Звезда (теория игр)

В комбинаторной теории игр звезда записывается как $*$ или $*1$ , — значение, присвоенное игре, в которой оба игрока имеют только возможность перейти к нулевой игре . Звезду также можно обозначить как сюрреалистическую форму {0|0} . Эта игра представляет собой безоговорочную победу первого игрока.

Звезда, как ее определил Джон Конвей в книге «Пути к победе в математических играх» , — это величина, а не число в традиционном смысле. Звезда не равна нулю, но не является ни положительной , ни отрицательной , поэтому ее называют нечеткой и путают с (четвертый вариант, который означает ни «меньше», ни «равно», ни «больше») 0. Это меньше, чем все положительные рациональные числа и больше всех отрицательных рациональных чисел.

Игры, кроме {0 | 0} может иметь значение *. Например, игра $*2+*3$ , где значения — числа , имеет значение *, несмотря на то, что у каждого игрока есть больше возможностей, чем просто переход к 0.

Почему * ≠ 0

В комбинаторной игре есть положительный и отрицательный игрок; какой игрок ходит первым, остается неоднозначным. Комбинаторная игра 0 или { | } , не оставляет вариантов и является победой второго игрока. Аналогично, комбинаторная игра выигрывается (при условии оптимальной игры) вторым игроком тогда и только тогда, когда ее значение равно 0. Следовательно, игра со значением *, которая является победой первого игрока, не является ни положительной, ни отрицательной. Однако * — не единственное возможное значение для выигрышной игры первого игрока (см. числа ).

Звезда обладает тем свойством, что сумма * + * имеет значение 0, поскольку единственный ход первого игрока — это игра *, в которой второй игрок выиграет.

Пример игры Value-*

Ним с одной стопкой и одной фигурой имеет значение *. Первый игрок уберет фишку, а второй проиграет. Игра Ним с одной стопкой из n фишек (также выигрыш первого игрока) определяется как значение *n . Числа *z для целых чисел z образуют бесконечное поле характеристики . 2, когда сложение определяется в контексте комбинаторных игр, а умножение дается более сложное определение

См. также

Ссылки

Конвей, Дж. Х. , О числах и играх , Academic Press Inc. (Лондон) Ltd., 1976 г.