Тензор упругости
Тензор упругости четвертого ранга представляет собой тензор , описывающий зависимость напряжения от деформации влинейно -эластичный материал. [1] [2] Другие названия — тензор модуля упругости и тензор жесткости . Общие символы включают в себя и .
Определяющее уравнение можно записать в виде
где и – компоненты тензора напряжений Коши и тензора бесконечно малых деформаций , являются компонентами тензора упругости. Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. [примечание 1] Эту связь можно интерпретировать как обобщение закона Гука на трехмерный континуум .
Общий тензор четвертого ранга в 3D есть 3 4 = 81 независимый компонент , но тензор упругости имеет не более 21 независимой компоненты. [3] Этот факт следует из симметрии тензоров напряжений и деформаций, а также из требования, чтобы напряжение возникало из упругого энергетического потенциала. Для изотропных материалов тензор упругости имеет только две независимые компоненты, которые можно выбрать в качестве модуля объемного сжатия и модуля сдвига . [3]
Определение
[ редактировать ]Наиболее общая линейная связь между двумя тензорами второго ранга. является
где являются компонентами тензора четвертого ранга . [1] [примечание 1] Тензор упругости определяется как для случая, когда и – тензоры напряжений и деформаций соответственно.
Тензор податливости определяется из обратной зависимости напряжение-деформация:
Эти два связаны
где это дельта Кронекера . [4] [5] [примечание 2]
Если не указано иное, в данной статье предполагается, что определяется из соотношения напряжение-деформация линейно упругого материала в пределе малых деформаций.
Особые случаи
[ редактировать ]изотропный
[ редактировать ]Для изотропного материала упрощается до
где и являются скалярными функциями материальных координат , и – метрический тензор в системе отсчета материала. [6] [7] В ортонормированном декартовом базисе координат нет различия между верхними и нижними индексами, и метрический тензор можно заменить дельтой Кронекера:
Подстановка первого уравнения в соотношение «напряжение-деформация» и суммирование по повторяющимся индексам дает
где это след .В этой форме и можно отождествить с первым и вторым параметрами Ламе .Эквивалентное выражение
где - объемный модуль, а
являются компонентами тензора сдвига .
Кубические кристаллы
[ редактировать ]Тензор упругости кубического кристалла имеет компоненты
где , , и — единичные векторы, соответствующие трем взаимно перпендикулярным осям кристаллической элементарной ячейки . [8] Коэффициенты , , и являются скалярами; поскольку они не зависят от координат, они являются внутренними материальными константами. Таким образом, кристалл кубической симметрии описывается тремя независимыми упругими постоянными. [9]
В ортонормированном декартовом базисе координат нет различия между верхними и нижними индексами, и представляет собой дельту Кронекера, поэтому выражение упрощается до
Другие классы кристаллов
[ редактировать ]Аналогичные выражения существуют и для компонентов в других классах симметрии кристаллов. [10] Число независимых упругих констант для некоторых из них указано в таблице 1. [9]
Кристальная семья | Группа точек | Независимые компоненты |
---|---|---|
Триклиника | 21 | |
Моноклиника | 13 | |
орторомбический | 9 | |
четырехугольный | С 4 , С 4 , С 4ч | 7 |
четырехугольный | С 4в , Д 2д , Д 4 , Д 4ч | 6 |
Ромбоэдрический | С 3 , С 6 | 7 |
Ромбоэдрический | С 3в , Д 6 , Д 3д | 6 |
Шестиугольный | 5 | |
Кубический | 3 |
Характеристики
[ редактировать ]Симметрии
[ редактировать ]Тензор упругости имеет несколько симметрий, которые непосредственно следуют из его определяющего уравнения . [11] [2] Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что
Обычно также предполагается, что напряжение возникает из-за потенциала упругой энергии. :
что подразумевает
Следовательно, должны быть симметричны при перестановке первой и второй пар индексов:
Перечисленные выше симметрии уменьшают количество независимых компонентов с 81 до 21. Если материал имеет дополнительные симметрии, то это число еще больше уменьшается. [9]
Преобразования
[ редактировать ]При вращении компоненты трансформировать как
где являются ковариантными компонентами повернутого базиса, а являются элементами соответствующей матрицы вращения . Аналогичное правило преобразования справедливо и для других линейных преобразований.
Инварианты
[ редактировать ]Компоненты обычно приобретают разные значения при смене базиса. Тем не менее, для некоторых типов преобразованийсуществуют определенные комбинации компонентов, называемые инвариантами, которые остаются неизменными. Инварианты определяются относительно заданного набора преобразований, формально известных как групповая операция . Например, инвариант относительно группы собственных ортогональных преобразований, называемый SO(3) , — это величина, которая остается постоянной при произвольных трехмерных вращениях.
обладает двумя линейными и семью квадратичными инвариантами относительно SO(3). [12] Линейные инварианты
а квадратичные инварианты равны
Эти величины линейно независимы, то есть ни одна из них не может быть выражена как линейная комбинация других. Они также полны в том смысле, что не существует дополнительных независимых линейных или квадратичных инвариантов. [12]
Разложения
[ редактировать ]Общая стратегия тензорного анализа — разложить тензор на более простые компоненты, которые можно анализировать отдельно. Например,тензор градиента смещения можно разложить как
где – тензор нулевого ранга (скаляр), равный следу ; симметричен и не имеет следов; и является антисимметричным. [13] Покомпонентно,
Здесь и далее симметризация и антисимметризация обозначаются через и , соответственно. Это разложение неприводимо в том смысле, что оно инвариантно относительно вращений, и является важным инструментом концептуального развития механики сплошной среды. [11]
Тензор упругости имеет ранг 4, а его разложения более сложны и разнообразны, чем у тензора ранга 2. [14] Ниже описано несколько примеров.
Тензоры M и N
[ редактировать ]Это разложение получается путем симметризации и антисимметризации двух средних индексов:
где
Недостатком такого разложения является то, что и не подчиняться всем исходным симметриям , так как они не симметричны при перестановке первых двух индексов. Кроме того, он не является неприводимым, поэтому не инвариантен относительно линейных преобразований, таких как вращения. [2]
Неприводимые представления
[ редактировать ]Неприводимое представление можно построить, рассматривая понятие полностью симметричного тензора, который инвариантен относительно замены любых двух индексов. Полностью симметричный тензор может быть построен из суммируя все перестановки индексов
где представляет собой набор всех перестановок четырех индексов. [2] Благодаря симметрии , эта сумма сводится к
Разница
является асимметричным тензором ( не антисимметричным). Разложение можно показать, что он уникален и неприводим по отношению к . Другими словами, любые дополнительные операции симметризации над или либо оставит его без изменений, либо оценит его как ноль. Она также неприводима относительно произвольных линейных преобразований, т. е. общая линейная группа . [2] [15]
Однако это разложение не является неприводимым относительно группы вращений SO(3). Вместо, распадается на три несократимые части и на два:
См. Итин (2020) [15] для явных выражений через компоненты .
Это представление разлагает пространство тензоров упругости в прямую сумму подпространств:
с размерами
Каждое из этих подпространств изоморфно гармоническому тензорному пространству. . [15] [16] Здесь, - это пространство трехмерных полностью симметричных бесследовых тензоров ранга . В частности, и соответствуют , и соответствуют , и соответствует .
См. также
[ редактировать ]- Механика сплошной среды
- Твердая механика
- Определяющее уравнение
- Прочность материалов
- Список свойств материалов § Механические свойства
- Теория представлений конечных групп
- Обозначение Фойгта
Сноски
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Здесь верхние и нижние индексы обозначают контравариантную и ковариантную компоненты это различие можно игнорировать соответственно, хотя для декартовых координат . В результате некоторые ссылки представляют компоненты, используя только более низкие индексы.
- ^ Объединение прямых и обратных соотношений «напряжение-деформация» дает E ij = K ijpq C pqkl Э кл .Благодаря незначительной симметрии C pqkl = С qpkl и С pqkl = С pqlk , это уравнение не определяет однозначно K ijpq C pqkl . В самом деле, K ijpq C pqkl = а д к и δ л j + (1 - а ) d л и δ к j — решение для любого 0 ≤ a ≤ 1 . Однако только a = 1/2 сохраняет минорные симметрии K , так что это правильное решение с физической точки зрения.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Торн и Бландфорд, 2017 , с. 580.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Итин и Хель 2013 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Торн и Блэндфорд, 2017 , с. 581.
- ^ Хилл 1965 .
- ^ Коуин 1989 .
- ^ Марсден и Хьюз 1994 , с. 223.
- ^ Хель и Итин 2002 .
- ^ Томас 1966 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Ландау и Лифшиц 1970 .
- ^ Шринивасан и Нигам 1969 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Торн и Бландфорд, 2017 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Норрис 2007 .
- ^ Торн и Блэндфорд, 2017 , с. 571.
- ^ Моахер и Норрис 2006 , стр. 221–222.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Особенно в 2020 году .
- ^ Олив, Колев и Оффре, 2017 .
Библиография
[ редактировать ]- Фейнмановские лекции по физике - Тензор упругости
- Коуин, Стивен К. (1989). «Свойства тензора анизотропной упругости». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 42 (2): 249–266. дои : 10.1093/qjmam/42.2.249 . eISSN 1464-3855 . ISSN 0033-5614 .
- Хель, Фридрих В.; Итин, Яков (2002). «Соотношения Коши в линейной теории упругости». Журнал упругости и физики твердых тел . 66 (2): 185–192. arXiv : cond-mat/0206175 . дои : 10.1023/А:1021225230036 . ISSN 0374-3535 . S2CID 18618340 .
- Хилл, Р. (апрель 1965 г.). «Сплошная микромеханика упругопластических поликристаллов» . Журнал механики и физики твердого тела . 13 (2): 89–101. Бибкод : 1965JMPSo..13...89H . дои : 10.1016/0022-5096(65)90023-2 . ISSN 0022-5096 .
- Итин, Яков; Хель, Фридрих В. (апрель 2013 г.). «Конститутивный тензор линейной упругости: его разложения, соотношения Коши, нулевые лагранжианы и распространение волн». Журнал математической физики . 54 (4): 042903. arXiv : 1208.1041 . Бибкод : 2013JMP....54d2903I . дои : 10.1063/1.4801859 . eISSN 1089-7658 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119133966 .
- Итин, Яков (20 апреля 2020 г.). «Неприводимое матричное разрешение для классов симметрии тензоров упругости». Математика и механика твердого тела . 25 (10): 1873–1895. arXiv : 1812.03367 . дои : 10.1177/1081286520913596 . eISSN 1741-3028 . ISSN 1081-2865 . S2CID 219087296 .
- Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1970). Теория упругости . Том. 7 (2-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-006465-9 .
- Марсден, Джеррольд Э.; Хьюз, Томас-младший (1994). Математические основы эластичности . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-67865-8 . OCLC 1117171567 .
- Моахер, Махер; Норрис, Эндрю Н. (5 октября 2006 г.). «Ближайший упругий тензор произвольной симметрии к тензору упругости более низкой симметрии» (PDF) . Журнал эластичности . 85 (3): 215–263. дои : 10.1007/s10659-006-9082-0 . eISSN 1573-2681 . ISSN 0374-3535 . S2CID 12816173 .
- Норрис, AN (22 мая 2007 г.). «Квадратичные инварианты упругих модулей». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 60 (3): 367–389. arXiv : cond-mat/0612506 . дои : 10.1093/qjmam/hbm007 . eISSN 1464-3855 . ISSN 0033-5614 .
- Олив, М.; Колев, Б.; Оффре, Н. (24 мая 2017 г.). «Основы минимальной целостности тензора упругости». Архив рациональной механики и анализа . 226 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 1–31. arXiv : 1605.09561 . Бибкод : 2017ArRMA.226....1O . дои : 10.1007/s00205-017-1127-y . ISSN 0003-9527 . S2CID 253711197 .
- Шринивасан, ТП; Нигам, С.Д. (1969). «Инвариантные упругие константы кристаллов» . Журнал математики и механики . 19 (5): 411–420. eISSN 0095-9057 . ISSN 1943-5274 . JSTOR 24901866 .
- Томас, Тайвань (февраль 1966 г.). «О соотношении напряжений и деформаций для кубических кристаллов» . Труды Национальной академии наук . 55 (2): 235–239. Бибкод : 1966ПНАС...55..235Т . дои : 10.1073/pnas.55.2.235 . eISSN 1091-6490 . ISSN 0027-8424 . ПМК 224128 . ПМИД 16591328 .
- Торн, Кип С .; Бландфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691159027 .