Число Эпсилон
В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В математике представляют числа эпсилон собой набор трансфинитных чисел , определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками экспоненциального отображения . Следовательно, их невозможно достичь из 0 с помощью конечной серии применений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, удовлетворяющие уравнению
в котором ω — наименьший бесконечный ординал.
Наименьшим таким порядковым номером является ε 0 (произносится как эпсилон-ноль (в основном британцы), эпсилон-ноль (в основном американцы) или эпсилон-ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинитной рекурсии из последовательности меньших предельных порядковых номеров:
где sup — верхняя грань , что эквивалентно объединению множеств в случае представления ординалов фон Неймана.
Большие порядковые фиксированные точки экспоненциального отображения индексируются порядковыми индексами, в результате чего . [1] Порядковый номер ε 0 по-прежнему счетен , как и любое эпсилонное число, индекс которого счетен. Также существуют неисчисляемые порядковые номера, а также неисчисляемые числа эпсилон, индексом которых является неисчисляемый порядковый номер.
Наименьшее число эпсилон ε 0 появляется во многих доказательствах индукции , потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε 0 (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудштейна ). Ее использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте , показывает, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименее порядковый номер с этим свойством, и, как таковой, в доказательстве -теоретический порядковый анализ , используется как мера силы теории арифметики Пеано).
Многие большие числа эпсилон можно определить с помощью функции Веблена .
Более общий класс чисел эпсилон был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления , состоящий из всех сюрреалистических чисел, которые являются фиксированными точками базового экспоненциального отображения ω x → ω. х .
Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый номер ) как числа γ > 0 такие, что α + γ = γ всякий раз, когда α < γ , а дельта-числа (см. мультипликативно неразложимый порядковый номер ) как числа δ > 1 такие, что αδ = δ, если 0 < α < δ , а числа эпсилон — это числа ε > 2 такие, что α е = ε всякий раз, когда 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют вид ω б , а его дельта-числа имеют вид ω ой б .
Порядковые числа ε
[ редактировать ]Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:
- когда имеет непосредственного предшественника .
- , в любое время является предельным ординалом .
Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала > 1 отображение α является нормальной функцией , поэтому она имеет сколь угодно большие неподвижные точки согласно лемме о неподвижной точке для нормальных функций . Когда , эти неподвижные точки представляют собой в точности порядковые числа эпсилон.
- когда имеет непосредственного предшественника .
- , в любое время является предельным ординалом.
Потому что
другая последовательность с той же супремумом, , получается путем начала с 0 и возведения в степень по основанию ε 0 вместо этого:
Обычно число эпсилон индексируется любым порядковым номером, имеющим непосредственный предшественник можно построить аналогично.
В частности, является ли индекс β предельным ординалом, является фиксированной точкой не только возведения в степень по базе ω, но и возведения в степень по базе δ для всех ординалов .
Поскольку числа эпсилон представляют собой неограниченный подкласс порядковых чисел, они нумеруются с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера , - наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциальной карты), которого еще нет в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием повторного возведения в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными порядковыми номерами, которые представляют собой трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие супремума экспоненциального ряда.
Следующие факты об эпсилон-числах легко доказать:
- Хотя это довольно большое количество, по-прежнему счетен , являясь счетным объединением счетных ординалов; фактически, счетно тогда и только тогда, когда является счетным.
- Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например является числом эпсилон. Таким образом, отображение это нормальная функция.
- Начальный порядковый номер любого неисчисляемого кардинала — это число эпсилон.
Представление ε 0 корневыми деревьями
[ редактировать ]Любое эпсилон-число ε имеет канторову нормальную форму. , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε 0 могут быть с пользой описаны их канторовскими нормальными формами, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного набора всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любой порядковый номер имеет нормальную канторову форму где k — натуральное число и являются ординалами с , однозначно определяемый . Каждый из ординалов в свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, соединяя корни деревьев, представляющих к новому корню. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревья. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченным множеством , по порядку изоморфным ε вполне 0 .
Это представление связано с доказательством теоремы о гидре , которая представляет убывающие последовательности ординалов как игру в теории графов .
Иерархия Веблена
[ редактировать ]Неподвижные точки «эпсилон-отображения» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 ( α ) = ω а ). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение равно φ 1 , а его неподвижные точки нумеруются φ 2 .
Продолжая в том же духе, можно определить карты φ α для постепенно увеличивающихся порядковых номеров α (включая, благодаря этой разреженной форме трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α +1 (0) . Наименьший порядковый номер, недостижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. е. наименьший порядковый номер α, для которого φ α (0) = α , или, что то же самое, первая неподвижная точка отображения. – ординал Фефермана–Шютте Γ 0 . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, существует отображение Γ , перечисляющее неподвижные точки Γ 0 , Γ 1 , Γ 2 , ... ; все это все еще эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ β для каждого β ≤ Γ 0 , включая отображение φ 1, которое перечисляет эпсилон-числа.
Сюрреалистические числа ε
[ редактировать ]В книге «О числах и играх» , классическом изложении сюрреалистических чисел , Джон Хортон Конвей привел ряд примеров концепций, которые имели естественное расширение от порядковых чисел к сюрреалистическим. Одной из таких функций является -карта ; это отображение естественным образом обобщается, включая все сюрреалистические числа в свою область определения , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.
Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли оно строго порядковым числом или нет. Некоторые примеры непорядковых чисел эпсилон:
и
Существует естественный способ определить для любого сюрреалистического числа n , и карта остаётся сохраняющей порядок . Конвей далее определяет более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Стивен Г. Симпсон, Подсистемы арифметики второго порядка (2009, стр.387)
- Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
- Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числительные (2-е изд.), PWN - Польское научное издательство
- Хессенберг, Герхард (1906). Основные понятия теории множеств . Геттинген: Ванденхук и Рупрехт.