Пружинная система

Двухмерная пружинная система.

В технике и физике пружинная система или пружинная сеть представляет собой физическую модель, описываемую как граф с положением в каждой вершине и пружиной заданной жесткости и длины вдоль каждого края. Это обобщает закон Гука на более высокие измерения. Эту простую модель можно использовать для решения задач статических систем от кристаллической решетки до пружин. Пружинную систему можно рассматривать как простейший случай метода конечных элементов для решения задач статики . Предполагая линейные пружины и небольшую деформацию (или ограничивая одномерное движение), пружинную систему можно представить как (возможно, переопределенную) систему линейных уравнений или, что то же самое, как задачу минимизации энергии .

Известная длина пружин

номинальные длины пружин L Если известны 1 и 2 единицы соответственно, то систему можно решить следующим образом:Рассмотрим простой случай трех узлов, соединенных двумя пружинами. Тогда растяжение двух пружин определяется как функция положений узлов по формуле

$\Delta \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L}$

где $B^{\top }$ - матрица, транспонированная инцидентности матрицей

$B={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\\0&-1\end{bmatrix}},$

связывая каждую степень свободы с направлением давления на нее каждой пружины.Силы, действующие на пружины, равны

$F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L}$

где W — диагональная матрица, задающая жесткость каждой пружины. Тогда сила, действующая на узлы, определяется умножением слева на $B$, который мы установили равным нулю, чтобы найти равновесие:

$F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0$

что дает линейное уравнение:

$BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}$.

Теперь матрица $BWB^{\top }$ сингулярна, поскольку все решения эквивалентны с точностью до твердотельного переноса. Зададим граничное условие Дирихле , например, $x_{1}=2$.

В качестве примера пусть W — единичная матрица , тогда

$BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}$

— матрица Лапласа . Подключение $x_{1}=2$ у нас есть

$BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}$.

Добавление 2 в левую часть дает

${\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}$.

и удаление строк системы, которые мы уже знаем, и упрощение, оставляет нам

${\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}$.

${\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$.

чтобы мы могли решить

${\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}$.

То есть, $x_{1}=2$, как предписано, и $x_{2}=3$, оставив первую пружину слабой, и $x_{3}=5$, оставляя вторую пружину слабой.

См. также

• Гауссовская сетевая модель
• Модель анизотропной сети
• Матрица жесткости
• Пружинно-массовая система
• Матрица Лапласа

Внешние ссылки

• Физика пружин