Кратность (математика)

В математике кратность . члена мультимножества — это количество раз, которое он появляется в мультимножестве Например, количество раз, когда данный многочлен имеет корень в данной точке, является кратностью этого корня.

Понятие множественности важно для правильного счета без указания исключений (например, двойные корни учитываются дважды). Отсюда и выражение «считать с кратностью».

Если множественность игнорируется, это можно подчеркнуть, подсчитав количество различных элементов, например, «количество различных корней». Однако всякий раз, когда формируется набор (в отличие от мультинабора), множественность автоматически игнорируется, без необходимости использования термина «различный».

Кратность простого множителя

При простой факторизации простого кратность множителя равна его $p$ -адическая оценка . Например, простая факторизация целого числа $60$ равна

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

кратность простого множителя $2$ равна $2$ , а кратность каждого из простых множителей $3$ и $5$ равна $1$ . Таким образом, $число 60$ имеет четыре простых делителя, допускающих кратность, но только три различных простых делителя.

Кратность корня многочлена

Позволять $F$ быть полем и $p(x)$ полином от одной переменной коэффициентами с $F$ . Элемент $a\in F$ является корнем множественности $k$ из $p(x)$ если существует полином $s(x)$ такой, что $s(a)\neq 0$ и $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ . Если $k=1$ , то a называется простым корнем . Если $k\geq 2$ , затем $a$ называется кратным корнем .

Например, полином $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ имеет корни 1 и -4 и может быть записано как $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$ . Это означает, что 1 — корень кратности 2, а −4 — простой корень (кратности 1). Кратность корня — это количество вхождений этого корня при полной факторизации многочлена с помощью основной теоремы алгебры .

Если $a$ является корнем множественности $k$ многочлена, то он является корнем кратности $k-1$ производной случае этого полинома, если только характеристика основного поля не является делителем $k$ , и в этом $a$ является корнем кратности, по крайней мере $k$ производной.

Дискриминант . многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень

Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня

График f полиномиальной функции в касается оси x вещественных корнях многочлена. График касается его в кратных корнях f и не касается простых корней. График пересекает ось x при корнях нечетной кратности и не пересекает ее при корнях четной кратности.

Ненулевая полиномиальная функция всюду неотрицательна тогда и только тогда, когда все ее корни имеют четную кратность и существует $x_{0}$ такой, что $f(x_{0})>0$ .

Кратность решения нелинейной системы уравнений

Для уравнения $f(x)=0$ с решением с одной переменной $x_{*}$ , кратность $k$ если

f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0

и

f^{(k)}(x_{*})\neq 0.

Другими словами, дифференциальный функционал $\partial _{j}$ , определяемый как производная ${\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}$ функции в $x_{*}$ , исчезает в $f$ для $j$ до $k-1$ . Эти дифференциальные функционалы $\partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}$ охватывают векторное пространство, называемое двойственным пространством Маколея в $x_{*}$ , ^[1] и ее размерность – это кратность $x_{*}$ как ноль $f$ .

Позволять $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ быть системой $m$ уравнения $n$ переменные с решением $\mathbf {x} _{*}$ где $\mathbf {f}$ представляет собой отображение из $R^{n}$ к $R^{m}$ или из $C^{n}$ к $C^{m}$ . Существует также двойственное пространство Маколея дифференциальных функционалов в точке $\mathbf {x} _{*}$ в котором каждый функционал обращается в нуль при $\mathbf {f}$ . Размерность этого дуального пространства Маколея равна кратности решения. $\mathbf {x} _{*}$ к уравнению $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ . Двойственное пространство Маколея образует структуру кратности системы при решении. ^[2]^[3]

Например, решение $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$ системы уравнений в виде $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ с

\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]

имеет кратность 3, поскольку двойственное пространство Маколея

span\{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}

имеет размерность 3, где $\partial _{ij}$ обозначает дифференциальный функционал ${\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}}}$ применяется к функции в точке $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$ .

Кратность всегда конечна, если решение изолировано, инвариантно к возмущениям в том смысле, что $k$ -кратное решение становится кластером решений с объединенной кратностью $k$ при возмущении в комплексных пространствах и идентична кратности пересечений в полиномиальных системах.

Кратность пересечения

В алгебраической геометрии пересечение двух подмногообразий алгебраического многообразия представляет собой конечное объединение неприводимых многообразий . Каждой компоненте такого пересечения присвоена кратность пересечения . Это понятие является локальным в том смысле, что его можно определить, рассматривая то, что происходит в окрестности любой точки общего положения этого компонента. Отсюда следует, что без ограничения общности для определения кратности пересечений можно рассматривать пересечение двух аффинных многообразий (подмногообразий аффинного пространства).

Таким образом, для двух аффинных многообразий V ₁ и V ₂ рассмотрим неприводимую компоненту W пересечения V ₁ и V ₂ . Пусть d — размерность W P , а — любая точка общего W. положения Пересечение W с d гиперплоскостями общего положения, проходящими через P, неприводимую компоненту, сводящуюся к одной точке P. имеет Следовательно, локальное кольцо в этой компоненте координатного кольца пересечения имеет только один простой идеал и, следовательно, является артиновым кольцом . Таким образом, это кольцо представляет собой конечномерное векторное пространство над основным полем. Его размерность равна кратности пересечения V ₁ и V ₂ в точке W .

Это определение позволяет точно сформулировать теорему Безу и ее обобщения.

Это определение обобщает кратность корня многочлена следующим образом. Корни многочлена f — это точки на аффинной прямой , которые являются компонентами алгебраического множества, определенного полиномом. Координатное кольцо этого аффинного множества есть $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ где K — алгебраически замкнутое поле, содержащее коэффициенты функции f . Если $f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}$ является факторизацией f , то локальное кольцо R в простом идеале $\langle X-\alpha _{i}\rangle$ является $K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .$ Это векторное пространство над K , имеющее кратность $m_{i}$ корня как размерности.

Это определение множественности пересечений, которое по существу принадлежит Жану-Пьеру Серру в его книге «Локальная алгебра» , работает только для теоретико-множественных компонентов (также называемых изолированными компонентами ) пересечения, а не для вложенных компонентов . Были разработаны теории для обработки встроенного случая ( см. Теорию пересечения подробнее ).

В комплексном анализе

Пусть z ₀ — корень голоморфной функции f и пусть n — наименьшее положительное целое число такое, что n ^й производная f, оцененная при z _0, отличается от нуля. Тогда ряд степенной f относительно z ₀ начинается с n ^й говорят , что f имеет корень кратности (или «порядка») n . Если n = 1, корень называется простым корнем. ^[4]

Мы также можем определить кратность нулей и полюсов мероморфной функции . Если у нас есть мероморфная функция ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ возьмем Тейлора разложения g и h вокруг точки z ₀ и найдем первый ненулевой член в каждом (обозначим порядок членов m и n соответственно), тогда если m = n , то точка имеет ненулевое значение . Если $m>n,$ тогда точка является нулем кратности $m-n.$ Если $m<n$ , то точка имеет полюс кратности $n-m.$

Ссылки

^ DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein и CW Wampler (2013). Численное решение полиномиальных систем с помощью Бертини . СИАМ. стр. 186–187. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Б.Х. Дейтон, Т.-Ю. Ли и З. Цзэн (2011). «Множественные нули нелинейных систем». Математика вычислений . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . дои : 10.1090/s0025-5718-2011-02462-2 . S2CID 9867417 .
^ Маколей, Ф.С. (1916). Алгебраическая теория модульных систем . Кембриджский университет. Пресс 1994 г., перепечатка оригинала 1916 г.
^ (Кранц 1999, стр. 70)

Кранц, С.Г. Справочник по комплексным переменным . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .

[bshw-1] DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein и CW Wampler (2013). Численное решение полиномиальных систем с помощью Бертини . СИАМ. стр. 186–187. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[blz-2] Б.Х. Дейтон, Т.-Ю. Ли и З. Цзэн (2011). «Множественные нули нелинейных систем». Математика вычислений . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . дои : 10.1090/s0025-5718-2011-02462-2 . S2CID 9867417 .

[mac-3] Маколей, Ф.С. (1916). Алгебраическая теория модульных систем . Кембриджский университет. Пресс 1994 г., перепечатка оригинала 1916 г.

[4] (Кранц 1999, стр. 70)

[1]

[2]

[3]

[4]