Диаграмма трассировки

В математике диаграммы следов — графическое средство выполнения вычислений в линейной и полилинейной алгебре . Их можно представить в виде (слегка модифицированных) графов , в которых некоторые ребра помечены матрицами . Простейшие диаграммы следов представляют след и определитель матрицы. Некоторые результаты в линейной алгебре, такие как правило Крамера и теорема Кэли-Гамильтона , имеют простые диаграммные доказательства. Они тесно связаны с графическими обозначениями Пенроуза .

Формальное определение

Пусть V — векторное пространство размерности n V над полем F (при n ≥2), и пусть Hom( , V ) обозначает линейные преобразования на V . Диаграмма n -следов — это граф ${\mathcal {D}}=(V_{1}\sqcup V_{2}\sqcup V_{n},E)$ , где множества Vi ₎ ( i 1, 2, n состоят из вершин степени i = вместе со следующими дополнительными структурами:

ресничка ; в каждой вершине графа, которая представляет собой явное упорядочение соседних ребер в этой вершине
маркировка V ₂ → Hom( V , V ), сопоставляющая каждой вершине степени 2 линейное преобразование.

Обратите внимание, что V ₂ и V _n следует рассматривать как отдельные множества в случае n = 2. Оснащенная диаграмма следов представляет собой диаграмму следов вместе с разделением вершин V 1 степени 1 на _два непересекающихся упорядоченных набора, называемых входами и выходы .

«График», лежащий в основе диаграммы трассировки, может иметь следующие особенности, которые не всегда включены в стандартное определение графика:

Петли разрешены (петля — это ребро, соединяющее вершину с самой собой).
Ребра, не имеющие вершин, допускаются и обозначаются маленькими кружками.
Допускаются несколько ребер между одними и теми же двумя вершинами.

Соглашения о рисовании

Когда рисуются диаграммы трасс, ресничка на n -вершине обычно обозначается небольшой меткой между двумя инцидентными ребрами (на рисунке выше маленькая красная точка); конкретный порядок ребер следует, если двигаться против часовой стрелки от этой отметки.
Ресничка и маркировка в вершине степени 2 объединены в один направленный узел, который позволяет отличить первое ребро ( входящее ребро) от второго ребра ( исходящее ребро).
Диаграммы в рамке рисуются с входными данными в нижней части диаграммы и выходными данными в верхней части диаграммы. В обоих случаях порядок соответствует чтению слева направо.

Соответствие с полилинейными функциями

Каждая оснащенная диаграмма следов соответствует полилинейной функции между тензорными степенями векторного пространства V . Вершины степени 1 соответствуют входным и выходным сигналам функции, а вершины степени n соответствуют обобщенному символу Леви-Чивита (который представляет собой антисимметричный тензор, связанный с определителем ). Если диаграмма не имеет выходных цепочек, ее функция отображает тензорные произведения в скаляр. Если вершин степени 1 нет, диаграмма называется замкнутой и соответствующая ей функция может быть отождествлена со скаляром.

По определению, функция диаграммы трассировки вычисляется с использованием знаковой раскраски графа. Для каждой раскраски ребер графа n метками, чтобы никакие два ребра, смежные с одной и той же вершиной, не имели одну и ту же метку, присваивается вес на основе меток в вершинах и меток, смежных с метками матрицы. Эти веса становятся коэффициентами функции диаграммы.

На практике функция диаграммы трассировки обычно вычисляется путем разложения диаграммы на более мелкие части, функции которых известны. Затем общую функцию можно вычислить путем повторного составления отдельных функций.

Примеры

3-Векторные диаграммы

Некоторые векторные тождества легко доказать с помощью диаграмм следов. В этом разделе рассматриваются диаграммы с тремя трассами. При переводе диаграмм в функции можно показать, что положение ресничек в вершинах степени 3 не влияет на результирующую функцию, поэтому их можно опустить.

Можно показать, что векторное произведение и скалярное произведение трехмерных векторов представлены выражением

На этом рисунке входные данные функции показаны в виде векторов в желтых прямоугольниках внизу диаграммы. Диаграмма перекрестного произведения имеет выходной вектор, представленный свободной цепью в верхней части диаграммы. Диаграмма скалярного произведения не имеет выходного вектора; следовательно, его выход является скаляром.

В качестве первого примера рассмотрим тождество скалярного тройного произведения

(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {w} \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} =\det(\mathbf {u} \mathbf {v} \mathbf {w} ).

Чтобы доказать это схематически, обратите внимание, что все следующие рисунки представляют собой разные изображения одной и той же диаграммы с тремя трассами (как указано в приведенном выше определении):

Объединив приведенные выше диаграммы векторного произведения и скалярного произведения, можно считать три крайние левые диаграммы точно тремя самыми левыми скалярными тройными произведениями в приведенном выше тождестве. Также можно показать, что самая правая диаграмма представляет det[ u v w ]. Отсюда следует тождество скалярного тройного произведения, поскольку каждое из них представляет собой различное представление функции одной и той же диаграммы.

В качестве второго примера можно показать, что

(где равенство указывает на то, что тождество справедливо для лежащих в основе полилинейных функций). Можно показать, что этот тип идентичности не меняется, «изгибая» диаграмму или присоединяя дополнительные диаграммы, при условии, что изменения согласованы между всеми диаграммами идентичности. Таким образом, можно согнуть верхнюю часть диаграммы вниз и к каждому из свободных ребер присоединить векторы, чтобы получить

который читает

(\mathbf {x} \times \mathbf {u} )\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ),

известное тождество, связывающее четыре трехмерных вектора.

Диаграммы с матрицами

Простейшие замкнутые диаграммы с одной меткой матрицы соответствуют коэффициентам характеристического многочлена с точностью до скалярного множителя, зависящего только от размерности матрицы. Одно из представлений этих диаграмм показано ниже, где $\propto$ используется для обозначения равенства с точностью до скалярного коэффициента, который зависит только от размерности n базового векторного пространства.

.

Характеристики

Пусть G — группа матриц размера n×n. Если замкнутая диаграмма следа помечена k различными матрицами, ее можно интерпретировать как функцию от $G^{k}$ к алгебре полилинейных функций. Эта функция инвариантна относительно одновременного сопряжения , т. е. функция, соответствующая $(g_{1},\ldots ,g_{k})$ то же самое, что функция, соответствующая $(ag_{1}a^{-1},\ldots ,ag_{k}a^{-1})$ для любого обратимого $a\in G$ .

Расширения и приложения

Диаграммы следов можно специализировать для определенных групп Ли, слегка изменив определение. В этом контексте их иногда называют птичьими следами , тензорными диаграммами или графической нотацией Пенроуза .

Диаграммы следов в основном использовались физиками как инструмент для изучения групп Ли . Наиболее распространенные приложения используют теорию представлений для построения спиновых сетей на основе диаграмм следов. В математике они использовались для изучения разновидностей символов .

См. также

Ссылки

Книги:

Методы диаграмм в теории групп , Дж. Е. Стедман, издательство Кембриджского университета, 1990 г.
Теория групп: следы птиц, Лия и исключительные группы , Предраг Цвитанович , Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/