изоморфизм

Группа при умножении изоморфна корней пятой степени из единицы группе вращений правильного пятиугольника при композиции.

В математике изоморфизм — это сохраняющее структуру отображение между двумя структурами одного и того же типа, которое можно обратить обратным отображением . Две математические структуры изоморфны , если между ними существует изоморфизм. Слово изоморфизм происходит от древнегреческого : ἴσος isos « равный» и μορφή morphe «форма» или «форма».

Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта обладают одинаковыми свойствами (исключая дополнительную информацию, такую как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры не могут быть различены только с точки зрения структуры и могут быть идентифицированы. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковы с точностью до изоморфизма . ^{[ нужна ссылка ]}

Автоморфизм — это изоморфизм структуры в себя. Изоморфизм между двумя структурами является каноническим изоморфизмом ( каноническим отображением , которое является изоморфизмом), если между двумя структурами существует только один изоморфизм (как в случае решений с универсальным свойством ) или если изоморфизм гораздо более естественен ( в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа $p$ все поля с $p$ элементами канонически изоморфны с уникальным изоморфизмом. Теоремы об изоморфизме предоставляют канонические изоморфизмы, которые не являются уникальными.

Термин изоморфизм в основном используется для алгебраических структур . В этом случае отображения называются гомоморфизмами , а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен .

В различных областях математики изоморфизмы получили специализированные названия в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:

Изометрия метрических — это изоморфизм пространств .
Гомеоморфизм топологических — это изоморфизм пространств .
Диффеоморфизм — изоморфизм пространств, наделенных дифференциальной структурой , типично дифференцируемых многообразий .
Симплектоморфизм многообразий — изоморфизм симплектических .
Перестановка — это автоморфизм множества .
В геометрии изоморфизмы и автоморфизмы часто называют преобразованиями , например жесткими преобразованиями , аффинными преобразованиями , проективными преобразованиями .

Теория категорий , которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который можно использовать для унификации подхода к этим различным аспектам основной идеи.

Примеры

Логарифм и экспонента

Позволять $\mathbb {R} ^{+}$ — мультипликативная группа положительных действительных чисел , и пусть $\mathbb {R}$ быть аддитивной группой действительных чисел.

логарифма Функция $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ удовлетворяет $\log(xy)=\log x+\log y$ для всех $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ поэтому это групповой гомоморфизм . Показательная функция $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ удовлетворяет $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ для всех $x,y\in \mathbb {R} ,$ значит, это тоже гомоморфизм.

Личности $\log \exp x=x$ и $\exp \log y=y$ покажи это $\log$ и $\exp$ являются инверсиями друг друга. С $\log$ является гомоморфизмом, имеющим обратный, который также является гомоморфизмом, $\log$ является изоморфизмом групп.

The $\log$ Функция — это изоморфизм, который переводит умножение положительных действительных чисел в сложение действительных чисел. Это средство позволяет умножать действительные числа с помощью линейки и таблицы логарифмов или с помощью логарифмической линейки с логарифмической шкалой.

Целые числа по модулю 6

Рассмотрим группу $(\mathbb {Z} _{6},+),$ целые числа от 0 до 5 со сложением по модулю 6. Также рассмотрим группу $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ упорядоченные пары, где координаты x могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где сложение координаты x производится по модулю 2, а сложение координаты y - по модулю 3.

Эти структуры изоморфны при сложении по следующей схеме: ${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$ или вообще $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$

Например, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ что переводится в другой системе как $1+3=4.$

Хотя эти две группы «выглядят» по-разному, поскольку множества содержат разные элементы, на самом деле они изоморфны : их структуры совершенно одинаковы. В более общем смысле, прямой продукт двух циклических групп. $\mathbb {Z} _{m}$ и $\mathbb {Z} _{n}$ изоморфен $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ тогда и только тогда, когда m и n , взаимно просты согласно китайской теореме об остатках .

Изоморфизм, сохраняющий отношения

Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R, а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S, то изоморфизм X в Y является биективной функцией. $f:X\to Y$ такой, что: ^[1] $\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$

S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , хорошим порядком , строгим слабым порядком , полным предпорядком (слабым порядком), отношением эквивалентности или отношением с любым другим специальные свойства тогда и только тогда, когда R таков.

Например, R — это порядок ≤, а S — порядок. $\scriptstyle \sqsubseteq ,$ тогда изоморфизм X в Y является биективной функцией $f:X\to Y$ такой, что $f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$ Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонным изоморфизмом .

Если $X=Y,$ тогда это автоморфизм , сохраняющий отношения .

Приложения

В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур . Некоторые из них изучаются более конкретно; например:

Линейные изоморфизмы между векторными пространствами ; они задаются обратимыми матрицами .
Групповые изоморфизмы между группами ; классификация классов изоморфизма конечных групп является открытой проблемой.
Кольцевой изоморфизм между кольцами .
Изоморфизмы полей — это то же самое, что изоморфизм колец между полями ; их изучение, а точнее изучение полевых автоморфизмов, является важной частью теории Галуа .

Подобно тому, как автоморфизмы алгебраической структуры образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами, имеющими общую структуру, образуют кучу . Если конкретный изоморфизм идентифицирует две структуры, эта куча превращается в группу.

В математическом анализе — преобразование Лапласа это изоморфизм, преобразующий жесткие дифференциальные уравнения в более простые алгебраические уравнения.

В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H — это биективное отображение f из вершин G в вершины H , которое сохраняет «структуру ребер» в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G. тогда и только тогда, когда существует ребро из $f(u)$ к $f(v)$ в Х. См. изоморфизм графов .

В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовыми пространствами — это сохраняющее биекцию сложение, скалярное умножение и скалярное произведение.

В ранних теориях логического атомизма считали формальные отношения между фактами и истинными суждениями Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн изоморфными. Пример такого подхода можно найти во « Введении в математическую философию» Рассела .

В кибернетике формулируется хороший регулятор или теорема Конанта-Эшби: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, регулируется ли она или саморегулируется, между регулятором и обрабатывающими частями системы необходим изоморфизм.

Теоретический взгляд на категории

В теории категорий для данной категории C изоморфизм — это морфизм $f:a\to b$ который имеет обратный морфизм $g:b\to a,$ то есть, $fg=1_{b}$ и $gf=1_{a}.$ Например, биективное линейное отображение является изоморфизмом между векторными пространствами , а биективная непрерывная функция , обратная которой также непрерывна, является изоморфизмом между топологическими пространствами , называемым гомеоморфизмом .

Две категории $C$ и $D$ изоморфны , если существуют функторы $F:C\to D$ и $G:D\to C$ взаимно обратные друг другу, то есть $FG=1_{D}$ (тождественный функтор на $D$ ) и $GF=1_{C}$ (тождественный функтор на $C$ ).

Изоморфизм против биективного морфизма

В конкретной категории (грубо говоря, категории, объекты которой являются множествами (возможно, с дополнительной структурой) и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп , категория колец и категории модулей ), изоморфизм должен быть биективным на лежащих в его основе множествах . В алгебраических категориях (в частности, категориях многообразий в смысле универсальной алгебры ) изоморфизм — это то же самое, что гомоморфизм, который является биективным на базовых множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).

Связь с равенством

В некоторых областях математики, особенно в теории категорий, полезно различать равенство, с одной стороны, и изоморфизм , с другой. ^[2] Равенство — это когда два объекта абсолютно одинаковы, и все, что верно в отношении одного объекта, верно и в отношении другого, в то время как изоморфизм подразумевает, что все, что верно в отношении обозначенной части структуры одного объекта, верно и в отношении другого. Например, наборы $A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$ равны ; это просто разные представления — первое — интенсиональное (в нотации построителя множеств ), а второе — экстенсиональное (путём явного перечисления) — одного и того же подмножества целых чисел. Напротив, множества $\{A,B,C\}$ и $\{1,2,3\}$ не равны — в первом есть элементы, являющиеся буквами, а во втором — элементы, являющиеся числами (при условии, что числа/буквы не отождествляются с множествами, например, как ординалы фон Неймана ). Они изоморфны как множества, но существует множество вариантов изоморфизма: один изоморфизм

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,

в то время как другой

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

и ни один изоморфизм по своей сути не лучше любого другого. ^{[примечание 1]}^{[примечание 2]} С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что нельзя считать их идентичными : между ними можно выбрать изоморфизм, но это более слабое утверждение, чем тождество, и оно действительно только в контексте выбранного изоморфизма.

Другой пример более формальный и более непосредственно иллюстрирует мотивацию отделения равенства от изоморфизма: различие между конечномерным векторным пространством V и двойственным к нему пространством. $V^{*}=\left\{\varphi :V\to \mathbf {K} \right\}$ линейных отображений V в его поле скаляров $\mathbf {K} .$ Эти пространства имеют одинаковую размерность и, следовательно, изоморфны абстрактным векторным пространствам (поскольку алгебраически векторные пространства классифицируются по размерности, точно так же, как множества классифицируются по мощности), но не существует «естественного» выбора изоморфизма. $V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{*}.$ Если выбрать базис для V , то это дает изоморфизм: для всех $u,v\in V,$ $v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{ such that }}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u.$

Это соответствует преобразованию вектора-столбца (элемента V ) в вектор-строку (элемента V *) путем транспонирования , но другой выбор базиса дает другой изоморфизм: изоморфизм «зависит от выбора базиса».Более тонко: существует отображение векторного пространства V в его двойное двойное пространство. $V^{**}=\left\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \right\}$ это не зависит от выбора базиса: для всех $v\in V{\text{ and }}\varphi \in V^{*},$ $v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} x_{v}\in V^{**}\quad {\text{ such that }}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).$

Обычно утверждение о том, что два объекта равны, применяется в тех случаях, когда существует понятие большего (окружающего) пространства, в котором живут эти объекты. Чаще всего говорят о равенстве двух подмножеств данного набора (как в примере с целочисленным набором). выше), а не двух абстрактно представленных объектов. Например, двумерная единичная сфера в трехмерном пространстве. $S^{2}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ и сфера Римана ${\widehat {\mathbb {C} }}$ которую можно представить как одноточечную компактификацию комплексной плоскости $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ или как комплексная проективная прямая (факторпространство) $\mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=\left(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)/\left(\mathbb {C} ^{*}\right)$ — это три разных описания математического объекта, все из которых изоморфны, но не равны , поскольку не все они являются подмножествами одного пространства: первое — это подмножество $\mathbb {R} ^{3},$ второй $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ ^{[примечание 3]} плюс дополнительный балл, а третий подчастным является $\mathbb {C} ^{2}.$

См. также: теория гомотопических типов , в которой изоморфизмы можно рассматривать как виды равенства.

См. также

Примечания

^ $A,B,C$ имеют обычный порядок, а именно алфавитный порядок, и аналогично 1, 2, 3 имеют порядок целых чисел, и, таким образом, один конкретный изоморфизм является «естественным», а именно ${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.$ Более формально, как множества они изоморфны, но не естественно изоморфны (существует несколько вариантов изоморфизма), тогда как как упорядоченные множества они естественно изоморфны (существует уникальный изоморфизм, указанный выше), поскольку конечные полные порядки определяются однозначно с точностью до единственный изоморфизм по мощности .Эту интуицию можно формализовать, сказав, что любые два конечных полностью упорядоченных множества одинаковой мощности обладают естественным изоморфизмом, который переводит наименьший элемент первого в наименьший элемент второго, наименьший элемент того, что осталось в первом. до наименьшего элемента того, что остается во втором, и т. д., но в общем случае пары множеств данной конечной мощности не являются естественно изоморфными, поскольку существует более одного выбора отображения - за исключением случаев, когда мощность равна 0 или 1, где есть уникальный выбор.
^ На самом деле есть именно $3!=6$ различные изоморфизмы между двумя множествами из трех элементов. Это равно числу автоморфизмов данного трехэлементного набора (который, в свою очередь, равен порядку симметрической группы из трех букв), и, в более общем смысле, набор изоморфизмов между двумя объектами, обозначаемый $\operatorname {Iso} (A,B),$ является торсором группы автоморфизмов A, $\operatorname {Aut} (A)$ а также торсор для группы автоморфизмов B. Фактически, автоморфизмы объекта являются ключевой причиной для беспокойства о различии между изоморфизмом и равенством, что продемонстрировано на влиянии смены базиса на отождествление векторного пространства с его двойник или со своим двойным двойником, как будет описано в дальнейшем.
^ Если быть точным, отождествление комплексных чисел с реальной плоскостью, $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} \cdot 1\oplus \mathbb {R} \cdot i=\mathbb {R} ^{2}$ зависит от выбора $i;$ можно так же легко выбрать $(-i),$ что дает другое отождествление — формально комплексное сопряжение является автоморфизмом, — но на практике часто предполагается, что такое отождествление выполнено.