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}$

это левый термин. Это означает

${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}$

будет правильным термином. Продолжая, это дает

${\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}$

Для отрицательного y , ⁠ 1 / y ⁠ определяется выражением

${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Если у = 0, то ⁠ 1 / y ⁠ не определено.

Последовательность

Можно показать, что определения отрицания, сложения и умножения последовательны в том смысле, что:

• Сложение и отрицание определяются рекурсивно в терминах «более простых» шагов сложения и отрицания, так что операции над числами с днем ​​рождения n в конечном итоге будут полностью выражены в терминах операций с числами с днями рождения меньше n ;
• Умножение определяется рекурсивно с помощью сложений, отрицаний и «более простых» шагов умножения, так что произведение чисел со днем ​​рождения n в конечном итоге будет полностью выражено через суммы и разности произведений чисел со днями рождения меньше n ;
• Пока операнды представляют собой четко определенные формы сюрреалистических чисел (каждый элемент левого набора меньше, чем каждый элемент правого набора), результаты снова представляют собой четко определенные формы сюрреалистических чисел;
• Операции могут быть распространены на числа (классы эквивалентности форм): результат отрицания x или сложения или умножения x и y будет представлять одно и то же число независимо от выбора формы x и y ; и
• Эти операции подчиняются аксиомам ассоциативности, коммутативности, аддитивной обратной и дистрибутивности в определении поля с аддитивным тождеством 0 = { | } и мультипликативное тождество 1 = { 0 | }.

С помощью этих правил теперь можно убедиться, что числа, найденные в первых нескольких поколениях, были правильно помечены. Правило построения повторяется, чтобы получить больше поколений сюрреализма:

С ₀ = { 0 }

S ₁ = { −1 < 0 < 1 }

S ₂ = { −2 < −1 < − ⁠ 1 / 2 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 2 ⁠ < 1 < 2}

S ₃ = { −3 < −2 < − ⁠ 3 / 2 ⁠ < −1 < − ⁠ 3 / 4 ⁠ < - ⁠ 1 / 2 ⁠ < - ⁠ 1 / 4 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < 1 < ⁠ 3 / 2 ⁠ < 2 < 3 }

S ₄ = { −4 < −3 < ... < − ⁠ 1 / 8 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 5 / 8 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < ⁠ 7 / 8 ⁠ < 1 < ⁠ 5 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 2 ⁠ < ⁠ 7 / 4 ⁠ < 2 < ⁠ 5 / 2 ⁠ < 3 < 4 }

Арифметическое замыкание

Для каждого натурального числа (конечного порядкового номера) n все числа, порожденные в S _n, являются двоичными дробями , т. е. могут быть записаны как несократимая дробь. ⁠ a / 2 ^б ⁠ , где a и b — целые числа и 0 ≤ b < n .

Множество всех сюрреалистических чисел, которые генерируются в некотором Sn _можно для конечного n, обозначить как ${\textstyle S_{*}=\bigcup _{n\in N}S_{n}}$. Можно образовать три класса

${\begin{aligned}S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}$

из которых S _∗ является объединением. Ни один отдельный экземпляр не _Sn является замкнутым относительно сложения и умножения (кроме S ₀ ), а S _∗ замкнут; это подкольцо рациональных чисел, состоящее из всех двоичных дробей.

Существуют бесконечные порядковые числа β, для которых множество сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше β замкнуто относительно различных арифметических операций. Для любого порядкового числа α множество сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше β = ω ^а (с использованием степеней ω ) замкнуто относительно сложения и образует группу; на день рождения меньше ω ^{ой а} он замкнут при умножении и образует кольцо; а для дней рождения, меньших (порядкового) эпсилон-числа ε _α, оно замкнуто относительно мультипликативного обратного и образует поле. Последние множества также замкнуты относительно показательной функции, определенной Крускалом и Гоншором.

Однако всегда можно создать сюрреалистическое число, большее, чем любой член набора сюрреалистических чисел (путем включения набора в левой части конструктора), и, таким образом, коллекция сюрреалистических чисел является подходящим классом . Со своим упорядочиванием и алгебраическими операциями они составляют упорядоченное поле , с оговоркой, что они не образуют множества . Фактически это самое большое упорядоченное поле, поскольку каждое упорядоченное поле является подполем сюрреалистических чисел. Класс всех сюрреалистических чисел обозначается символом $\mathbb {No}$.

Бесконечность

Определим S _ω как набор всех сюрреалистических чисел, порожденных правилом построения из подмножеств S _∗ . (Это тот же индуктивный шаг, что и раньше, поскольку порядковый номер ω — это наименьший порядковый номер, который больше всех натуральных чисел; однако объединение множеств, появляющееся на индуктивном шаге, теперь представляет собой бесконечное объединение конечных множеств, и поэтому этот шаг может быть выполнено только в теории множеств, допускающей такое объединение.) В S _ω встречается единственное бесконечно большое положительное число :

$\omega =\{S_{*}\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots \mid {}\}.$

S _ω также содержит объекты, которые можно идентифицировать как рациональные числа . Например, ω-полная форма дроби ⁠ 1 / 3 ⁠ определяется как:

${\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3y<1\mid y\in S_{*}:3y>1\}.$

Продукт этой формы ⁠ 1/3 — это форма , с любой формой 3 ⁠ левый набор которой содержит только числа меньше 1, а правый набор содержит только числа больше 1; Свойство дня рождения подразумевает, что этот продукт имеет форму 1.

Мало того, что все остальные рациональные числа появляются в S _ω ; остальные конечные действительные числа тоже. Например,

$\pi =\left\{3,{\tfrac {25}{8}},{\tfrac {201}{64}},\ldots \mid 4,{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {13}{4}},{\tfrac {51}{16}},\ldots \right\}.$

Единственные бесконечности в S _ω — это ω и − ω ; есть и другие недействительные числа в S _ω но среди действительных чисел . Рассмотрим наименьшее положительное число в S _ω :

$\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}\mid S_{+}\}=\left\{0\mid 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots \right\}=\{0\mid y\in S_{*}:y>0\}$.

Это число больше нуля, но меньше всех положительных двоичных дробей. Следовательно, это бесконечно малое число, часто обозначаемое ε . ω - полная -полная форма ε (соответственно − ε ) такая же, как ω форма 0, за исключением того, что 0 включен в левое (соответственно правое) множество. Единственными «чистыми» бесконечно малыми числами в S _ω являются ε и его аддитивное обратное − ε ; добавление их к любой двоичной дроби y дает числа y ± ε , которые также лежат в S _ω .

Можно определить связь между ω и ε, умножая отдельные их формы и получая:

ω · ε знак равно { ε · S ₊ | ω · S ₊ + S _∗ + ε · S _∗ }.

Это выражение четко определено только в теории множеств, которая допускает трансфинитную индукцию до S _{ω. ²} . В такой системе можно продемонстрировать, что все элементы левого множества ω S _ω · S _ω ε являются положительными бесконечно малыми числами, а все элементы правого множества являются положительными бесконечностями, и, следовательно, ω S _ω · S _ω ε является самое старое положительное конечное число, 1. Следовательно, ⁠ 1 / ε ⁠ = ω. Некоторые авторы систематически используют ω ⁻¹ вместо символа ε.

Содержание S _ω

Учитывая любой x = { L | R } в S _ω верно ровно одно из следующих утверждений:

• L и R пусты, и в этом случае x = 0;
• R пуст, и некоторое целое число n ≥ 0 больше, чем каждый элемент L , и в этом случае x равно наименьшему такому целому числу n ;
• R пуст, и никакое целое число n не больше, чем каждый элемент L , и в этом случае x равно +ω;
• L пуст, и некоторое целое число n ≤ 0 меньше, чем каждый элемент R , и в этом случае x равно наибольшему такому целому числу n ;
• L пуст, и никакое целое число n не меньше каждого элемента R , и в этом случае x равно −ω;
• L и R непусты, и:
  • Некоторая двоичная дробь y находится «строго между» L и R (больше, чем все элементы L и меньше, чем все элементы R ), и в этом случае x равно самой старой такой двоичной дроби y ;
  • Никакая двоичная дробь y не лежит строго между L и R , но некоторая двоичная дробь $y\in L$ больше или равно всем элементам L и меньше всех элементов R , и в этом случае x равно y + ε ;
  • Никакая двоичная дробь y не лежит строго между L и R , но некоторая двоичная дробь $y\in R$ больше всех элементов L и меньше или равно всем элементам R , и в этом случае x равно y - ε;
  • Каждая двоичная дробь либо больше некоторого элемента из R , либо меньше некоторого элемента из L , и в этом случае x — некоторое действительное число, которое не имеет представления в виде двоичной дроби.

Sω _; не является алгебраическим полем, поскольку не замкнуто относительно арифметических операций рассмотрим ω+1, форма которого

$\omega +1=\{1,2,3,4,...\mid {}\}+\{0\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots ,\omega \mid {}\}$

не лежит ни в одном числе Sω _. из Максимальное подмножество S _ω, замкнутое относительно (конечной серии) арифметических операций, представляет собой поле действительных чисел, полученное путем исключения бесконечностей ± ω, бесконечно малых ± ε и бесконечно малых соседей y ± ε каждой ненулевой двоичной дроби. й .

Эта конструкция действительных чисел отличается от дедекиндовых сокращений стандартного анализа тем, что она начинается с двоичных дробей, а не из общих рациональных чисел, и естественным образом идентифицирует каждую двоичную дробь в S _ω с ее формами в предыдущих поколениях. (ω-полные формы действительных элементов S _ω находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, полученными дедекиндовыми разрезами, при условии, что дедекиндовские действительные числа, соответствующие рациональным числам, представлены в форме, в которой точка разреза опущена. как из левого, так и из правого множества.) Рациональное мышление не является идентифицируемой стадией сюрреалистической конструкции; они представляют собой просто подмножество Q в S _ω, содержащее все элементы x такие, что x b = a для некоторого a и некоторого ненулевого b , оба взятые из S _∗ . Демонстрируя, что Q замкнуто при отдельных повторениях сюрреалистических арифметических операций, можно показать, что это поле; и показав, что каждый элемент Q достижим из S _∗ с помощью конечной серии (фактически не длиннее двух) арифметических операций включая мультипликативную инверсию , можно показать, что Q строго меньше подмножества S _ω, отождествляемого с действительными числами.

Множество S _ω имеет ту же мощность , что и действительные числа R . демонстрируя сюръективные отображения S _ω в замкнутый единичный интервал I R Это можно продемонстрировать , и наоборот. Отображение S _ω на I является обычным делом; отображает числа, меньшие или равные ε (включая −ω), в 0, числа, большие или равные 1 − ε (включая ω), в 1, а числа между ε и 1 − ε в их эквивалент в I (сопоставляя бесконечно малые соседи y ±ε каждой двоичной дроби y вместе с самим y до y ). Чтобы отобразить I на S _ω , отобразите (открытую) центральную треть ( ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ ) из I на { | } = 0; центральная треть ( ⁠ 7 / 9 ⁠ , ⁠ 8 / 9 ⁠ ) верхней трети до { 0 | } = 1; и так далее. Это монотонно отображает непустой открытый интервал I на каждый элемент S _∗ . Остаток I состоит из канторового множества 2 ^ой , каждая точка которого однозначно идентифицируется разбиением интервалов центральной трети на левое и правое множества, что в точности соответствует виду { L | R } в S _ω . Это ставит множество Кантора во взаимно однозначное соответствие множеству сюрреалистических чисел с днем ​​рождения ω.

Трансфинитная индукция

Продолжение выполнения трансфинитной индукции за пределами S _ω дает больше порядковых чисел α, каждое из которых представлено как наибольшее сюрреалистическое число, имеющее день рождения α. (По сути, это определение порядковых чисел, возникающих в результате трансфинитной индукции.) Первый такой порядковый номер — это ω+1 = { ω | }. В поколении ω+1 есть еще одно положительное бесконечное число:

ω - 1 знак равно { 1, 2, 3, 4, ... | ой }.

Сюрреалистическое число ω − 1 не является порядковым; ординал ω не является преемником какого-либо ординала. Это сюрреалистическое число с днем ​​рождения ω+1, которое обозначено ω − 1 на том основании, что оно совпадает с суммой ω = { 1, 2, 3, 4, ... | } и −1 = { | 0 } . Аналогично, в поколении ω + 1 есть два новых бесконечно малых числа:

2ε знак равно ε + ε знак равно { ε | 1 + е, ⁠ 1/2 ⁠ а , + ⁠ 1/4 ⁠ а + , ⁠ 1/8 и } ⁠ + ε, ...

⁠ ε / 2 ⁠ знак равно ε · ⁠ 1 / 2 ⁠ знак равно { 0 | е}.

существует число, большее, чем ω + k На более позднем этапе трансфинитной индукции для всех натуральных чисел k :

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ... | }

Это число можно обозначить как ω + ω как потому, что его день рождения — ω + ω (первое порядковое число, не достижимое из ω с помощью операции-преемника), так и потому, что оно совпадает с сюрреалистической суммой ω и ω; его также можно обозначить как 2ω, поскольку оно совпадает с произведением ω = { 1, 2, 3, 4, ... | } и 2 = { 1 | } . Это второй предельный порядковый номер; достижение его из ω на этапе построения требует трансфинитной индукции по

$\bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k}$

Это предполагает бесконечное объединение бесконечных множеств, что является «более сильной» теоретико-множественной операцией, чем требовала предыдущая трансфинитная индукция.

Обратите внимание, что обычное сложение и умножение ординалов не всегда совпадает с этими операциями над их сюрреалистическими представлениями. Сумма ординалов 1 + ω равна ω, но сюрреалистическая сумма коммутативна и дает 1 + ω = ω + 1 > ω. Сложение и умножение сюрреалистических чисел, связанных с ординалами, совпадает с натуральной суммой и натуральным произведением ординалов.

Так же, как 2ω больше, чем ω + n для любого натурального числа n , существует сюрреалистическое число ⁠ ω / 2 ⁠, которое бесконечно, но меньше ω − n для любого натурального числа n . То есть, ⁠ ω / 2 ⁠ определяется формулой

⁠ ω / 2 ⁠ знак равно { S _* | ω − S _∗ }

где в правой части обозначение x − Y используется для обозначения { x − y : y ∈ Y } . Его можно определить как произведение ω и формы { 0 | 1 } из ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . День рождения ⁠ ω / 2 ⁠ — предельный ординал ω2.

Степени ω и нормальная форма Конвея

Чтобы классифицировать «порядки» бесконечных и бесконечно малых сюрреалистических чисел, также известные как архимедовы классы, Конвей связал каждое сюрреалистическое число x сюрреалистическое число.

• ой ^х = { 0, р ω ^{х _л} | так ​ ^{х _Р} },

где r и s варьируются в пределах положительных действительных чисел. Если x < y, то ω ^и «бесконечно больше» ω ^х , поскольку оно больше r ω ^х для всех действительных чисел r . Степени ω также удовлетворяют условиям

• ой ^х ой ^и = о ^{х + у} ,
• ой ^{− х} = ⁠ 1 / о ^х ⁠ ,

поэтому они ведут себя так, как можно было бы ожидать от властей.

Каждая степень ω также имеет положительную особенность: она является простейшим сюрреалистическим числом в своем архимедовом классе; и наоборот, каждый архимедов класс внутри сюрреалистических чисел содержит уникальный простейший член. Таким образом, для каждого положительного сюрреалистического числа x всегда будет существовать некоторое положительное действительное число r и некоторое сюрреалистическое число y, так что x − r ω ^и «бесконечно меньше», чем x . Показатель y - это «логарифм по основанию ω» x , определенный на положительных сюрреалистических изображениях; можно продемонстрировать, что log _ω отображает позитивные сюрреалистические изображения на сюрреалистические и что

журнал _ω ( xy ) = журнал _ω ( x ) + журнал _ω ( y ).

Это расширяется с помощью трансфинитной индукции, так что каждое сюрреалистическое число имеет «нормальную форму», аналогичную нормальной форме Кантора для порядковых чисел. Это нормальная форма Конвея: каждое сюрреалистическое число x можно однозначно записать как

х знак равно р ₀ ω ^{й ₀} + р ₁ ω ^{у ₁} + ...,

где каждое rα _— ненулевое действительное число, а образуют _yαs строго убывающую последовательность сюрреалистических чисел. Однако эта «сумма» может иметь бесконечное число членов и вообще имеет длину произвольного порядкового числа. (Ноль, конечно, соответствует случаю пустой последовательности и является единственным сюрреалистическим числом без ведущего показателя.)

С этой точки зрения сюрреалистические числа напоминают поле степенных рядов , за исключением того, что убывающая последовательность показателей должна быть ограничена по длине порядковым номером и не может быть такой же длины, как класс порядковых чисел. Это является основой для формулировки сюрреалистических чисел в виде ряда Хана .

Пробелы и преемственность

В отличие от действительных чисел, (правильное) подмножество сюрреалистических чисел не имеет минимальной верхней (или нижней) границы, если оно не имеет максимального (минимального) элемента. Конвей определяет разрыв как { L | R } такой, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент R , и $L\cup R=\mathbb {No}$; это не число, поскольку хотя бы одна из сторон принадлежит правильному классу. Хотя пробелы и похожи, но это не совсем то же самое, что разрезы Дедекинда . но мы все еще можем говорить о завершении $\mathbb {No} _{\mathfrak {D}}$ сюрреалистических чисел с естественным порядком, который представляет собой линейный континуум (соответствующего размера класса) .

Например, не существует наименее положительного бесконечного сюрреализма, но существует разрыв

$\{x:\exists n\in \mathbb {N} :x<n\mid x:\forall n\in \mathbb {N} :x>n\}$

больше, чем все действительные числа, и меньше, чем все положительные бесконечные сюрреалистические числа, и, таким образом, является наименьшей верхней границей действительных чисел в $\mathbb {No} _{\mathfrak {D}}$. Аналогично, разрыв $\mathbb {On} =\{\mathbb {No} \mid {}\}$ больше, чем все сюрреалистические числа. (Это эзотерический каламбур : в общей конструкции ординалов α «является» набором ординалов, меньших, чем α, и мы можем использовать эту эквивалентность, чтобы записать α = { α | } в сюрреалистических реалиях; $\mathbb {On}$ обозначает класс порядковых чисел, и поскольку $\mathbb {On}$ является конфинальным в $\mathbb {No}$ у нас есть $\{\mathbb {No} \mid {}\}=\{\mathbb {On} \mid {}\}=\mathbb {On}$ в расширении.)

С некоторой теоретико-множественной осторожностью, $\mathbb {No}$ может быть оснащен топологией, в которой открытые множества представляют собой объединения открытых интервалов (индексированных собственными множествами) и могут быть определены непрерывные функции. Также можно определить эквивалент последовательностей Коши , хотя они должны быть проиндексированы классом ординалов; они всегда будут сходиться, но предел может быть либо числом, либо пробелом, который можно выразить как

$\sum _{\alpha \in \mathbb {No} }r_{\alpha }\omega ^{a_{\alpha }}$

с и _{уменьшением α} отсутствием нижней границы в $\mathbb {No}$. (Все такие пробелы можно понимать как сами последовательности Коши, но существуют и другие типы пробелов, которые не являются пределами, такие как ∞ и $\mathbb {On}$).

Экспоненциальная функция

Основываясь на неопубликованной работе Крускала конструкцию (посредством трансфинитной индукции), которая расширяет действительную экспоненциальную функцию exp( x ) (с основанием e ) на сюрреалистические объекты. , Гоншор осуществил

Другие экспоненты

Степени функции ω также являются показательной функцией, но не обладают свойствами, необходимыми для расширения функции на действительные числа. Однако она понадобится при построении экспоненты по основанию e , и именно эта функция имеется в виду всякий раз, когда используется обозначение ω ^х используется в следующем.

Когда y — двоичная дробь, степенная функция x ∈ $\mathbb {No}$, х ↦ х ^и может состоять из умножения, обратного мультипликативного выражения и квадратного корня, все из которых могут быть определены индуктивно. Его значения полностью определяются основным соотношением x ^y+z = х ^и · х ^С , и там, где оно определено, оно обязательно согласуется с любым другим возведением в степень , которое может существовать.

Базовая индукция

Шаги индукции для сюрреалистической экспоненты основаны на разложении в ряд реальной экспоненты:

$\exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}$

точнее, те частичные суммы, которые с помощью базовой алгебры можно показать как положительные, но меньшие, чем все последующие. Для положительных значений x они обозначаются [ x ] _n и включают все частичные суммы; для x отрицательного, но конечного, [ x ] _{2 n +1} обозначает нечетные шаги в ряду, начиная с первого с положительной вещественной частью (которая всегда существует). При отрицательной бесконечности x частичные суммы с нечетными номерами строго уменьшаются, и обозначение [ x ] _{2 n +1} обозначает пустое множество, но оказывается, что соответствующие элементы при индукции не нужны.

Тогда соотношения, которые справедливы для вещественного x < y, таковы:

exp x · [ y – x ] _n < exp y

и

exp y · [ x – y ] _{2 n + 1} < exp x ,

и это можно распространить на сюрреализм с помощью определения

$\exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.$

Это четко определено для всех сюрреалистических аргументов (значение существует и не зависит от выбора z _L и z _R ).

Результаты

Используя это определение, справедливо следующее:

• exp — строго возрастающая положительная функция, x < y ⇒ 0 < exp x < exp y.
• exp удовлетворяет условиям exp( x + y ) = exp x · exp y
• exp является сюръекцией (на $\mathbb {No} _{+}$) и имеет четко определенную обратную функцию, log = exp ^–1
• exp совпадает с обычной показательной функцией на действительных числах (и, следовательно, exp 0 = 1, exp 1 = e )
• Для бесконечно малого x значение формального степенного ряда ( разложения Тейлора ) exp корректно определено и совпадает с индуктивным определением
  • Когда x задан в нормальной форме Конвея, набор показателей в результате хорошо упорядочен, а коэффициенты представляют собой конечные суммы, что непосредственно дает нормальную форму результата (который имеет ведущую единицу).
  • Аналогично, для x бесконечно близкого к 1, log x определяется разложением x в степенной ряд x – 1.
• Для положительного бесконечного x exp x также бесконечен
  • Если x имеет вид ω ^а (α > 0), exp x имеет вид ω ^{ой б} где β — строго возрастающая функция от α. На самом деле существует индуктивно определенная биекция g : $\mathbb {No} _{+}$ → $\mathbb {No}$ : α ↦ β , обратное для которого также можно определить индуктивно
  • Если x «чисто бесконечен» с нормальной формой x = Σ _α<β r _α ω ^{а _α} где все a _α > 0 , то exp x = ω ^{Са _<б р _а о г ( а _α )}
  • Аналогично, для x = ω ^{Са _<б р _а о б _α} , обратное имеет вид log x = Σ _α<β r _α ω ^{г –1 (б _α )}
• Любое сюрреалистическое число можно записать как сумму чистой бесконечной, вещественной и бесконечно малой частей, а экспонента является произведением частных результатов, приведенных выше.
  • Нормальную форму можно записать, умножив бесконечную часть (единственную степень ω) и действительную экспоненту на степенной ряд, полученный из бесконечно малого
  • И наоборот, деление главного члена нормальной формы приведет любое сюрреалистическое число к форме (ω ^{S _c<d t _c o б _γ} ) · r ·(1 + Σ _a<β s _a ω ^{а _α} ) , для a _α < 0 , где каждый фактор имеет вид, для которого способ вычисления логарифма указан выше; тогда сумма равна общему логарифму
    • Хотя не существует общего индуктивного определения log (в отличие от exp), частичные результаты даются в терминах таких определений. Таким образом, логарифм можно вычислить явно, не обращая внимания на то, что он является обратной экспонентой.
• Показательная функция намного больше любой конечной степени
  • Для любого положительного бесконечного x и любого конечного n exp( x )/ x ^н бесконечен
  • Для любого целого числа n и сюрреалистического x > n ² , exp( x ) > x ^н . Это более сильное ограничение является одной из аксиом Рессера для действительного экспоненциального поля.
• exp удовлетворяет всем аксиомам Рессера для действительного экспоненциального поля
  • Сюрреалисты с экспонентой — это элементарное расширение реального экспоненциального поля.
  • Для ε _β, порядкового эпсилон-числа, набор сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше ε _β представляет собой поле, замкнутое относительно экспонент, а также является элементарным расширением действительного экспоненциального поля.

Примеры

Сюрреалистическая экспонента по существу определяется ее поведением на положительных степенях ω, т. е. функцией g(a) в сочетании с хорошо известным поведением на конечных числах. Будут приведены только примеры первого. Кроме того, g(a) = a выполняется для большей части своего диапазона, например, для любого конечного числа с положительной действительной частью и любого бесконечного числа, которое меньше некоторой повторной степени ω ( ω ^{ой · · ой} для некоторого количества уровней).

• ехр ω = ω ^ой
• эксп ω ^1/ч = ω и log ω = ω ^1/ч
• exp (ω · log ω) = exp (ω · ω ^1/ч ) = ω ^{ой (1 + 1/ч)}
  • Это показывает, что функция «степень ω» несовместима с exp, поскольку совместимость потребует значения ω. ^ой здесь
• ехр ε ₀ = ω ^{ой е ₀ + 1}
• журнал ε ₀ = ε ₀ / ω

Возведение в степень

Общее возведение в степень можно определить как x ^и = exp( y · log x ) , давая интерпретацию таким выражениям, как 2 ^ой = exp(ω · log 2) = ω ^{log 2 · ω} . Опять же важно отличать это определение от функции «степени ω», особенно если ω может выступать в качестве основы.

Сверхкомплексные числа

Сюркомплексное число — это число вида a + b i , где a и b — сюрреалистические числа, а i — квадратный корень из −1 . Сверхкомплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле (за исключением того, что они являются собственным классом), изоморфное алгебраическому замыканию поля, порожденного расширением рациональных чисел собственным классом алгебраически независимых трансцендентных элементов. С точностью до изоморфизма полей этот факт характеризует поле сверхкомплексных чисел в рамках любой теории фиксированных множеств.

Игры

Основная статья: Комбинаторная теория игр

Определение сюрреалистических чисел содержало одно ограничение: каждый элемент L должен быть строго меньше каждого элемента R. Если это ограничение снять, мы сможем создать более общий класс, известный как игры . Все игры построены по такому правилу:

Правило построения

Если L и R — два набора игр, то { L | R } — игра.

Сложение, отрицание и сравнение определяются одинаково как для сюрреалистических чисел, так и для игр.

Каждое сюрреалистическое число является игрой, но не все игры являются сюрреалистическими числами, например игра { 0 | 0 } не является сюрреалистическим числом. Класс игр более общий, чем сюрреалистические, и имеет более простое определение, но лишен некоторых более приятных свойств сюрреалистических чисел. Класс сюрреалистических чисел образует поле , а класс игр — нет. Сюрреалистические объекты имеют общий порядок : любые два сюрреалистических явления либо равны, либо одно больше другого. Игры имеют лишь частичный порядок : существуют пары игр, которые не равны, не больше и не меньше друг друга. Каждое сюрреалистическое число может быть положительным, отрицательным или нулевым. Каждая игра является либо положительной, либо отрицательной, нулевой или нечеткой (несравнимой с нулем, например {1 | −1}).

Ход в игре предполагает, что игрок, чей ход выбирает игру из доступных в L (для левого игрока) или R (для правого игрока), а затем передает эту выбранную игру другому игроку. Игрок, который не может двигаться, потому что выбор из пустого набора, проиграл. Положительная игра представляет собой победу для левого игрока, отрицательную игру для правого игрока, нулевую игру для хода второго игрока и нечеткую игру для хода первого игрока.

Если x , y и z — сюрреалисты, и x = y , то x z = y z . Однако если x , y и z — игры и x = y , то не всегда верно, что x z = y z . Обратите внимание, что «=" здесь означает равенство, а не тождество.

Приложение к комбинаторной теории игр

Сюрреалистические числа изначально были мотивированы исследованиями игры Го . и существует множество связей между популярными играми и сюрреализмом. В этом разделе мы будем использовать Game с заглавной буквы для математического объекта {L | R} и строчная игра для развлекательных игр, таких как шахматы или го .

Мы рассматриваем игры с такими свойствами:

• Два игрока (по имени Левый и Правый )
• Детерминированный (игра на каждом этапе будет полностью зависеть от выбора игроков, а не от случайного фактора)
• Никакой скрытой информации (например, карт или плиток, которые скрывает игрок)
• Игроки ходят по очереди (игра может допускать или не допускать несколько ходов за ход)
• Каждая игра должна заканчиваться за конечное число ходов.
• Как только у игрока не остается законных ходов, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает.

В большинстве игр начальная позиция на доске не дает большого преимущества ни одному из игроков. По ходу игры и когда один игрок начинает побеждать, на доске будут возникать позиции, в которых этот игрок имеет явное преимущество. Для анализа игр полезно связать игру с каждой позицией на доске. Значением данной позиции будет игра {L|R}, где L — набор значений всех позиций, которые могут быть достигнуты за один ход левой рукой. Аналогично, R — это набор значений всех позиций, которых можно достичь за один ход с помощью Right.

Нулевая игра (называемая 0) — это игра, в которой L и R пусты, поэтому игрок, который будет ходить следующим (L или R), немедленно проигрывает. Сумма двух игр G = { L1 | R1} и Ч = {L2 | R2 } определяется как игра G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 }, где игрок, который должен двигаться, выбирает, в какой из игр играть на каждом этапе, а проигравшим по-прежнему остается тот игрок, у которого не осталось разрешенного хода. Можно представить себе две шахматные доски между двумя игроками, на которых игроки делают ходы поочередно, но с полной свободой выбора, на какой доске играть. Если G — игра {L | R}, −G — игра {−R | −L}, т.е. с местами ролей двух игроков. Легко показать, что G – G = 0 для всех игр G (где G – H определяется как G + (–H)).

Этот простой способ связать Игры с играми дает очень интересный результат. Предположим, что два идеальных игрока играют в игру, начиная с заданной позиции, связанной с ней Game — x . Мы можем разделить все игры на четыре класса следующим образом:

• Если x > 0, то Левый победит, независимо от того, кто будет играть первым.
• Если x < 0, то победит Райт, независимо от того, кто будет играть первым.
• Если x = 0, то победит игрок, занявший второе место.
• Если х || 0, то победит тот, кто ходит первым.

В более общем смысле мы можем определить G > H как G – H > 0 и аналогично для <, = и ||.

Обозначение G || H означает, что G и H несопоставимы. Г || H эквивалентно G − H || 0, т. е. все G > H, G < H и G = H ложны. Иногда говорят, что несравнимые игры путают друг с другом, поскольку игрок может предпочесть ту или иную игру в зависимости от того, что в нее добавлено. Игра, которую путают с нулем, называется нечеткой , в отличие от положительной, отрицательной или нулевой . Пример нечеткой игры — star (*) .

Иногда, когда игра приближается к концу, она распадается на несколько более мелких игр, которые не взаимодействуют друг с другом, за исключением того, что ход каждого игрока позволяет перейти только в одну из них. Например, в го доска будет медленно заполняться фигурами, пока не останется всего несколько небольших островков пустого пространства, по которым игрок может перемещаться. Каждый остров похож на отдельную игру в Го, в которую играют на очень маленькой доске. Было бы полезно, если бы каждую подигру можно было анализировать отдельно, а затем объединять результаты для анализа всей игры. Кажется, это непросто сделать. Например, могут быть две подигры, в которых побеждает тот, кто ходит первым, но когда они объединяются в одну большую игру, выигрывает уже не первый игрок. К счастью, есть способ провести этот анализ. Можно применить следующую теорему:

Если большая игра распадается на две меньшие игры, и у маленьких игр есть связанные Игры x и y , то у большой игры будет связанная Игра x + y .

Игра, состоящая из меньших игр, называется дизъюнктивной суммой этих меньших игр, и теорема утверждает, что определенный нами метод сложения эквивалентен взятию дизъюнктивной суммы слагаемых.

Исторически Конвей разработал теорию сюрреалистических чисел в порядке, обратном тому, как она была представлена ​​здесь. Он анализировал эндшпили Го и понял, что было бы полезно каким-то образом объединить анализ невзаимодействующих подигр в анализ их дизъюнктивной суммы . Исходя из этого, он изобрел концепцию игры и оператора сложения для нее. После этого он перешел к разработке определения отрицания и сравнения. Затем он заметил, что определенный класс игр обладает интересными свойствами; этот класс стал сюрреалистическими числами. Наконец, он разработал оператор умножения и доказал, что сюрреалистическое на самом деле является полем и включает в себя как действительные, так и порядковые числа.

Альтернативные реализации

Альтернативные подходы к сюрреалистическим числам дополняют изложение Конвея с точки зрения игр.

Расширение знака

Определения

В том, что сейчас называется расширением знаков или последовательностью знаков сюрреалистического числа, сюрреалистическое число — это функция которой , областью определения является порядковый номер , а кодомен — {−1, +1}. Это эквивалентно последовательностям LR Конвея.

Определите двоичный предикат «проще, чем» для чисел как x проще, чем y , если x является собственным подмножеством y , если т. е. dom( x ) < dom( y ) и x (α) = y (α) для всех α < дом( х ).

Для сюрреалистических чисел определите бинарное отношение < как лексикографический порядок (с соглашением, что «неопределенные значения» больше -1 и меньше 1). Итак, x < y, если выполняется одно из следующих условий:

• x проще, чем y и y (dom( x )) = +1;
• y проще, чем x и x (dom( y )) = −1;
• существует число z такое, что z проще, чем x , z проще, чем y , x (dom( z )) = − 1 и y (dom( z )) = +1.

Эквивалентно, пусть δ( x , y ) = min({ dom( x ), dom( y )} ∪ { α :α < dom( x ) ∧ α < dom( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }),так что x = y тогда и только тогда, когда δ( x , y ) = dom( x ) = dom( y ). Тогда для чисел x и y тогда и только тогда , x < y когда выполняется одно из следующих условий:

• δ( x , y ) = dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ y (δ( x , y )) = +1;
• δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) = dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = -1;
• δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = −1 ∧ y (δ( x , y )) = +1.

Для чисел x и y x тогда ≤ y и только тогда, когда x < y ∨ x = y , и x > y тогда и только тогда, когда y < x . Также x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Отношение < транзитивно , и для всех чисел x и y выполняется ровно одно из x < y , x = y , x > y (закон трихотомии ). Это означает, что < — линейный порядок (за исключением того, что < — собственный класс).

Для наборов чисел L и R таких, что ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), существует уникальное число z такое, что

• ∀ Икс ∈ L ( Икс < z ) ∧ ∀ y ∈ R ( z < y ),
• Для любого числа w такого, что ∀ x ∈ L ( x < w ) ∧ ∀ y ∈ R ( w < y ), w = z или z проще, чем w .

Более того, z можно построить из L и R посредством трансфинитной индукции. z самое простое число между L и R. — Обозначим уникальное число z через σ( L , R ).

Для числа x определите его левый набор L ( x ) и правый набор R ( x ) по формуле

• L ( Икс ) знак равно { Икс | _α : α <dom( x ) ∧ x (α) = +1 };
• р ( Икс ) знак равно { Икс | _α : α <dom( x ) ∧ x (α) = −1 },

тогда σ( L ( Икс ), Р ( Икс )) = Икс .

Одним из преимуществ этой альтернативной реализации является то, что равенство — это тождество, а не индуктивно определенное отношение. Однако, в отличие от реализации сюрреалистических чисел Конвея, расширение знаков требует предварительного построения порядковых чисел, в то время как в реализации Конвея порядковые числа строятся как частные случаи сюрреалистических чисел.

Однако можно дать аналогичные определения, которые устраняют необходимость предварительного построения порядковых номеров. Например, мы могли бы позволить сюрреалистическим объектам быть (рекурсивно определенным) классом функций, чья область определения является подмножеством сюрреалистических объектов, удовлетворяющих правилу транзитивности ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) и чьи диапазон: { −, + }. «Проще, чем» теперь определяется очень просто: x проще, чем y, если x ∈ dom y . Полный порядок определяется путем рассмотрения x и y как наборов упорядоченных пар (как обычно определяется функция): либо x = y , либо сюрреалистическое число z = x ∩ y находится в области определения x или в области определения y. (или и то, и другое, но в этом случае знаки должны расходиться). Тогда мы имеем x < y , если x ( z ) = − или y ( z ) = + (или и то, и другое). Преобразование этих функций в последовательности знаков — несложная задача; расположите элементы dom f в порядке простоты (т. е. включения), а затем по порядку запишите знаки, которые f присваивает каждому из этих элементов. Порядковые номера тогда естественным образом встречаются как те сюрреалистические числа, диапазон которых равен { + }.

Сложение и умножение

Сумма x + y двух чисел x и y определяется индукцией по dom( x ) и dom( y ) по формуле x + y = σ( L , R ), где

• L знак равно { ты + y : ты ∈ L ( x ) } ∪ { x + v : v ∈ L ( y ) },
• R = { u + y  : u ∈ R ( x ) } ∪{ x + v  : v ∈ R ( y ) }.

Аддитивная идентичность задается числом 0 = { }, т.е. число 0 — это уникальная функция, областью определения которой является порядковый номер 0, а аддитивное обратное числу x  — это число − x , заданное формулой dom(− x ) = dom( x ), и для α < dom( x ), (− x )(α) = −1, если x (α) = +1, и (− x )(α) = +1, если x (α) = −1.

Отсюда следует, что число x положительно ( тогда и только тогда, когда 0 < dom( x ) и x 0) = +1, а x отрицательно тогда и только тогда, когда 0 < dom( x ) и x (0) = −1.

Произведение xy двух чисел x и y определяется индукцией по dom( x ) и dom( y ) по формуле xy = σ( L , R ), где

• L знак равно { uy + xv - uv : u ∈ L ( x ), v ∈ L ( y ) } ∪ { uy + xv - uv : u ∈ R ( x ), v ∈ R ( y ) },
• R знак равно { uy + xv - uv : u ∈ L ( x ), v ∈ R ( y ) } ∪ { uy + xv - uv : u ∈ R ( x ), v ∈ L ( y ) }.

Мультипликативное тождество задается числом 1 = { (0,+1) }, т.е. число 1 имеет домен, равный порядковому номеру 1, и 1(0) = +1.

Переписка с реализацией Конвея

Отображение реализации Конвея в знаковые расширения задается формулой f ({ L | R }) = σ( M , S ), где M = { f ( x ) : x ∈ L } и S = ​​{ f ( x ) : x € Р }.

Обратное отображение альтернативной реализации к реализации Конвея имеет вид g ( x ) = { L | R }, где L = { г ( у ) : у € L ( Икс ) } и R знак равно { г ( у ) : у Е R ( Икс ) }.

Аксиоматический подход

В другом подходе к сюрреалистическому, предложенном Аллингом, явная конструкция вообще игнорируется. Вместо этого дан набор аксиом, которым должен удовлетворять любой конкретный подход к сюрреалистическому миру. Подобно аксиоматическому подходу к действительным числам, эти аксиомы гарантируют уникальность с точностью до изоморфизма.

тройка $\langle \mathbb {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle$ является сюрреалистической системой счисления тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

• < общий заказ закончился $\mathbb {No}$
• b — функция от $\mathbb {No}$ на класс всех ординалов ( b называется «функцией дня рождения» на $\mathbb {No}$).
• Пусть A и B — подмножества $\mathbb {No}$ такой, что для всех x ∈ A и y ∈ B ( x < y используя терминологию Аллинга, 〈 A , B 〉 является «разрезом Конвея» $\mathbb {No}$). Тогда существует единственный z ∈ $\mathbb {No}$ такое, что b ( z ) минимально и для всех x ∈ A и всех y ∈ B , x < z < y . (Эту аксиому часто называют «теоремой простоты Конвея».)
• Более того, если ординал α больше, чем b ( x ) для всех x ∈ A , B , то b ( z ) ≤ α . (Аллинг называет систему, удовлетворяющую этой аксиоме, «полностью сюрреалистической системой счисления».)

И первоначальная конструкция Конвея, и конструкция сюрреализма с расширением знака удовлетворяют этим аксиомам.

Учитывая эти аксиомы, Аллинг выводит оригинальное определение Конвея для числа ≤ и развивает сюрреалистическую арифметику.

Иерархия простоты

Конструкция сюрреалистических чисел как максимального двоичного псевдодерева с простотой (предком) и отношениями порядка принадлежит Филиппу Эрлиху: Отличие от обычного определения дерева состоит в том, что множество предков вершины упорядочено, но может не иметь максимального элемента (непосредственного предшественника); другими словами, типом порядка этого набора является общий порядковый номер, а не просто натуральное число. Эта конструкция также удовлетворяет аксиомам Аллинга и может быть легко отображена в представление последовательности знаков.

серия Хан

Все также доказывает, что поле сюрреалистических чисел изоморфно (как упорядоченное поле) полю рядов Хана с действительными коэффициентами в группе значений самих сюрреалистических чисел (представление ряда, соответствующее нормальной форме сюрреалистического числа, как определено выше ). Это обеспечивает связь между сюрреалистическими числами и более традиционными математическими подходами к теории упорядоченного поля.

Этот изоморфизм превращает сюрреалистические числа в оценочное поле, где оценка представляет собой аддитивную обратную величину показателя степени главного члена в нормальной форме Конвея, например, ν(ω) = −1. Тогда кольцо оценок состоит из конечных сюрреалистических чисел (числ с действительной и/или бесконечно малой частью). Причина инверсии знака заключается в том, что показатели нормальной формы Конвея составляют обратное упорядоченное множество, тогда как ряды Хана формулируются в терминах (необратимых) хорошо упорядоченных подмножеств группы значений.

Отношение к гиперреальности

Филип Эрлих построил изоморфизм между максимальным полем сюрреалистических чисел Конвея и максимальными гиперреальными числами в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя .

См. также

• Гиперреальное число
• Нестандартный анализ

Дальнейшее чтение

• Дональда Кнута Оригинальное изложение : «Сюрреалистические числа: как два бывших студента увлеклись чистой математикой и обрели полное счастье» , 1974 г., ISBN   0-201-03812-9 . Более подробную информацию можно найти на официальной домашней странице книги (в архиве).
• Обновление классической книги 1976 года, определяющей сюрреалистические числа и исследующей их связь с играми: Джон Конвей, «О числах и играх» , 2-е изд., 2001 г. ISBN   1-56881-127-6 .
• Обновление первой части книги 1981 года, в которой более широкой аудитории были представлены сюрреалистические числа и анализ игр: Berlekamp, ​​Conway and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays , vol. 1, 2-е изд., 2001, ISBN   1-56881-130-6 .
• Мартин Гарднер , «От плиток Пенроуза к шифрам с люками», WH Freeman & Co., 1989, ISBN   0-7167-1987-8 , Глава 4. Нетехнический обзор; перепечатка статьи из журнала Scientific American 1976 года .
• Полли Шульман, «Бесконечность плюс один и другие сюрреалистические числа» , Discover , декабрь 1995 г.
• Подробное рассмотрение сюрреалистических чисел: Норман Л. Аллинг, Основы анализа сюрреалистических числовых полей , 1987, ISBN   0-444-70226-1 .
• Обработка сюрреалистических явлений, основанная на реализации расширения знака: Гарри Гоншор, Введение в теорию сюрреалистических чисел , 1986, ISBN   0-521-31205-1 .
• Подробная философская разработка концепции сюрреалистических чисел как наиболее общей концепции числа: Ален Бадью , Число и числа , Нью-Йорк: Polity Press, 2008, ISBN   0-7456-3879-1 (мягкая обложка), ISBN   0-7456-3878-3 (твердый переплет).
• Программа Uniвалентных фондов (2013). Гомотопическая теория типов: одновалентные основы математики . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований . МР   3204653 . Сюрреалистические числа изучаются в контексте теории гомотопических типов в разделе 11.6.

Внешние ссылки

• Hackenstrings и 0.999... ?= 1 FAQ, автор: А.Н. Уокер , архив исчезнувшего оригинала.
• Нежное, но подробное вступление Клауса Тёндеринга.
• Хорошая математика, плохая математика: сюрреалистические числа , серия статей о сюрреалистических числах и их вариациях.
• Математика Конвея после Конвея , обзор достижений Конвея в уведомлениях AMS, с разделом о сюрреалистических числах.