Мультиоднородная теорема Безу

В алгебре и алгебраической геометрии мультиоднородная теорема Безу является обобщением на мультиоднородные многочлены теоремы Безу , которая подсчитывает количество изолированных общих нулей набора однородных многочленов . Это обобщение принадлежит Игорю Шафаревичу . ^[1]

Мотивация

Учитывая полиномиальное уравнение или систему полиномиальных уравнений, часто бывает полезно вычислить или ограничить количество решений без явного вычисления решений.

В случае одного уравнения эта проблема решается фундаментальной теоремой алгебры , которая утверждает, что число комплексных решений ограничено степенью многочлена , с равенством, если решения считаются с их кратностями .

В случае системы из $n$ полиномиальных уравнений с $n$ неизвестными задача решается теоремой Безу , которая утверждает, что если число комплексных решений конечно, то их число ограничено произведением степеней многочленов. Более того, если число решений на бесконечности также конечно, то произведение степеней равно количеству решений, посчитанных с кратностями, включая решения на бесконечности.

Однако довольно часто число решений на бесконечности бесконечно. В этом случае произведение степеней многочленов может быть намного больше, чем количество корней, и полезны лучшие оценки.

Мультиоднородная теорема Безу обеспечивает такой лучший корень, когда неизвестные могут быть разделены на несколько подмножеств так, что степень каждого многочлена в каждом подмножестве ниже, чем общая степень многочлена. Например, пусть $p_{1},\ldots ,p_{2n}$ — многочлены второй степени, имеющие первую степень от $n$ неопределенных $x_{1},\ldots x_{n},$ а также первой степени в $y_{1},\ldots y_{n}.$ (то есть полиномы билинейны . В этом случае теорема Безу ограничивает количество решений величиной

2^{2n},

в то время как теорема Безу о мультиоднородности дает оценку (с использованием приближения Стирлинга )

{\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}.

Заявление

Мультиоднородный полином — это многочлен , однородный по нескольким наборам переменных.

Точнее, рассмотрим $k$ натуральных чисел $n_{1},\ldots ,n_{k}$ , а для $i = 1, ..., k$ , $n_{i}+1$ неопределенный $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.$ Полином от всех этих неопределенных является многооднородным или многостепенным. $d_{1},\ldots ,d_{k},$ если он однороден степени $d_{i}$ в $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.$

Мультипроективное многообразие — это проективное подмногообразие произведения проективных пространств.

\mathbb {P} _{n_{1}}\times \cdots \times \mathbb {P} _{n_{k}},

где $\mathbb {P} _{n}$ обозначим проективное пространство размерности $n$ . Мультипроективное многообразие можно определить как множество общих нетривиальных нулей идеала мультиоднородных многочленов, где «нетривиальное» означает, что $x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n}$ не являются одновременно 0 для каждого $i$ .

Теорема Безу утверждает, что $n$ однородных многочленов степени $d_{1},\ldots ,d_{n}$ в $n + 1$ неопределенном задают либо алгебраическое множество положительной размерности , либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из $d_{1}\cdots d_{n}$ очки учитываются с учетом их кратности.

Для формулировки обобщения теоремы Безу удобно ввести новые неопределенные величины. $t_{1},\ldots ,t_{k},$ и представлять многостепенную $d_{1},\ldots ,d_{k}$ по линейной форме $\mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.$ В дальнейшем термин «многостепень» будет относиться к этой линейной форме, а не к последовательности степеней.

Параметр $n=n_{1}+\cdots +n_{k},$ Теорема Безу о мультиоднородности состоит в следующем.

В приведенных выше обозначениях $n$ мультиоднородных полиномов мультистепеней $\mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{n}$ определяют либо мультипроективное алгебраическое множество положительной размерности, либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из $B$ точек, подсчитанных с кратностями, где $B$ - коэффициент при

t_{1}^{n_{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}

в произведении линейных форм

\mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.

Неоднородный случай

Мультиоднородная оценка Безу числа решений может использоваться для неоднородных систем уравнений, когда полиномы могут быть (мульти)-усреднены без увеличения общей степени. Однако в этом случае оценка может быть не точной, если существуют решения «на бесконечности».

Без понимания изучаемой проблемы может быть сложно сгруппировать переменные для «хорошей» мульти-гомогенизации. К счастью, существует множество задач, в которых такая группировка является прямым следствием моделируемой проблемы. Например, в механике уравнения, как правило, однородны или почти однородны по длинам и массам.

Ссылки

^ Шафаревич, И.Р. (2012) [1977]. Основная алгебраическая геометрия . Основные принципы математических наук. Том 213. Перевод Хирша К.А. Спрингера. ISBN 978-3-642-96200-4 .

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Шафаревич, И.Р. (2012) [1977]. Основная алгебраическая геометрия . Основные принципы математических наук. Том 213. Перевод Хирша К.А. Спрингера. ISBN 978-3-642-96200-4 .

[1]