Полярный набор

Смотрите также: Полярное множество (теория потенциала)

В функциональном и выпуклом анализе и родственных дисциплинах математики полярное множество $A^{\circ }$ — специальное выпуклое множество, связанное с любым подмножеством $A$ векторного пространства $X,$ лежащий в двойном пространстве $X^{\prime }.$ Биполярное подмножество — это полярное $A^{\circ },$ но лежит в $X$ (нет $X^{\prime \prime }$).

Определения

Существует по крайней мере три конкурирующих определения поляры множества, берущие начало в проективной геометрии и выпуклом анализе. В каждом случае определение описывает двойственность между определенными подмножествами пары векторных пространств. $\langle X,Y\rangle$ над действительными или комплексными числами ( $X$ и $Y$ часто являются топологическими векторными пространствами (TVS)).

Если $X$ — векторное пространство над полем $\mathbb {K}$ тогда, если не указано иное, $Y$ обычно, но не всегда, будет некоторым векторным пространством линейных функционалов на $X$ и двойное спаривание $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K}$ будет билинейной оценки ( в точке ), картой определяемой $$\langle x,f\rangle :=f(x).$$Если $X$ является топологическим векторным пространством, то пространство $Y$ обычно, но не всегда, будет непрерывным двойственным пространством $X,$ в этом случае двойная пара снова будет картой оценки.

Обозначим замкнутый шар радиуса $r\geq 0$ с центром в начале координат основного скалярного поля $\mathbb {K}$ из $X$ к $$B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.$$

Функционально-аналитическое определение

Абсолютный полярный

Предположим, что $\langle X,Y\rangle$ это пара . Полярная или абсолютная полярность подмножества $A$ из $X$ это набор: $${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

где $\langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}$ обозначает образ множества $A$ под картой $\langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K}$ определяется $x\mapsto \langle x,y\rangle .$ Если $\operatorname {cobal} A$ обозначает выпуклую сбалансированную оболочку $A,$ которое по определению является наименьшим выпуклым и сбалансированным подмножеством $X$ который содержит $A,$ затем $A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.$

Это аффинный сдвиг геометрического определения; у него есть полезная характеристика: функционально-аналитическая поляра единичного шара (в $X$) — это именно единичный шар (в $Y$).

Преполярный абсолютный или преполяр подмножества $B$ из $Y$ это набор: $${}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}$$

Очень часто преполяр подмножества $B$ из $Y$ также называется полярным или абсолютным полярным $B$ и обозначается $B^{\circ }$; на практике такое повторное использование обозначений и слова «полярный» редко вызывает какие-либо проблемы (например, двусмысленность), и многие авторы даже не используют слово «преполярный».

Биполярное расстройство подмножества $A$ из $X,$ часто обозначается $A^{\circ \circ },$ это набор ${}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)$; то есть, $$A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.$$

Настоящий полярный

Настоящая поляра подмножества $A$ из $X$ это набор: $$A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}$$и настоящий преполяр подмножества $B$ из $Y$ это набор: $${}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.$$

Как и абсолютный преполяр, настоящий преполяр обычно называют реальным поляром и также обозначают $B^{r}.$ Важно отметить, что некоторые авторы (например, [Schaefer 1999]) определяют «полярный» как «реальный полярный» (а не «абсолютный полярный», как это сделано в этой статье) и используют обозначение $A^{\circ }$ для него (а не обозначение $A^{r}$ который используется в этой статье и в [Narici 2011]).

Настоящее биполярное расстройство подмножества $A$ из $X,$ иногда обозначается $A^{rr},$ это набор ${}^{r}\left(A^{r}\right)$; оно равно $\sigma (X,Y)$-замыкание выпуклой оболочки $A\cup \{0\}.$

Для подмножества $A$ из $X,$ $A^{r}$ является выпуклым, $\sigma (Y,X)$-замкнутый и содержит $A^{\circ }.$ В общем, возможно, что $A^{\circ }\neq A^{r}$ но равенство будет иметь место, если $A$ является сбалансированным . Более того, $A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)$ где $\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)$ обозначает сбалансированный корпус $A^{r}.$

Конкурирующие определения

Определение «полярности» множества не является общепринятым. Хотя в этой статье слово «полярный» определяется как «абсолютная полярность», некоторые авторы определяют «полярный» как «настоящий полярный», а другие авторы используют другие определения. Как бы автор ни определял понятие «полярный», обозначения $A^{\circ }$ почти всегда представляет собой свой выбор определения (поэтому смысл обозначений $A^{\circ }$ может отличаться от источника к источнику). В частности, поляра $A$ иногда определяется как: $$A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}$$где обозначение $A^{|r|}$ является не стандартным обозначением.

Теперь мы кратко обсудим, как эти различные определения соотносятся друг с другом и когда они эквивалентны.

Всегда бывает так, что $$A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}$$и если $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ имеет действительное значение (или, что то же самое, если $X$ и $Y$ являются векторными пространствами над $\mathbb {R}$) затем $A^{\circ }=A^{|r|}.$

Если $A$ является симметричным множеством (т.е. $-A=A$ или эквивалентно, $-A\subseteq A$) затем $A^{|r|}=A^{r}$ где, если в дополнение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является действительной тогда $A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.$

Если $X$ и $Y$ являются векторными пространствами над $\mathbb {C}$ (так что $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является комплексным) и если $iA\subseteq A$ (где обратите внимание, что это подразумевает $-A=A$ и $iA=A$), затем $$A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }$$где, если в дополнение $e^{ir}A\subseteq A$ для всех реально $r$ затем $A^{\circ }=A^{r}.$

Таким образом, для всех этих определений полярного множества $A$ чтобы согласиться, достаточно того, что $sA\subseteq A$ для всех скаляров $s$ единичной длины (где это эквивалентно $sA=A$ для всех единиц измерения скаляра длины $s$).В частности, все определения поляры $A$ договориться, когда $A$ представляет собой сбалансированный набор (что часто, но не всегда так), поэтому зачастую то, какое из этих конкурирующих определений используется, не имеет значения. Однако эти различия в определениях «полярного» множества $A$ иногда вносят тонкие или важные технические различия, когда $A$ не обязательно сбалансирован.

Специализация на канонической двойственности

Алгебраическое двойственное пространство

Если $X$ — любое векторное пространство, тогда пусть $X^{\#}$ обозначают алгебраическое дуальное пространство $X,$ которое представляет собой множество всех линейных функционалов на $X.$ Векторное пространство $X^{\#}$ всегда является замкнутым подмножеством пространства $\mathbb {K} ^{X}$ из всех $\mathbb {K}$-значные функции на $X$ в топологии поточечной сходимости, поэтому, когда $X^{\#}$ наделен топологией подпространства, то $X^{\#}$ становится по Хаусдорфу полным локально выпуклым топологическим векторным пространством (ТВП). Для любого подмножества $A\subseteq X,$ позволять $${\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Если $A\subseteq B\subseteq X$ есть ли подмножества тогда $B^{\#}\subseteq A^{\#}$ и $A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},$ где $\operatorname {cobal} A$ обозначает выпуклую сбалансированную оболочку $A.$ Для любого конечномерного векторного подпространства $Y$ из $X,$ позволять $\tau _{Y}$ обозначим евклидову топологию на $Y,$ это уникальная топология, которая делает $Y$ в топологическое векторное пространство Хаусдорфа (ТВП). Если $A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }$ обозначает объединение всех замыканий $\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)$ как $Y$ меняется во всех конечномерных векторных подпространствах $X,$ затем $A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}$ (см. эту сноску для пояснения). Если $A$ представляет собой поглощающее подмножество $X$ тогда по теореме Банаха– Алаоглу $A^{\#}$ является слабым* компактным подмножеством $X^{\#}.$

Если $A\subseteq X$ любое непустое подмножество векторного пространства $X$ и если $Y$ — любое векторное пространство линейных функционалов на $X$ (то есть векторное подпространство алгебраического двойственного пространства $X$) то действительное отображение

$|\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R}$      определяется      $\left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|$

является полунормой по $Y.$ Если $A=\varnothing$ тогда по определению супремума , $\,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,$ так что карта $\,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,$ определенное выше, не будет действительным и, следовательно, не будет полунормой.

Непрерывное двойное пространство

Предположим, что $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }.$ Важный частный случай, когда $Y:=X^{\prime }$ а скобки представляют каноническую карту: $$\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)$$сейчас считается. тройка $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$ называется каноническим спариванием, связанным с $X.$

Поляра подмножества $A\subseteq X$ относительно этой канонической пары: $${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Для любого подмножества $A\subseteq X,$ $A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }$ где $\operatorname {cl} _{X}A$ означает закрытие ​ $A$ в $X.$

Теорема Банаха – Алаоглу утверждает, что если $A\subseteq X$ является окрестностью начала координат в $X$ затем $A^{\circ }=A^{\#}$ и это полярное множество является компактным подмножеством непрерывного дуального пространства $X^{\prime }$ когда $X^{\prime }$ наделен слабой топологией (также известной как топология поточечной сходимости).

Если $A$ удовлетворяет $sA\subseteq A$ для всех скаляров $s$ единичной длины, то можно заменить знаки абсолютных величин на $\operatorname {Re}$ (оператор действительной части), так что: $${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Преполяр подмножества $B$ из $Y=X^{\prime }$ является: $${}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}$$

Если $B$ удовлетворяет $sB\subseteq B$ для всех скаляров $s$ единичной длины, то можно заменить знаки абсолютных значений на $\operatorname {Re}$ так что: $${}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}$$где $B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.$

Биполярная теорема характеризует биполярность подмножества топологического векторного пространства.

Если $X$ является нормированным пространством и $S$ это открытый или закрытый единичный шар в $X$ (или даже любое подмножество закрытого единичного шара, содержащее открытый единичный шар), тогда $S^{\circ }$ — замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве $X^{\prime }$ когда $X^{\prime }$ наделен своей канонической двойственной нормой .

Геометрическое определение конусов

Основная статья: Полюс и полярный

Полярный конус выпуклого конуса $A\subseteq X$ это набор $$A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}$$

Это определение дает двойственность точек и гиперплоскостей, записывая последнюю как пересечение двух противоположно ориентированных полупространств. Полярная гиперплоскость точки $x\in X$ это локус $\{y~:~\langle y,x\rangle =0\}$; двойственное отношение для гиперплоскости дает полярную точку этой гиперплоскости.

Некоторые авторы (сбивчиво) называют двойной конус полярным конусом; мы не будем следовать этому соглашению в этой статье.

Характеристики

Если не указано иное, $\langle X,Y\rangle$ будет пара . Топология $\sigma (Y,X)$ это топология слабого* на $Y$ пока $\sigma (X,Y)$ слабая топология на $X.$ Для любого набора $A,$ $A^{r}$ обозначает реальную поляру $A$ и $A^{\circ }$ обозначает абсолютную поляру $A.$ Термин «полярный» будет относиться к абсолютной полярности.

• (Абсолютная) поляра множества выпукла и сбалансирована .
• Настоящий полярник $A^{r}$ из подмножества $A$ из $X$ выпуклый, но не обязательно сбалансированный; $A^{r}$ будет сбалансированным, если $A$ является сбалансированным.
• Если $sA\subseteq A$ для всех скаляров $s$ единичной длины, тогда $A^{\circ }=A^{r}.$
• $A^{\circ }$ закрыт ​ в $Y$ в слабой-*-топологии на $Y$.
• Подмножество $S$ из $X$ слабо ограничено (т.е. $\sigma (X,Y)$-ограничено) тогда и только тогда, когда $S^{\circ }$ поглощает ​ ​ $Y$.
• Для двойной пары $\langle X,X^{\prime }\rangle ,$ где $X$ это ТВС и $X^{\prime }$ является его непрерывным дуальным пространством, если $B\subseteq X$ ограничен тогда $B^{\circ }$ поглощает ​ ​ $X^{\prime }.$ Если $X$ является локально выпуклым и $B^{\circ }$ поглощает $X^{\prime }$ затем $B$ ограничен $X.$ Более того, подмножество $S$ из $X$ слабо ограничен тогда и только тогда, когда $S^{\circ }$ поглощает ​ ​ $X^{\prime }.$
• Биполярное расстройство $A^{\circ \circ }$ из набора $A$ это $\sigma (X,Y)$- замкнутая выпуклая оболочка $A\cup \{0\},$ это самый маленький $\sigma (X,Y)$-замкнутое и выпуклое множество, содержащее оба $A$ и $0.$
  • Аналогично, бидуальный конус конуса $A$ это $\sigma (X,Y)$-закрытый конический корпус $A.$
• Если ${\mathcal {B}}$ является основой для TVS $X$ затем $X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).$
• Если $X$ является локально выпуклой TVS, то поляры (взятые по $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$) любой базы 0-окрестности образует фундаментальное семейство равнонепрерывных подмножеств $X^{\prime }$ (т.е. для любого ограниченного подмножества $H$ из $X_{\sigma }^{\prime },$ существует район $S$ происхождения в $X$ такой, что $H\subseteq S^{\circ }$).
  • И наоборот, если $X$ является локально выпуклой TVS, то поляры (взятые по $\langle X,X^{\#}\rangle$) любого фундаментального семейства равнонепрерывных подмножеств $X^{\prime }$ образуют базу окрестности начала координат в $X.$
• Позволять $X$ быть TVS с топологией $\tau .$ Затем $\tau$ является локально выпуклой TVS-топологией тогда и только тогда, когда $\tau$ — топология равномерной сходимости на равнонепрерывных подмножествах $X^{\prime }.$

Последние два результата объясняют, почему эквинепрерывные подмножества непрерывного дуального пространства играют такую ​​заметную роль в современной теории функционального анализа: потому что эквинепрерывные подмножества инкапсулируют всю информацию о локально выпуклом пространстве. $X$исходная топология.

Установить отношения

• $X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}$ и $\varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.$
• Для всех скаляров $s\neq 0,$ $(sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)$ и вообще реально $t\neq 0,$ $(tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)$ и $(tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).$
• $A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.$ Однако для настоящего поляра мы имеем $A^{rrr}\subseteq A^{r}.$
• Для любого конечного набора множеств $A_{1},\ldots ,A_{n},$ $$\left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).$$
• Если $A\subseteq B$ затем $B^{\circ }\subseteq A^{\circ },$ $B^{r}\subseteq A^{r},$ и $B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.$
  • Непосредственным следствием является то, что $\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$; равенство обязательно имеет место, когда $I$ конечно и может не выполняться, если $I$ бесконечен.
• $\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$ и $\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.$
• Если $C$ представляет собой конус в $X$ затем $C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.$
• Если $\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ это семья $\sigma (X,Y)$-закрытые подмножества $X$ содержащий $0\in X,$ тогда настоящая поляра $\cap _{i\in I}S_{i}$ представляет собой замкнутую выпуклую оболочку $\cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).$
• Если $0\in A\cap B$ затем $A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).$
• Для замкнутого выпуклого конуса $C$ в реальном векторном пространстве $X,$ полярный конус – это полярный полюс $C$; то есть, $$C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},$$ где $\sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .$

См. также

• Теорема Банаха – Алаоглу - Теорема функционального анализа
• Биполярная теорема - Теорема выпуклого анализа
• Полярный конус – концепции выпуклого анализа. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Полярная топология - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .