Полярное множество (теория потенциала)

В математике , в области классической теории потенциала , полярные множества являются «пренебрежимо малыми множествами», подобно тому, как множества нулевой меры являются пренебрежимо малыми множествами в теории меры .

Определение

Набор $Z$ в $\mathbb {R} ^{n}$ (где $n\geq 2$) является полярным множеством, если существует непостоянная субгармоническая функция

$u$ на $\mathbb {R} ^{n}$

такой, что

$Z\subseteq \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)=-\infty \}.$

Обратите внимание, что существуют другие (эквивалентные) способы определения полярных наборов, например, путем замены «субгармонического» на «супергармонический» и $-\infty$ к $\infty$ в определении выше.

Характеристики

Наиболее важными свойствами полярных множеств являются:

• Установлен синглтон $\mathbb {R} ^{n}$ является полярным.
• Счетное множество в $\mathbb {R} ^{n}$ является полярным.
• Объединение счетного набора полярных множеств полярно.
• Полярное множество имеет нулевую меру Лебега в $\mathbb {R} ^{n}.$

Почти везде

Свойство выполняется почти всюду в множестве S , если оно выполняется на S − E , где E — борелевское полярное множество. Если P выполняется почти везде, то оно выполняется почти везде .

См. также

• Плюриполярный набор

Ссылки

• Дуб, Джозеф Л. (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Основные принципы математических наук. Том 262. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  3-540-41206-9 . Збл   0549.31001 .
• Хелмс, LL (1975). Введение в теорию потенциала . РЭ Кригер. ISBN  0-88275-224-3 .
• Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 28. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-46654-7 . Збл   0828.31001 .

Внешние ссылки

• «Полярный комплект» . ПланетаМатематика .