Jump to content

Число Эпсилон

(Перенаправлено с числа Эпсилон (математика) )

В математике представляют числа эпсилон собой набор трансфинитных чисел , определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками экспоненциального отображения . Следовательно, их невозможно достичь из 0 с помощью конечной серии применений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, удовлетворяющие уравнению

в котором ω — наименьший бесконечный ординал.

Наименьшим таким порядковым номером является ε 0 (произносится как эпсилон-ноль (в основном британцы), эпсилон-ноль (в основном американцы) или эпсилон-ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинитной рекурсии из последовательности меньших предельных порядковых номеров:

где sup верхняя грань , что эквивалентно объединению множеств в случае представления ординалов фон Неймана.

Большие порядковые фиксированные точки экспоненциального отображения индексируются порядковыми индексами, в результате чего . [1] Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетен , как и любое эпсилонное число, индекс которого счетен. Также существуют неисчисляемые порядковые номера, а также неисчисляемые числа эпсилон, индексом которых является неисчисляемый порядковый номер.

Наименьшее число эпсилон ε 0 появляется во многих доказательствах индукции , потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε 0 (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудштейна ). Ее использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте , показывает, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименее порядковый номер с этим свойством, и, как таковой, в доказательстве -теоретический порядковый анализ , используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилон можно определить с помощью функции Веблена .

Более общий класс чисел эпсилон был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления , состоящий из всех сюрреалистических чисел, которые являются фиксированными точками базового экспоненциального отображения ω x ω. х .

Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый номер ) как числа γ > 0 такие, что α + γ = γ всякий раз, когда α < γ , а дельта-числа (см. мультипликативно неразложимый порядковый номер ) как числа δ > 1 такие, что αδ = δ, если 0 < α < δ , а числа эпсилон — это числа ε > 2 такие, что α е = ε всякий раз, когда 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют вид ω б , а его дельта-числа имеют вид ω ой б .

Порядковые числа ε

[ редактировать ]

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

  • когда имеет непосредственного предшественника .
  • , в любое время является предельным ординалом .

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала > 1 отображение α является нормальной функцией , поэтому она имеет сколь угодно большие неподвижные точки согласно лемме о неподвижной точке для нормальных функций . Когда , эти неподвижные точки представляют собой в точности порядковые числа эпсилон.

  • когда имеет непосредственного предшественника .
  • , в любое время является предельным ординалом.

Потому что

другая последовательность с той же супремумом, , получается путем начала с 0 и возведения в степень по основанию ε 0 вместо этого:

Обычно число эпсилон индексируется любым порядковым номером, имеющим непосредственный предшественник можно построить аналогично.

В частности, является ли индекс β предельным ординалом, является фиксированной точкой не только возведения в степень по базе ω, но и возведения в степень по базе δ для всех ординалов .

Поскольку числа эпсилон представляют собой неограниченный подкласс порядковых чисел, они нумеруются с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера , - наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциальной карты), которого еще нет в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием повторного возведения в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными порядковыми номерами, которые представляют собой трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие супремума экспоненциального ряда.

Следующие факты об эпсилон-числах легко доказать:

  • Хотя это довольно большое количество, по-прежнему счетен , являясь счетным объединением счетных ординалов; фактически, счетно тогда и только тогда, когда является счетным.
  • Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например является числом эпсилон. Таким образом, отображение это нормальная функция.
  • Начальный порядковый номер любого неисчисляемого кардинала — это число эпсилон.

Представление ε 0 корневыми деревьями

[ редактировать ]

Любое эпсилон-число ε имеет канторову нормальную форму. , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε 0 могут быть с пользой описаны их канторовскими нормальными формами, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного набора всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любой порядковый номер имеет нормальную канторову форму где k натуральное число и являются ординалами с , однозначно определяемый . Каждый из ординалов в свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, соединяя корни деревьев, представляющих к новому корню. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревья. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченным множеством , по порядку изоморфным ε вполне 0 .

Это представление связано с доказательством теоремы о гидре , которая представляет убывающие последовательности ординалов как игру в теории графов .

Иерархия Веблена

[ редактировать ]

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 ( α ) = ω а ). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение равно φ 1 , а его неподвижные точки нумеруются φ 2 .

Продолжая в том же духе, можно определить карты φ α для постепенно увеличивающихся порядковых номеров α (включая, благодаря этой разреженной форме трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α +1 (0) . Наименьший порядковый номер, недостижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. е. наименьший порядковый номер α, для которого φ α (0) = α , или, что то же самое, первая неподвижная точка отображения. ординал Фефермана–Шютте Γ 0 . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, существует отображение Γ , перечисляющее неподвижные точки Γ 0 , Γ 1 , Γ 2 , ... ; все это все еще эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ β для каждого β ≤ Γ 0 , включая отображение φ 1, которое перечисляет эпсилон-числа.

Сюрреалистические числа ε

[ редактировать ]

В книге «О числах и играх» , классическом изложении сюрреалистических чисел , Джон Хортон Конвей привел ряд примеров концепций, которые имели естественное расширение от порядковых чисел к сюрреалистическим. Одной из таких функций является -карта ; это отображение естественным образом обобщается, включая все сюрреалистические числа в свою область определения , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли оно строго порядковым числом или нет. Некоторые примеры непорядковых чисел эпсилон:

и

Существует естественный способ определить для любого сюрреалистического числа n , и карта остаётся сохраняющей порядок . Конвей далее определяет более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Стивен Г. Симпсон, Подсистемы арифметики второго порядка (2009, стр.387)
  • Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN   0-12-186350-6
  • Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числительные (2-е изд.), PWN - Польское научное издательство
  • Хессенберг, Герхард (1906). Основные понятия теории множеств . Геттинген: Ванденхук и Рупрехт.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6ed2d57145ee620eeb3fb75705d0b809__1721114280
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6e/09/6ed2d57145ee620eeb3fb75705d0b809.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Epsilon number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)