Категориальный след

В теории категорий разделе математики , категориальный след является обобщением следа матрицы , .

Определение

След определяется в контексте симметричной моноидальной категории C , т. е. категории , наделенной подходящим понятием произведения $\otimes$. (Обозначения отражают, что произведение во многих случаях является своего рода тензорным произведением .) Объект X в такой категории C называется дуализируемым , если существует другой объект $X^{\vee }$ играющий роль двойственного X. объекта В этой ситуации след морфизма $f:X\to X$ определяется как композиция следующих морфизмов: $\mathrm {tr} (f):1\ {\stackrel {coev}{\longrightarrow }}\ X\otimes X^{\vee }\ {\stackrel {f\otimes \operatorname {id} }{\longrightarrow }}\ X\otimes X^{\vee }\ {\stackrel {twist}{\longrightarrow }}\ X^{\vee }\otimes X\ {\stackrel {eval}{\longrightarrow }}\ 1$где 1 — моноидальная единица, а экстремальные морфизмы — это ковычисление и оценка, которые являются частью определения дуализируемых объектов.

То же определение с большой эффективностью применимо и тогда, когда C является симметричной моноидальной ∞-категорией.

Примеры

• Если C — категория векторных пространств над фиксированным полем k , то дуализируемые объекты — это в точности конечномерные векторные пространства , а след в указанном выше смысле — это морфизм

$k\to k$

что есть умножение на след эндоморфизма f в обычном смысле линейной алгебры .

• Если C — ∞-категория цепных комплексов модулей — (над фиксированным коммутативным кольцом R ), дуализируемые объекты V в C это в точности совершенные комплексы . След в этой настройке фиксирует, например, эйлерову характеристику , которая представляет собой попеременную сумму рангов ее членов:

$\mathrm {tr} (\operatorname {id} _{V})=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {rank} V_{i}.$

Дальнейшие применения

Кондырев и Приходько (2018) использовали методы категориальных следов для доказательства алгебро -геометрической версии формулы Атьи-Ботта с неподвижной точкой , расширения формулы Лефшеца с неподвижной точкой .

Дальнейшее чтение

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), «Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта», J. Inst. Математика. Жюссье , 19 (5): 1–25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017/S1474748018000543
• Понто, Кейт; ) , Шульман 2014 . Майкл ( , Bibcode:2011arXiv1107.6032P, doi:10.1016/j.exmath.2013.12.003, S2CID ​​​​​​​​​​​119129371.