Nim
 Матчи выстроены рядами для игры в Ним. Игроки по очереди выбирают ряд и удаляют из него любое количество спичек. | |
| Жанры | Математическая игра Абстрактная стратегическая игра |
|---|---|
| Игроки | 2 |
| Шанс | Никто |
Ним — это математическая стратегическая игра , в которой два игрока по очереди удаляют (или «ниммируют») объекты из отдельных куч или стопок. На каждом ходу игрок должен удалить хотя бы один объект и может удалить любое количество объектов при условии, что все они взяты из одной и той же кучи или стопки. В зависимости от используемой версии цель игры — либо избежать взятия последнего объекта, либо взять последний объект.
Ним является фундаментальным для теоремы Спрэга-Грунди , которая, по сути, гласит, что каждая беспристрастная игра эквивалентна игре в ним с одной стопкой.
История [ править ]
В варианты нима играли с древних времен. [1] Говорят, что эта игра зародилась в Китае — она очень напоминает китайскую игру 捡石子 jiǎn-shízi , или «сбор камней». [2] — но происхождение неясно; самые ранние европейские упоминания о ним относятся к началу 16 века. Ее нынешнее название было придумано Чарльзом Л. Бутоном из Гарвардского университета , который также разработал полную теорию игры в 1901 году. [3] но происхождение названия так и не было полностью объяснено. В Оксфордском словаре английского языка это название происходит от немецкого глагола nimm , что означает «брать».
На Всемирной выставке в Нью-Йорке в 1939 году компания Westinghouse представила машину « Ниматрон» , играющую в ним. [4] С 11 мая 1940 г. по 27 октября 1940 г. за этот шестимесячный период лишь несколько человек смогли победить машину; если они это сделали, им подарили монету с надписью «Ним Чамп». [5] Это также была одна из первых электронных компьютеризированных игр. Ферранти построил компьютер для игры в ним , который был представлен на Британском фестивале в 1951 году. В 1952 году Герберт Коппель, Юджин Грант и Говард Бейлер, инженеры из WL Maxon Corporation, разработали машину весом 23 килограмма (50 фунтов), которая играла в ним против противник-человек и регулярно побеждал. [6] Описана игровая машина «ним», сделанная из игрушек-тинкертоев . [7]
Игра в ним была темой колонки Мартина Гарднера в феврале 1958 года «Математические игры» в журнале Scientific American . Версия нима звучит — и имеет символическое значение — в французской новой волны « фильме В прошлом году в Мариенбаде » (1961). [8]
Геймплей и иллюстрации [ править ]
В Ним обычно играют как в мизерную игру , в которой игрок, который возьмет последний предмет, проигрывает. В Ним также можно играть как в «обычную игру», в которой побеждает игрок, взявший последний объект. Как в обычной игре, так и в игре-мизере, когда есть ровно одна куча с как минимум двумя объектами, игрок, который берет следующий, может легко выиграть. Если это удаляет либо все, либо все объекты, кроме одного, из кучи, в которой их два или более, то ни в одной куче не будет более одного объекта, поэтому игроки будут вынуждены поочередно удалять ровно один объект, пока игра не закончится. Если игрок оставляет четное количество ненулевых стопок (как это было бы в обычной игре), игрок занимает последнее место; если игрок оставляет нечетное количество стопок (как это было бы в случае с мизерной игрой), то последний игрок занимает последнее место.
Обычная игра ведется между двумя игроками и ведется с использованием трех куч любого количества предметов. Два игрока поочередно берут любое количество предметов из любой кучки. Цель — последним взять предмет. В случае с мизер-игрой цель состоит в том, чтобы гарантировать, что противник будет вынужден забрать последний оставшийся объект.
Следующий пример обычной игры разыгрывается между вымышленными игроками Бобом и Алисой , которые начинают с кучами из трех, четырех и пяти предметов.
| Куча А | Куча Б | Куча С | Двигаться |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | Игра начинается |
| 1 | 4 | 5 | Боб берет 2 из A |
| 1 | 4 | 2 | Алиса берет 3 из C |
| 1 | 3 | 2 | Боб берет 1 из B |
| 1 | 2 | 2 | Алиса берет 1 из B |
| 0 | 2 | 2 | Боб забирает всю кучу А, оставляя две двойки. |
| 0 | 1 | 2 | Алиса берет 1 из B |
| 0 | 1 | 1 | Боб забирает 1 из C, оставляя две единицы. ( В мизер-игре он взял бы 2 из C, оставив (0, 1, 0). ) |
| 0 | 0 | 1 | Алиса берет 1 из B |
| 0 | 0 | 0 | Боб забирает всю кучу C и побеждает |
Выигрышные позиции [ править ]
Практическая стратегия победы в игре «ним» заключается в том, чтобы игрок поставил другого игрока на одну из следующих позиций, и каждый последующий ход он должен иметь возможность занять одну из меньших позиций. Только последний ход меняется между мизером и нормальной игрой.
| 2 кучи | 3 кучи | 4 кучи |
|---|---|---|
| 1 1 * | 1 1 1 ** | 1 1 1 1 * |
| 2 2 | 1 2 3 | 1 1 нн |
| 3 3 | 1 4 5 | 1 2 4 7 |
| 4 4 | 1 6 7 | 1 2 5 6 |
| 5 5 | 1 8 9 | 1 3 4 6 |
| 6 6 | 2 4 6 | 1 3 5 7 |
| 7 7 | 2 5 7 | 2 3 4 5 |
| 8 8 | 3 4 7 | 2 3 6 7 |
| 9 9 | 3 5 6 | 2 3 8 9 |
| пп | 4 8 12 | 4 5 6 7 |
| 4 9 13 | 4 5 8 9 | |
| 5 8 13 | н н м м | |
| 5 9 12 | н н н н | |
| * Действительно только для обычной игры. ** Действительно только для несчастных случаев. | ||
В общих чертах n и m могут иметь любое значение > 0, и они могут быть одинаковыми.
Математическая теория [ править ]
Ним нормальной игры (или, точнее, система нимберов ) является фундаментальной для теоремы Спрэга-Грунди , которая, по сути, говорит, что в нормальной игре каждая беспристрастная игра эквивалентна куче нимберов, которая дает тот же результат, когда играется параллельно с другими нормальными играми. играть в беспристрастные игры (см. дизъюнктивную сумму ).
Хотя всем беспристрастным играм нормальной игры можно присвоить значение ним, в соответствии с конвенцией о несчастье это не так. Только в ручные игры можно играть, используя ту же стратегию, что и в Misère Nim.
Ним — это частный случай игры с чузетами , в которой чузет состоит из непересекающихся цепочек (кучек).
Граф эволюции игры ним с тремя стопками аналогичен трем ветвям графа эволюции автомата Улама-Уорбертона . [9]
Ним был математически решен для любого количества начальных кучек и объектов, и существует легко рассчитанный способ определить, какой игрок выиграет и какие выигрышные ходы открыты для этого игрока.
Ключом к теории игры является двоичная цифровая сумма размеров кучи, т. е. сумма (в двоичном виде), пренебрегающая всеми переносами от одной цифры к другой. Эта операция также известна как « побитовое исключающее ИЛИ » или «векторное сложение по GF (2) » (побитовое сложение по модулю 2). В комбинаторной теории игр ее обычно называют ним-суммом , как она будет называться здесь. Ним-сумма x и y записывается x ⊕ y, чтобы отличить ее от обычной суммы x + y . Пример расчета с кучами размером 3, 4 и 5 выглядит следующим образом:
Двоично- десятичный 011 2 3 10 Куча А 100 2 4 10 Куча Б 101 2 5 10 Куча C --- 010 2 2 10 Ним-сумма куч A, B и C, 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2
Эквивалентная процедура, которую часто легче выполнить мысленно, состоит в том, чтобы выразить размеры кучи как суммы различных степеней 2, отменить пары равных степеней, а затем добавить то, что осталось:
3 = 0 + 2 + 1 = 2 1 Куча A4 = 4 + 0 + 0 = 4 Куча B5 = 4 + 0 + 1 = 4 1 Куча C-------------------------------------------------- ------------------2 = 2 Что останется после отмены 1 и 4
В обычной игре выигрышная стратегия состоит в том, чтобы заканчивать каждый ход с ним-суммой, равной 0. Это всегда возможно, если ним-сумма не равна нулю перед ходом. Если ним-сум равен нулю, то следующий игрок проиграет, если другой игрок не допустит ошибки. Чтобы выяснить, какой ход следует сделать, пусть X — ним-сумма всех размеров кучи. Найдите кучу, в которой ним-сумма X и размера кучи меньше размера кучи; выигрышная стратегия — играть в такой куче, уменьшая эту кучу до ним-суммы ее исходного размера с помощью X. В приведенном выше примере взятие ним-суммы размеров равно X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2 . Ним-суммы размеров кучи A=3, B=4 и C=5 с X=2 равны
- A ⊕ X = 3 ⊕ 2 = 1 [поскольку (011) ⊕ (010) = 001]
- Б ⊕ Икс = 4 ⊕ 2 = 6
- С ⊕ Икс = 5 ⊕ 2 = 7
Единственная куча, которая уменьшается, — это куча А, поэтому выигрышным ходом будет уменьшение размера кучи А до 1 (путем удаления двух объектов).
В частном простом случае, если осталось только две кучи, стратегия состоит в том, чтобы уменьшить количество объектов в большей куче, чтобы сделать кучи равными. После этого, какой бы ход ни сделал ваш противник, вы можете сделать тот же ход и на другой куче, гарантируя, что вы возьмете последний объект.
Стратегия Нима, играемая как игра-мизер, отличается только тогда, когда при обычном игровом ходе остаются только кучи размером один. В этом случае правильным ходом будет оставить нечетное количество стопок размером один (в обычной игре правильным ходом будет оставить четное количество таких стопок).
Эти стратегии для нормальной игры и игры-мизера одинаковы до тех пор, пока количество кучек, содержащих по крайней мере два объекта, не станет точно равным одному. В этот момент следующий игрок удаляет либо все объекты (или все, кроме одного) из кучи, в которой их два или более, так что ни в одной куче не будет более одного объекта (другими словами, чтобы все оставшиеся кучи содержали ровно по одному объекту в каждой). , поэтому игроки вынуждены поочередно удалять ровно один объект, пока игра не закончится. В обычной игре игрок оставляет четное количество ненулевых стопок, поэтому один и тот же игрок занимает последнее место; в мизер-игре игрок оставляет нечетное количество ненулевых стопок, поэтому другой игрок занимает последнее место.
В мизер-игре с кучками размером три, четыре и пять стратегия будет применяться следующим образом:
ABC нимсам 3 4 5 010 2 =2 10 Я беру 2 из A, оставляя сумму 000, поэтому я выиграю.1 4 5 000 2 =0 10 Вы берете 2 из C1 4 3 110 2 =6 10 я беру 2 из B1 2 3 000 2 =0 10 Вы берете 1 из C1 2 2 001 2 =1 10 я беру 1 из A0 2 2 000 2 =0 10 Вы берете 1 из C0 2 1 011 2 =3 10 Обычная стратегия игры — взять 1 у B, оставив четное число (2). кучи размера 1. Для мизер-игры я беру всю кучу B, чтобы оставить нечетное количество. количество (1) куч размера 1.0 0 1 001 2 =1 10 Вы берете 1 из C и проигрываете.
победы Доказательство формулы
Правильность описанной выше оптимальной стратегии продемонстрировал К. Бутон.
Теорема . В обычной ним-игре игрок, делающий первый ход, имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда ним-сумма размеров куч не равна нулю. В противном случае у второго игрока есть выигрышная стратегия.
Доказательство: обратите внимание, что ним-сумма (⊕) подчиняется обычным ассоциативным и коммутативным законам сложения (+), а также обладает дополнительным свойством x ⊕ x = 0.
Пусть x 1 , ..., x n — размеры куч до перемещения, а y 1 , ..., y n — соответствующие размеры после перемещения. Пусть s = x 1 ⊕ ... ⊕ x n и t = y 1 ⊕ ... ⊕ y n . Если ход был в куче k , мы имеем x i = y i для всех i ≠ k и x k > y k . По указанным выше свойствам ⊕ имеем
т = 0 ⊕ т знак равно с ⊕ с ⊕ т знак равно s ⊕ ( Икс 1 ⊕ ... ⊕ Икс п ) ⊕ ( y 1 ⊕ ... ⊕ y п ) знак равно s ⊕ ( Икс 1 ⊕ y 1 ) ⊕ ... ⊕ ( Икс п ⊕ y п ) знак равно s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ ( Икс k ⊕ y k ) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 знак равно s ⊕ Икс k ⊕ y k (*) т знак равно s ⊕ Икс k ⊕ y k .
Теорема следует индукцией по длине игры из этих двух лемм.
Лемма 1 . Если s = 0, то t ≠ 0 независимо от того, какой ход будет сделан.
Доказательство: если невозможного хода нет, то лемма бессмысленно верна (и первый игрок по определению проигрывает в обычной игре). В противном случае любое перемещение в куче k приведет к получению t = x k ⊕ y k из (*). Это число не равно нулю, поскольку x k ≠ y k .
Лемма 2 . Если s ≠ 0, можно сделать ход так, что t = 0.
Доказательство: пусть d будет позицией самого левого (наиболее значимого) ненулевого бита в двоичном представлении s и выберите k так, чтобы d -й бит x k также был ненулевым. (Такой k должен существовать, поскольку в противном случае d -й бит s был бы равен 0.)Тогда, полагая y k = s ⊕ x k , мы утверждаем, что y k < x k : все биты слева от d одинаковы в x k и y k , бит d уменьшается с 1 до 0 (уменьшая значение на 2 д ), а любое изменение остальных битов составит не более 2 д −1. Таким образом, первый игрок может сделать ход, взяв x k − y k объектов из кучи k , затем
t = s ⊕ x k ⊕ y k (по (*)) знак равно s ⊕ Икс k ⊕ ( s ⊕ Икс k ) = 0.
Модификацию мизер-игры можно продемонстрировать, отметив, что модификация сначала возникает в позиции, в которой имеется только одна стопка размером 2 или более. Обратите внимание, что в такой позиции s ≠ 0, и, следовательно, такая ситуация должна возникнуть, когда наступает очередь игрока, следующего выигрышной стратегии. Обычная стратегия игры заключается в том, что игрок уменьшает ее до размера 0 или 1, оставляя четное количество куч размером 1, а стратегия Мизера состоит в том, чтобы сделать противоположное. С этого момента все ходы являются вынужденными.
Вариации [ править ]
Игра на вычитание [ править ]
В другой игре, которая широко известна как ним (но ее лучше называть игрой на вычитание ), устанавливается верхняя граница количества объектов, которые можно удалить за ход. Вместо того, чтобы удалять произвольное количество объектов, игрок может удалять только 1, 2, или... или k за раз. На практике в эту игру обычно играют только с одной кучей.
Анализ Бутона легко переносится на общую версию этой игры с несколькими кучами. Единственная разница состоит в том, что в качестве первого шага, прежде чем вычислять ним-суммы, мы должны уменьшить размеры куч по модулю k + 1. Если в результате этого все кучи станут нулевыми (при неправильной игре), выигрышным ходом будет k предметов из одной из куч. В частности, в идеальной игре из одной кучки из n предметов второй игрок может выиграть тогда и только тогда, когда
- 0 = n (mod k + 1) (в обычной игре), или
- 1 = n (mod k + 1) (в игре несчастья).
Это следует из вычисления ним-последовательности S ( 1, 2, ..., k ),
из которого описанная выше стратегия следует по теореме Спрага–Грунди .
21-я игра [ править ]
Игра «21» представляет собой мизерную игру, в которой любое количество игроков по очереди произносит число. Первый игрок говорит «1», и каждый игрок по очереди увеличивает число на 1, 2 или 3, но не может превышать 21; игрок, вынужденный сказать «21», проигрывает. Это можно смоделировать как игру на вычитание с кучей из 21– n объектов. Выигрышная стратегия для версии этой игры для двух игроков — всегда называть число, кратное 4; тогда гарантировано, что другому игроку в конечном итоге придется сказать 21; поэтому в стандартной версии, где первый игрок открывает с «1», он начинает с проигрышного хода.
В игру «21» также можно играть с разными числами, например: «Добавьте максимум 5; проиграйте при 34».
Пример игры «21», в которой второй игрок следует выигрышной стратегии:
Номер игрока 1 1 2 4 1 5, 6 или 7 2 8 1 9, 10 или 11 2 12 1 13, 14 или 15 2 16 1 17, 18 или 19 2 20 1 21
Игра 100 [ править ]
Аналогичным вариантом является «игра на 100»: два игрока начинают с 0 и поочередно добавляют к сумме числа от 1 до 10. Побеждает игрок, набравший 100. Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы достичь числа, в котором цифры идут последовательно (например, 01, 12, 23, 34,...), и управлять игрой, перепрыгивая через все числа этой последовательности. Как только игрок наберет 89, противник сможет выбирать только числа от 90 до 99, а следующим ответом в любом случае может быть 100.
Правило множественной кучи [ править ]
В другом варианте нима, помимо удаления любого количества объектов из одной кучи, разрешается удалять одинаковое количество объектов из каждой кучи.
Круглый ним [ править ]
Еще один вариант нима - это «круговой ним», при котором любое количество объектов размещается в круге, и два игрока поочередно убирают один, два или три соседних объекта. Например, начиная с круга из десяти предметов,
. . . . . . . . . .
три предмета взяты первым ходом
_ . . . . . . . _ _
потом еще три
_ . _ _ _ . . . _ _
тогда один
_ . _ _ _ . . _ _ _
но тогда три предмета нельзя вынести за один ход.
Игра Гранди [ править ]
В игре Гранди , еще одном варианте нима, несколько предметов помещаются в начальную кучу, и два игрока поочередно делят кучу на две непустые кучи разного размера. Таким образом, шесть предметов можно разделить на стопки по 5+1 или 4+2, но не по 3+3. В игру Гранди можно играть как в мизер, так и в обычную игру.
Greedy nim [ edit ]
Жадный ним — это вариант, в котором игроки могут выбирать камни только из самой большой кучки. [10] Это конечная беспристрастная игра . В игре «Жадный ним» действуют те же правила, что и в «Жадный ним», но проигрывает последний игрок, способный сделать ход.
Пусть наибольшее количество камней в кучке равно m , а второе по величине количество камней в кучке равно n . Пусть p m — количество кучек, содержащих m камней, а p n — количество кучек, содержащих n камней. Тогда существует теорема о том, что игровые позиции с — четным pm это P позиций. [11] рассмотрев позиции, где pm Эту теорему можно доказать , нечетно. Если pm 1 больше 1, все камни можно удалить из этой кучки, чтобы уменьшить и на новый pm pm будет четным. Если p m = 1 (т. е. наибольшая куча уникальна), возможны два случая:
- Если p n нечетно, размер наибольшей кучи уменьшается до n так что теперь новое pm ( четное).
- Если p n четно, самая большая куча удаляется полностью, оставляя четное количество самых больших куч.
Таким образом, существует переход в состояние, когда четно pm . И наоборот, если pm четно и возможен любой ход ( pm ≠ 0), то он должен перевести игру в состояние, в котором нечетно pm . Финальная позиция игры четная ( pm = 0 ) . Следовательно, каждая позиция игры с должна четным pm быть P. позицией
Индекс- к ним [ править ]
Обобщение многокучного нима называлось «ним или «index -k » ним Э. Х. Мура , [12] который проанализировал его в 1910 году. В index -k nim вместо удаления объектов только из одной кучи игроки могут удалять объекты хотя бы из одной, но до k разных куч. Количество элементов, которые можно удалить из каждой кучи, может быть произвольным или ограничено не более чем r элементами, как в «игре на вычитание» выше.
Выигрышная стратегия заключается в следующем: как и в обычном многокучном nim, рассматривается двоичное представление размеров кучи (или размеров кучи по модулю r + 1). В обычном nim формируется сумма XOR (или сумма по модулю 2) каждой двоичной цифры, и выигрышная стратегия состоит в том, чтобы сделать каждую сумму XOR равной нулю. В обобщении на index -k nim формируется сумма каждой двоичной цифры по модулю k + 1.
Опять же, выигрышная стратегия состоит в том, чтобы сделать ход так, чтобы эта сумма была равна нулю для каждой цифры. Действительно, вычисленное таким образом значение равно нулю для конечной позиции, и учитывая конфигурацию куч, для которой это значение равно нулю, любое изменение не более чем k куч сделает значение ненулевым. И наоборот, учитывая конфигурацию с ненулевым значением, всегда можно взять не более k тщательно выбранных куч, чтобы значение стало равным нулю.
Строим ним [ править ]
Создание нима — это вариант нима, в котором два игрока сначала создают игру ним. Имея n камней и s пустых стопок, игроки поочередно кладут ровно один камень в выбранную ими кучку. [13] Как только все камни будут расставлены, начинается игра Ним, начиная со следующего игрока, который будет ходить. Эта игра обозначается BN(n,s) .
Ним более высокого измерения [ править ]
n -d nim играет на доска, на которой из любого гиперряда можно удалить любое количество непрерывных фигур. Исходное положение обычно – полный пансион, но допускаются и другие варианты. [14]
Граф ним [ править ]
Стартовая доска представляет собой несвязный граф, и игроки по очереди удаляют соседние вершины. [15]
Кэнди ним [ править ]
Конфетный ним — это версия нима для обычной игры, в которой игроки пытаются одновременно достичь двух целей: взять последний объект (в данном случае конфету) и получить максимальное количество конфет к концу игры. [16]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Йоргенсен, Анкер Хелмс (2009), «Контекст и движущие силы в разработке ранней компьютерной игры Nimbi» , IEEE Annals of the History of Computing , 31 (3): 44–53, doi : 10.1109/MAHC.2009.41 , MR 2767447 , S2CID 2833693 ,
Математическая игра для двух человек «ним», которая, как многие полагают, возникла в Китае, вероятно, является одной из старейших игр в мире.
- ^ Яглом И.М. (2001), «Две игры со спичками», в Табачников, Серж (ред.), Квант Селекта: Комбинаторика, I, Том 1 , Математический мир, вып. 17, Американское математическое общество , стр. 1–8, ISBN. 9780821821718
- ^ Бутон, CL (1901–1902), «Ним, игра с полной математической теорией », Annals of Mathematics , 3 (14): 35–39, doi : 10.2307/1967631 , JSTOR 1967631
- ^ Флеш, Рудольф (1951). Искусство ясного мышления . Нью-Йорк: Издательство Harper and Brothers. п. 3.
- ^ Келлем, Бетси (01 марта 2022 г.). «Ниматрон» . JSTOR Daily . Архивировано из оригинала 28 июня 2023 г. Проверено 28 июня 2023 г.
- ^ Грант, Юджин Ф.; Ларднер, Рекс (2 августа 1952 г.). «Городской разговор - Это» . Житель Нью-Йорка .
- ^ Коэн, Харви А. «Как построить игровую машину NIM» (PDF) .
- ^ Морриссетт, Брюс (1968), «Игры и игровые структуры в Роб-Грийе», Йельские исследования французского языка (41): 159–167, doi : 10.2307/2929672 , JSTOR 2929672 . Морриссетт пишет, что Ален Роб-Грийе , один из сценаристов фильма, «думал, что изобрел» игру.
- ^ Хованова, Таня; Сюн, Джошуа (2014). «Ним Фракталы». arXiv : 1405.5942 [ math.CO ].
- ^ Пути выигрыша в математических играх . Том. 4 тома. (2-е изд.). ООО «АК Петерс», 2001 г .; Берлекамп, Элвин Р.; Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард К. (15 июня 2003 г.). том. 1 . ISBN 978-1-56881-130-7 . ; Берлекамп, Элвин Р.; Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард К. (15 июня 2003 г.). том. 2 . ISBN 978-1-56881-142-0 . ; Берлекамп, Элвин Р.; Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард К. (15 июня 2003 г.). том. 3 . ISBN 978-1-56881-143-7 . ; Берлекамп, Элвин Р.; Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард К. (15 июня 2004 г.). том. 4 . ISBN 978-1-56881-144-4 .
- ^ М. Х. Альберт, Р. Дж. Новаковски (2004). «Ограничения Нима» (PDF) . Целые числа : 2.
- ^ Мур, Э.Х. Обобщение игры под названием Ним . Анналы математики 11 (3), 1910, стр. 93–94.
- ^ Ларссон, Урбан; Хойбах, Сильвия ; Дюфур, Матье; Дюшен, Эрик (2015). «Строительство Нима». arXiv : 1502.04068 [ cs.DM ].
- ^ «1021 – 2D-Ним» . Poj.org . Проверено 9 января 2019 г.
- ^ Эриксон, Линдси Энн (2011). «Игра Нима на графах» . Государственный университет Северной Дакоты .
- ^ Рубинштейн-Сальцедо, Саймон (18 мая 2018 г.). «Играй в Кэнди Ним». arXiv : 1805.07019 [ math.CO ].
Дальнейшее чтение [ править ]
- WW Rouse Ball: математические развлечения и очерки , The Macmillan Company, 1947.
- Джон Д. Бизли: Математика игр , Oxford University Press, 1989.
- Элвин Р. Берлекамп, Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай: пути к победе в ваших математических играх , Academic Press, Inc., 1982.
- Манфред Эйген и Рутильд Винклер : Правила игры , Princeton University Press, 1981.
- Уолтер Р. Фукс: Компьютеры: теория информации и кибернетика , Образовательные публикации Руперта Харт-Дэвиса, 1971.
- Г.Х. Харди и Э.М. Райт: Введение в теорию чисел , Oxford University Press, 1979.
- Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман: математика и воображение , Саймон и Шустер, 1940.
- М. Кайчик: Математические развлечения , В. В. Нортон, 1942.
- Дональд Д. Спенсер: Игры с компьютерами , Hayden Book Company, Inc., 1968.
Внешние ссылки [ править ]
- 50-фунтовый компьютер играет Ним - журнал The New Yorker "Talk of the Town", август 1952 г. (требуется подписка)
- Горячая игра Ним – теория Нима и связи с другими играми в режиме «разрубить узел».
- Ним и двухмерный СуперНим в разгаре
- Игра на вычитание : иллюстрация игры на вычитание в Appstore.
- Классический Nim — реализация Nim для iOS.
- Matchstick Nim — реализация Nim для устройств Android.
- NIM2 — реализация Nim для устройств Android.