Минимизация энергии

В области химии вычислительной минимизация энергии (также называемая оптимизацией энергии , минимизацией геометрии или оптимизацией геометрии ) — это процесс поиска расположения в пространстве набора атомов, где, согласно некоторой вычислительной модели химической связи, чистая взаимосвязь -атомная сила, действующая на каждый атом, приемлемо близка к нулю, а положение на поверхности потенциальной энергии (ППЭ) представляет собой стационарную точку (описанную позже). Совокупность атомов может представлять собой одну молекулу , ион , конденсированную фазу , переходное состояние или даже совокупность любого из них. Вычислительной моделью химической связи может быть, например, квантовая механика.

Например, при оптимизации геометрии молекулы воды стремятся получить длины связей водород-кислород и угол связи водород-кислород-водород, которые минимизируют силы, которые в противном случае стягивали бы атомы вместе или раздвигали их.

Мотивацией для выполнения оптимизации геометрии является физическая значимость полученной структуры: оптимизированные структуры часто соответствуют веществу в том виде, в котором оно встречается в природе, и геометрия такой структуры может быть использована в различных экспериментальных и теоретических исследованиях в областях , химического строения термодинамики , химической кинетики , спектроскопии и других.

Обычно, но не всегда, процесс направлен на поиск геометрии определенного расположения атомов, которая представляет собой локальный или глобальный минимум энергии. Вместо поиска минимума глобальной энергии было бы желательно оптимизировать переходное состояние , то есть седловую точку на поверхности потенциальной энергии. ^[1] Кроме того, во время оптимизации могут быть зафиксированы определенные координаты (например, длина химической связи).

Молекулярная геометрия и математическая интерпретация

Геометрию набора атомов можно описать вектором положений атомов. Это может быть набор декартовых координат атомов или, при рассмотрении молекул, так называемые внутренние координаты, образованные из набора длин связей, валентных углов и двугранных углов.

Учитывая набор атомов и вектор $r$ , описывающий положения атомов, можно ввести понятие энергии как функции положений $E (r)$ . Оптимизация геометрии в таком случае представляет собой задачу математической оптимизации , в которой желательно найти значение $r$ , при котором $E (r)$ находится на локальном минимуме , то есть производной энергии по положению атомов, $\partial E /\partial r$ — нулевой вектор и матрица второй производной системы, ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial r_{i}\,\partial r_{j}}}\end{pmatrix}}_{ij}$ , также известная как матрица Гессе , которая описывает кривизну ППЭ в точке $r$ , имеет все положительные собственные значения ( положительно определена ).

Частным случаем оптимизации геометрии является поиск геометрии переходного состояния ; это обсуждается ниже.

Вычислительная модель, которая дает приблизительное значение $E (r),$ может быть основана на квантовой механике (с использованием теории функционала плотности или полуэмпирических методов ), силовых полях или их комбинации в случае КМ/ММ . Используя эту вычислительную модель и начальное предположение (или анзац ) правильной геометрии, выполняется итерационная процедура оптимизации, например:

вычислить силу, действующую на каждый атом (то есть $-\partial E /\partial r$ )
если сила меньше некоторого порога, закончить
в противном случае переместите атомы на некоторый вычисленный шаг $∆ r$ , который, по прогнозам, уменьшит силу
повторить с начала

Практические аспекты оптимизации

Как описано выше, для расчета энергии $E (r)$ можно использовать некоторый метод, например квантовую механику , градиент PES, то есть производную энергии по положению атомов, $\partial E /\partial r$ и вторая производная матрица системы, $\partial\partial E /\partial r i \partial r j$ , также известная как матрица Гессе , которая описывает кривизну ППЭ в точке $r$ .

Алгоритм оптимизации может использовать некоторые или все из $E (r)$ , $\partial E /\partial r$ и $\partial\partial E /\partial r i \partial r j,$ чтобы попытаться минимизировать силы, и теоретически это может быть любой метод, такой как градиентный спуск, сопряженное градиента или метода Ньютона, но на практике алгоритмы, использующие знание кривизны PES, то есть матрицы Гессе, оказываются более эффективными. Однако для большинства систем, представляющих практический интерес, вычисление матрицы второй производной может быть непомерно дорогим, и она оценивается на основе последовательных значений градиента, что типично для квазиньютоновской оптимизации.

Выбор системы координат может иметь решающее значение для успешной оптимизации. Например, декартовы координаты являются избыточными, поскольку нелинейная молекула с $N$ атомами имеет $3 N -6$ колебательных степеней свободы , тогда как набор декартовых координат имеет $3 N$ измерений. Кроме того, декартовы координаты сильно коррелированы, то есть матрица Гессе имеет множество недиагональных членов, которые не близки к нулю. Это может привести к численным проблемам при оптимизации, поскольку, например, трудно получить хорошее приближение к матрице Гессе, а ее точное вычисление слишком затратно с точки зрения вычислений. Однако в случае, если энергия выражается с помощью стандартных силовых полей, были разработаны эффективные в вычислительном отношении методы. ^[2] способен аналитически вывести матрицу Гессе в декартовых координатах, сохраняя при этом вычислительную сложность того же порядка, что и вычисления градиента. Внутренние координаты, как правило, менее коррелированы, но их сложнее настроить, и может быть сложно описать некоторые системы, например системы с симметрией или большими конденсированными фазами. ^[3] Многие современные пакеты программного обеспечения для вычислительной химии содержат автоматические процедуры автоматического создания подходящих систем координат для оптимизации. ^[4]

Степень ограничения свободы

Некоторые степени свободы могут быть исключены из оптимизации, например, положениям атомов или длинам связей и углам могут быть присвоены фиксированные значения. Иногда их называют замороженными степенями свободы.

На рис. 1 изображена оптимизация геометрии атомов углеродной нанотрубки в присутствии внешнего электростатического поля. В этой оптимизации позиции атомов слева заморожены. Их взаимодействие с другими атомами системы по-прежнему рассчитывается, но изменение положения атомов во время оптимизации предотвращается.

Рисунок 1: Электростатические отклонения углеродной нанотрубки в электрическом поле .

Оптимизация переходного состояния

Структуры переходного состояния можно определить путем поиска седловых точек на ППЭ интересующих химических соединений. ^[5] Седловая точка первого порядка — это положение на ППЭ, соответствующее минимуму во всех направлениях, кроме одного; седловая точка второго порядка является минимумом во всех направлениях, кроме двух и т. д. Математически седловая точка n- го порядка характеризуется следующим: $\partial E /\partial r = 0$ и матрица Гессе $\partial\partial E /\partial r i \partial r j$ имеет ровно n отрицательных собственных значений.

Алгоритмы определения геометрии переходного состояния делятся на две основные категории: локальные методы и полуглобальные методы. Локальные методы подходят, когда начальная точка оптимизации очень близка к истинному переходному состоянию ( очень близкое состояние будет определено в ближайшее время), а полуглобальные методы находят применение, когда необходимо найти переходное состояние с очень небольшими априорными знаниями о нем. его геометрия. Некоторые методы, такие как метод Димера (см. ниже), попадают в обе категории.

Локальные поиски

Так называемая локальная оптимизация требует первоначального предположения о переходном состоянии, которое очень близко к истинному переходному состоянию. Очень близкое значение обычно означает, что исходное предположение должно иметь соответствующую матрицу Гессе с одним отрицательным собственным значением или отрицательное собственное значение, соответствующее координате реакции, должно быть больше по величине, чем другие отрицательные собственные значения. Далее, собственный вектор с наиболее отрицательным собственным значением должен соответствовать координате реакции, то есть он должен представлять собой геометрическое преобразование, относящееся к процессу, переходное состояние которого ищется.

Учитывая вышеуказанные предпосылки, алгоритм локальной оптимизации может затем двигаться «вверх» по собственному вектору с наиболее отрицательным собственным значением и «вниз» по всем остальным степеням свободы, используя что-то похожее на метод квазиньютона.

Димерный метод

Димерный метод ^[6] может использоваться для поиска возможных переходных состояний без знания конечной структуры или для уточнения предположения о переходной структуре. «Димер» формируется двумя изображениями, очень близкими друг к другу на ППЭ. Этот метод работает путем перемещения димера вверх от исходного положения и одновременного вращения димера, чтобы найти направление наименьшей кривизны (в конечном итоге отрицательное).

Техника активации-релаксации (АРТ)

Техника активации-релаксации (АРТ) ^[7]^[8]^[9] также является открытым методом поиска новых переходных состояний или уточнения известных седловых точек PES. Метод следует направлению наименьшей отрицательной кривизны (вычисленной с использованием алгоритма Ланцоша ) на PES, чтобы достичь седловой точки, расслабляясь в перпендикулярной гиперплоскости между каждым «прыжком» (активацией) в этом направлении.

Методы цепочки состояний

Цепочка состояний ^[10] методы можно использовать для определения приблизительной геометрии переходного состояния на основе геометрии реагента и продукта. Сгенерированная приближенная геометрия может затем служить отправной точкой для уточнения посредством локального поиска, который был описан выше.

В методах цепочки состояний используется серия векторов, то есть точек на PES, соединяющих реагент и продукт интересующей реакции, $r реагент$ и $r продукт$ , тем самым дискретизируя путь реакции. Очень часто эти точки называют бусинами по аналогии с набором бусин, соединенных нитками или пружинами, которые соединяют реагент и продукты. Серия шариков часто изначально создается путем интерполяции между $r реагентом$ и $r продуктом$ , например, для серии из $N + 1$ шарика шарик $i$ может быть задан как

$\mathbf {r} _{i}={\frac {i}{N}}\mathbf {r} _{\mathrm {product} }+\left(1-{\frac {i}{N}}\right)\mathbf {r} _{\mathrm {reactant} }$

где $я \in 0, 1, ..., N$ . Каждая из бусинок $r i$ имеет энергию $E (r i)$ и силы $-\partial E /\partial r i,$ и они обрабатываются с помощью процесса оптимизации с ограничениями, который стремится получить как можно более точное представление пути реакции. Для достижения этого необходимо применять ограничения по расстоянию, чтобы каждый шарик $r i$ не просто оптимизировался в соответствии с геометрией реагента и продукта.

Часто это ограничение достигается путем проецирования компонентов силы на каждый шарик $r i$ или, альтернативно, движения каждого шарика во время оптимизации, которые касательны к траектории реакции. Например, если для удобства определено, что $g i = \partial E /\partial r i$ , то градиент энергии на каждом шарике за вычетом компонента градиента энергии, касательного к пути реакции, определяется выражением

$\mathbf {g} _{i}^{\perp }=\mathbf {g} _{i}-\mathbf {\tau } _{i}(\mathbf {\tau } _{i}\cdot \mathbf {g} _{i})=\left(I-\mathbf {\tau } _{i}\mathbf {\tau } _{i}^{T}\right)\mathbf {g} _{i}$

где $I$ - единичная матрица, а $τ i$ - единичный вектор, представляющий касательную пути реакции в точке $r i$ . Проецируя компоненты градиента энергии или шага оптимизации, которые параллельны пути реакции, алгоритм оптимизации значительно снижает тенденцию каждой из бусинок к непосредственной оптимизации до минимума.

Синхронный транзит

Самый простой метод цепочки состояний — это метод линейного синхронного транзита (LST). Он работает, беря интерполированные точки между геометриями реагента и продукта и выбирая точку с наибольшей энергией для последующего уточнения посредством локального поиска. Метод квадратичного синхронного транзита (QST) расширяет LST, позволяя использовать параболический путь реакции с оптимизацией точки наивысшей энергии, ортогональной параболе.

Прижимная резинка

На прижимной эластичной ленте (NEB). ^[11] В этом методе шарики вдоль пути реакции моделируют пружинные силы в дополнение к химическим силам $-\partial E /\partial r i$ , чтобы заставить оптимизатор поддерживать ограничение расстояния. В частности, сила $f i$ в каждой точке i определяется выражением

$\mathbf {f} _{i}=\mathbf {f} _{i}^{\parallel }-\mathbf {g} _{i}^{\perp }$

где

$\mathbf {f} _{i}^{\parallel }=k\left[\left(\left(\mathbf {r} _{i+1}-\mathbf {r} _{i}\right)-\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{i-1}\right)\right)\cdot \tau _{i}\right]\tau _{i}$

— сила пружины, параллельная траектории в каждой точке $r i$ ( k — константа пружины, а $τ i$ , как и раньше, — единичный вектор, представляющий касательную траектории реакции в точке $r i$ ).

В традиционной реализации точка с наибольшей энергией используется для последующего уточнения при локальном поиске. Существует множество вариаций метода NEB. ^[12] например, восхождение изображения NEB, в котором точка с наибольшей энергией сдвигается вверх во время процедуры оптимизации, чтобы (надеюсь) дать геометрию, которая еще ближе к геометрии переходного состояния. Также были расширения ^[13] включить регрессию гауссовского процесса для уменьшения количества оценок. Для систем с неевклидовой (R^2) геометрией, таких как магнитные системы, метод модифицируется на подход геодезической подталкиваемой упругой ленты. ^[14]

Строковый метод

Строковый метод ^[15]^[16]^[17] использует сплайны, соединяющие точки, $r i$ , для измерения и соблюдения ограничений расстояния между точками, а также для расчета касательной в каждой точке. На каждом этапе процедуры оптимизации точки могут перемещаться в соответствии с силой, действующей на них перпендикулярно траектории, а затем, если ограничение равноудаленности между точками больше не выполняется, точки можно перераспределить с помощью сплайна. представление пути для генерации новых векторов с необходимым интервалом.

Вариации метода струн включают метод растущей струны, ^[18] в котором предположение о пути вырастает из конечных точек (то есть реагента и продуктов) по мере продвижения оптимизации.

Сравнение с другими методами

Оптимизация геометрии фундаментально отличается от моделирования молекулярной динамики . Последний моделирует движение молекул во времени с учетом температуры, химических сил, начальных скоростей, броуновского движения растворителя и т. д. посредством применения законов движения Ньютона . Это означает, что траектории атомов, которые рассчитываются, имеют некоторый физический смысл. Оптимизация геометрии, напротив, не создает «траекторию» с каким-либо физическим смыслом — она связана с минимизацией сил, действующих на каждый атом в совокупности атомов, и путь, по которому она достигает этого, лишен смысла. Различные алгоритмы оптимизации могут дать один и тот же результат для структуры минимальной энергии, но прийти к нему другим путем.

См. также

Составной граф ограничений
Разрезы графов в компьютерном зрении - аппарат для решения задач компьютерного зрения , которые можно сформулировать с точки зрения минимизации энергии.
Энергетические принципы в строительной механике

Ссылки

^ «Ввод ссылки на магистраль версии CP2K, раздел GEO_OPT, ключевое слово TYPE» . КП2К . Проверено 30 апреля 2015 г.
^ Хацилелефтериу, С.; Адендорфф, MR; Лагарос, Северная Дакота (2016). «Конечные элементы обобщенной потенциальной энергии для моделирования молекулярных наноструктур». Дж. Хим. Инф. Модель . 56 (10): 1963–1978. дои : 10.1021/acs.jcim.6b00356 . ПМИД 27653992 .
^ Пэн, К.; Аяла, ПЮ; Шлегель, Х.Б. (1996). «Использование избыточных внутренних координат для оптимизации равновесной геометрии и переходных состояний». Журнал вычислительной химии . 17 (1): 49–56. doi : 10.1002/(sici)1096-987x(19960115)17:1<49::aid-jcc5>3.3.co;2-# .
^ "Дом" . gaussian.com .
^ Фрэнк Дженсен (1999). Введение в вычислительную химию . Англия: John Wiley and Sons Ltd.
^ Грэм Хенкельман; Ханнес Йонссон (1999). «Димерный метод поиска седловых точек на потенциальных поверхностях большой размерности с использованием только первых производных». Дж. Хим. Физ . 111 (15): 7010–7022. Бибкод : 1999JChPh.111.7010H . дои : 10.1063/1.480097 .
^ ГТ Баркема; Норман Муссо (1996). «Событийная релаксация непрерывных неупорядоченных систем». Физ. Преподобный Летт . 77 (21): 4358–4361. arXiv : cond-mat/9607156 . Бибкод : 1996PhRvL..77.4358B . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4358 . ПМИД 10062518 . S2CID 27932059 .
^ Рашид Малек; Норманд Муссо (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием техники активации-релаксации, основанной на ab initio». Физический обзор E . 135 (6): 7723–7728. arXiv : cond-mat/0006042 . Бибкод : 2000PhRvE..62.7723M . дои : 10.1103/PhysRevE.62.7723 . ПМИД 11138044 . S2CID 119453527 .
^ Эдуардо Мачадо-Шарри; Лоран Карим Белан; Дэмиен Калист; Луиджи Дженовезе; Тьерри Дойч; Норманд Муссо; Паскаль Поше (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием техники активации-релаксации, основанной на ab initio». Дж. Хим. Физ . 62 (3): 034102–034112. Бибкод : 2011JChPh.135c4102M . дои : 10.1063/1.3609924 . ПМИД 21786982 .
^ Дженсен, Ф. Введение в вычислительную химию; Вили: 2-е изд.; 2006 г.
^ (а) Г. Миллс и Х. Йонссон, Phys. Преподобный Летт. 72, 1124 (1994) (b) Грэм Хенкельман и Ханнес Йонссон, Улучшенная оценка касательной в методе подталкиваемой упругой ленты для поиска путей с минимальной энергией и седловых точек, J. Chem. Физ. 113, 9978 - 9985 (2000)
^ «Подталкиваемая резинка» . ЮТ Остин . Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 г.
^ Койстинен, Олли-Пекка; Дагбьяртсдоттир, Фрейя Б.; Асгейрссон, Вильялмур; Вехтари, Аки; Йонссон, Ханнес (21 октября 2017 г.). «Вычисления подталкиваемой эластичной ленты ускорились с помощью регрессии гауссовского процесса» . Журнал химической физики . 147 (15): 152720. arXiv : 1706.04606 . Бибкод : 2017JChPh.147o2720K . дои : 10.1063/1.4986787 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 29055305 . S2CID 21822734 .
^ Иванов А.В.; Дагбартссон, Д; Транчида, Дж; Уздин, В.М.; Йонссон, Х (12 августа 2020 г.). «Эффективный метод оптимизации поиска минимальных энергетических путей магнитных переходов» . Физический журнал: конденсированное вещество . 32 (34): 345901. arXiv : 2001.10372 . Бибкод : 2020JPCM...32H5901I . дои : 10.1088/1361-648X/ab8b9c . ISSN 0953-8984 . ПМИД 32316000 . S2CID 210932577 .
^ «Редкие события, пути перехода и скорость реакции» . и «Страница строкового метода» .
^ Вэйнан Э., Вэйцин Рен, Эрик Ванден-Эйнден (2002). «Струнный метод исследования редких событий». Физ. Преподобный Б. 66 (5): 052301. arXiv : cond-mat/0205527 . Бибкод : 2002PhRvB..66e2301E . дои : 10.1103/PhysRevB.66.052301 . S2CID 119326534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Амит Саманта; Вэйнан Э (2010). «Модифицированный струнный метод для поиска пути минимальной энергии». arXiv : 1009.5612 [ physical.comp-ph ].
^ барон Питерс; Андреас Хейден; Алексис Т. Белл; Аруп Чакраборти (2004). «Метод растущей струны для определения переходных состояний: сравнение с методами подталкиваемой упругой ленты и струн». Дж. Хим. Физ . 120 (17): 7877–7886. Бибкод : 2004JChPh.120.7877P . дои : 10.1063/1.1691018 . ПМИД 15267702 .

Внешние ссылки

Числовые рецепты на Фортране 77

Дополнительные ссылки

Пейн и др., «Итеративные методы минимизации для ab initio расчетов полной энергии: молекулярная динамика и сопряженные градиенты», Reviews of Modern Physics 64 (4), стр. 1045–1097. (1992) (аннотация)
Стич и др., « Минимизация сопряженного градиента функционала энергии: новый метод расчета электронной структуры », Physical Review B 39 (8), стр. 4997–5004, (1989).
Чади, « Подход к минимизации энергии к атомной геометрии полупроводниковых поверхностей », Physical Review Letters 41 (15), стр. 1062–1065 (1978).

[1] «Ввод ссылки на магистраль версии CP2K, раздел GEO_OPT, ключевое слово TYPE» . КП2К . Проверено 30 апреля 2015 г.

[2] Хацилелефтериу, С.; Адендорфф, MR; Лагарос, Северная Дакота (2016). «Конечные элементы обобщенной потенциальной энергии для моделирования молекулярных наноструктур». Дж. Хим. Инф. Модель . 56 (10): 1963–1978. дои : 10.1021/acs.jcim.6b00356 . ПМИД 27653992 .

[3] Пэн, К.; Аяла, ПЮ; Шлегель, Х.Б. (1996). «Использование избыточных внутренних координат для оптимизации равновесной геометрии и переходных состояний». Журнал вычислительной химии . 17 (1): 49–56. doi : 10.1002/(sici)1096-987x(19960115)17:1<49::aid-jcc5>3.3.co;2-# .

[4] "Дом" . gaussian.com .

[5] Фрэнк Дженсен (1999). Введение в вычислительную химию . Англия: John Wiley and Sons Ltd.

[6] Грэм Хенкельман; Ханнес Йонссон (1999). «Димерный метод поиска седловых точек на потенциальных поверхностях большой размерности с использованием только первых производных». Дж. Хим. Физ . 111 (15): 7010–7022. Бибкод : 1999JChPh.111.7010H . дои : 10.1063/1.480097 .

[7] ГТ Баркема; Норман Муссо (1996). «Событийная релаксация непрерывных неупорядоченных систем». Физ. Преподобный Летт . 77 (21): 4358–4361. arXiv : cond-mat/9607156 . Бибкод : 1996PhRvL..77.4358B . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4358 . ПМИД 10062518 . S2CID 27932059 .

[8] Рашид Малек; Норманд Муссо (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием техники активации-релаксации, основанной на ab initio». Физический обзор E . 135 (6): 7723–7728. arXiv : cond-mat/0006042 . Бибкод : 2000PhRvE..62.7723M . дои : 10.1103/PhysRevE.62.7723 . ПМИД 11138044 . S2CID 119453527 .

[9] Эдуардо Мачадо-Шарри; Лоран Карим Белан; Дэмиен Калист; Луиджи Дженовезе; Тьерри Дойч; Норманд Муссо; Паскаль Поше (2011). «Оптимизированное исследование энергетического ландшафта с использованием техники активации-релаксации, основанной на ab initio». Дж. Хим. Физ . 62 (3): 034102–034112. Бибкод : 2011JChPh.135c4102M . дои : 10.1063/1.3609924 . ПМИД 21786982 .

[10] Дженсен, Ф. Введение в вычислительную химию; Вили: 2-е изд.; 2006 г.

[11] (а) Г. Миллс и Х. Йонссон, Phys. Преподобный Летт. 72, 1124 (1994) (b) Грэм Хенкельман и Ханнес Йонссон, Улучшенная оценка касательной в методе подталкиваемой упругой ленты для поиска путей с минимальной энергией и седловых точек, J. Chem. Физ. 113, 9978 - 9985 (2000)

[12] «Подталкиваемая резинка» . ЮТ Остин . Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 г.

[13] Койстинен, Олли-Пекка; Дагбьяртсдоттир, Фрейя Б.; Асгейрссон, Вильялмур; Вехтари, Аки; Йонссон, Ханнес (21 октября 2017 г.). «Вычисления подталкиваемой эластичной ленты ускорились с помощью регрессии гауссовского процесса» . Журнал химической физики . 147 (15): 152720. arXiv : 1706.04606 . Бибкод : 2017JChPh.147o2720K . дои : 10.1063/1.4986787 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 29055305 . S2CID 21822734 .

[14] Иванов А.В.; Дагбартссон, Д; Транчида, Дж; Уздин, В.М.; Йонссон, Х (12 августа 2020 г.). «Эффективный метод оптимизации поиска минимальных энергетических путей магнитных переходов» . Физический журнал: конденсированное вещество . 32 (34): 345901. arXiv : 2001.10372 . Бибкод : 2020JPCM...32H5901I . дои : 10.1088/1361-648X/ab8b9c . ISSN 0953-8984 . ПМИД 32316000 . S2CID 210932577 .

[15] «Редкие события, пути перехода и скорость реакции» . и «Страница строкового метода» .

[16] Вэйнан Э., Вэйцин Рен, Эрик Ванден-Эйнден (2002). «Струнный метод исследования редких событий». Физ. Преподобный Б. 66 (5): 052301. arXiv : cond-mat/0205527 . Бибкод : 2002PhRvB..66e2301E . дои : 10.1103/PhysRevB.66.052301 . S2CID 119326534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[17] Амит Саманта; Вэйнан Э (2010). «Модифицированный струнный метод для поиска пути минимальной энергии». arXiv : 1009.5612 [ physical.comp-ph ].

[18] барон Питерс; Андреас Хейден; Алексис Т. Белл; Аруп Чакраборти (2004). «Метод растущей струны для определения переходных состояний: сравнение с методами подталкиваемой упругой ленты и струн». Дж. Хим. Физ . 120 (17): 7877–7886. Бибкод : 2004JChPh.120.7877P . дои : 10.1063/1.1691018 . ПМИД 15267702 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]