Однородный полином

В математике , однородный многочлен иногда называемый квантовым в старых текстах, представляет собой многочлен , все ненулевые члены которого имеют одинаковую степень . Например, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ — однородный полином пятой степени от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Полином $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ не является однородным, поскольку сумма показателей не совпадает от члена к члену. Функция, определяемая однородным полиномом, всегда является однородной функцией .

Алгебраическая форма или просто форма — это функция, определяемая однородным полиномом. Бинарная форма — это форма с двумя переменными. Форма векторном также является функцией, определенной в пространстве , которая может быть выражена как однородная функция координат в любом базисе .

Полином степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов , обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 является линейной формой . Форма степени 2 является квадратичной формой . В геометрии евклидово расстояние — это квадратный корень квадратичной формы.

Однородные полиномы повсеместно встречаются в математике и физике. Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии , поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как набор общих нулей набора однородных многочленов.

Свойства

Однородный полином определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный полином P однороден степени d , то

$P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,$

для каждого $\lambda$ в любом поле содержащем коэффициенты P , . И наоборот, если приведенное выше соотношение верно для бесконечного числа $\lambda$ тогда многочлен однороден степени d .

В частности, если P однороден, то

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,$

для каждого $\lambda .$ Это свойство является фундаментальным в определении проективного многообразия .

Любой ненулевой многочлен можно единственным образом разложить в сумму однородных многочленов разных степеней, которые называются однородными компонентами многочлена.

Учитывая полиномиальное кольцо $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ над полем (или, в более общем плане, кольцом ) K однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемое $R_{d}.$ Вышеупомянутое уникальное разложение означает, что $R$ является прямой суммой $R_{d}$ (сумма по всем неотрицательным целым числам ).

Размерность векторного пространства (или свободного модуля ) $R_{d}$ — количество различных мономов степени d от n переменных (т. е. максимальное число ненулевых членов в однородном многочлене степени d от n переменных). Он равен биномиальному коэффициенту

${\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.$

Однородный полином удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P — однородный полином степени d от неопределенных $x_{1},\ldots ,x_{n},$ есть независимо от того, какое коммутативное кольцо коэффициентов ,

$dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},$

где $\textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ обозначает формальную частную P производную по $x_{i}.$

Гомогенизация

Неоднородный многочлен P ( x ₁ ,..., x _n ) можно гомогенизировать, введя дополнительную переменную x ₀ и определив однородный многочлен, иногда обозначаемый ^час П :

${^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),$

где d — степень P. ​ ​Например, если

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,$

затем

$^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.$

Усредненный полином можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x ₀ = 1. То есть

$P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).$

См. также

• Мультиоднородный полином
• Квазиоднородный полином
• Диагональная форма
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта и полином Гильберта
• Многолинейная форма
• Многолинейная карта
• Поляризация алгебраической формы
• Полином Шура
• Символ дифференциального оператора

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с однородными полиномами, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Однородный полином» . Математический мир .