Тензорное разложение

В полилинейной алгебре тензорное разложение — это любая схема выражения «тензора данных» (M-образного массива) как последовательности элементарных операций, действующих на другие, часто более простые тензоры. ^[1]^[2]^[3] Многие тензорные разложения обобщают некоторые матричные разложения . ^[4]

Тензоры являются обобщением матриц до более высоких измерений (или, скорее, до более высоких порядков, т.е. большего числа измерений) и, следовательно, могут рассматриваться как многомерные поля. ^[1]^[5]Основные тензорные разложения:

Тензорное ранговое разложение ; ^[6]
Разложение по сингулярным значениям высшего порядка ; ^[7]
разложение Такера ;
состояния матричного продукта и операторы или тензорные поезда;
Тензорные разложения онлайн ^[8]^[9]^[10]
иерархическая декомпозиция Такера ; ^[11]
блочное разложение по терминам ^[12]^[13]^[11]^[14]

Обозначения

В этом разделе представлены основные обозначения и операции, которые широко используются в этой области.

Таблица символов и их описание.
Символы	Определение
${a,{\bf {a}},{\bf {a}}^{T},\mathbf {A} ,{\mathcal {A}}}$	скаляр, вектор, строка, матрица, тензор
${\bf {a}}={vec(.)}$	векторизация матрицы или тензора
${\bf {A}}_{[m]}$	матричный тензор ${\mathcal {A}}$
$\times _{m}$	продукт режима-м

Введение

Многофакторный граф с K-перспективами представляет собой набор K-матриц. ${X_{1},X_{2}.....X_{K}}$ размерами I × J (где I, J — количество узлов). Этот набор матриц естественным образом представляется в виде тензора X размера I × J × K. Чтобы избежать перегрузки термина «размерность», мы называем тензор I × J × K трех «модовым» тензором, где «моды» — это количество индексов, используемых для индексации тензора.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Василеску, МАО; Терзопулос, Д. «Синтез, анализ и распознавание многолинейных (тензорных) изображений [исследовательский DSP]». Журнал обработки сигналов IEEE . 24 (6): 118–123.
^ Колда Тамара Г.; Бадер, Бретт В. (6 августа 2009 г.). «Тензорные разложения и приложения» . Обзор СИАМ . 51 (3): 455–500. Бибкод : 2009SIAMR..51..455K . дои : 10.1137/07070111X . ISSN 0036-1445 . S2CID 16074195 .
^ Сидиропулос, Николас Д.; Де Латаувер, Ливен; Фу, Сяо; Хуанг, Кеджун; Папалексакис, Евангелос Э.; Фалуцсос, Христос (01 июля 2017 г.). «Тензорная декомпозиция для обработки сигналов и машинного обучения» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 65 (13): 3551–3582. arXiv : 1607.01668 . Бибкод : 2017ITSP...65.3551S . дои : 10.1109/TSP.2017.2690524 . ISSN 1053-587X . S2CID 16321768 .
^ Бернарди, А.; Брачат, Дж.; Комон, П.; Моррен, Б. (01 мая 2013 г.). «Общее тензорное разложение, матрицы моментов и приложения» . Журнал символических вычислений . 52 : 51–71. arXiv : 1105.1229 . дои : 10.1016/j.jsc.2012.05.012 . ISSN 0747-7171 . S2CID 14181289 .
^ Рабансер, Стефан; Щур, Александр; Гюннеманн, Стефан (2017). «Введение в тензорные разложения и их применение в машинном обучении». arXiv : 1711.10781 [ stat.ML ].
^ Папалексакис, Евангелос Э. (30 июня 2016 г.). «Автоматический тензорный майнинг без присмотра с оценкой качества» . Материалы Международной конференции SIAM 2016 по интеллектуальному анализу данных . Общество промышленной и прикладной математики: 711–719. arXiv : 1503.03355 . дои : 10.1137/1.9781611974348.80 . ISBN 978-1-61197-434-8 . S2CID 10147789 .
^ Василеску, МАО; Терзопулос, Д. (2002). Полилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces (PDF) . Конспекты лекций по информатике; (Представлено на 7-й Европейской конференции по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания). Том. 2350. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/3-540-47969-4_30 . ISBN 978-3-540-43745-1 .
^ Гуджрал, Экта; Пасрича, Равдип; Папалексакис, Евангелос Э. (7 мая 2018 г.). Эстер, Мартин; Педрески, Дино (ред.). «SamBaTen: Пакетное инкрементное тензорное разложение на основе выборки». Материалы Международной конференции SIAM по интеллектуальному анализу данных 2018 года . дои : 10.1137/1.9781611975321 . hdl : 10536/DRO/DU:30109588 . ISBN 978-1-61197-532-1 . S2CID 21674935 .
^ Гуджрал, Экта; Папалексакис, Евангелос Э. (9 октября 2020 г.). «OnlineBTD: алгоритмы потоковой передачи для отслеживания блочного разложения больших тензоров». 7-я Международная конференция IEEE по науке о данных и передовой аналитике (DSAA) , 2020 г. стр. 168–177. дои : 10.1109/DSAA49011.2020.00029 . ISBN 978-1-7281-8206-3 . S2CID 227123356 .
^ Гуджрал, Экта (2022). «Моделирование и анализ многоаспектных графов с помощью масштабируемой потоковой тензорной декомпозиции». arXiv : 2210.04404 [ cs.SI ].
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Василеску, МАО; Ким, Э. (2019). Композиционная иерархическая тензорная факторизация: представление иерархических внутренних и внешних причинных факторов . На 25-й конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных (KDD'19): Тензорные методы для решения новых задач в области науки о данных. arXiv : 1911.04180 .
^ Де Латаувер, Ливен (2008). «Разложение тензора высшего порядка в блочных терминах. Часть II: определения и уникальность» . Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 30 (3): 1033–1066. дои : 10.1137/070690729 .
^ Василеску, МАО; Ким, Э.; Цзэн, XS (2021), «CausalX: причинные объяснения и блочный полилинейный факторный анализ», Proc. Conference Proc. 25-й Международной конференции по распознаванию образов (ICPR 2020) 2020 г. , стр. 10736–10743, arXiv : 2102.12853 , doi : 10.1109/ICPR48806.2021.9412780 , ISBN 978-1-7281-8808-9 , S2CID 232046205
^ Гуджрал, Экта; Пасрича, Равдип; Папалексакис, Евангелос (20 апреля 2020 г.). «За пределами ранга 1: обнаружение богатой структуры сообщества в многоаспектных графах» . Материалы веб-конференции 2020 . Тайбэй, Тайвань: ACM. стр. 452–462. дои : 10.1145/3366423.3380129 . ISBN 978-1-4503-7023-3 . S2CID 212745714 .

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[VasilescuDSP-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Василеску, МАО; Терзопулос, Д. «Синтез, анализ и распознавание многолинейных (тензорных) изображений [исследовательский DSP]». Журнал обработки сигналов IEEE . 24 (6): 118–123.

[2] Колда Тамара Г.; Бадер, Бретт В. (6 августа 2009 г.). «Тензорные разложения и приложения» . Обзор СИАМ . 51 (3): 455–500. Бибкод : 2009SIAMR..51..455K . дои : 10.1137/07070111X . ISSN 0036-1445 . S2CID 16074195 .

[3] Сидиропулос, Николас Д.; Де Латаувер, Ливен; Фу, Сяо; Хуанг, Кеджун; Папалексакис, Евангелос Э.; Фалуцсос, Христос (01 июля 2017 г.). «Тензорная декомпозиция для обработки сигналов и машинного обучения» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 65 (13): 3551–3582. arXiv : 1607.01668 . Бибкод : 2017ITSP...65.3551S . дои : 10.1109/TSP.2017.2690524 . ISSN 1053-587X . S2CID 16321768 .

[4] Бернарди, А.; Брачат, Дж.; Комон, П.; Моррен, Б. (01 мая 2013 г.). «Общее тензорное разложение, матрицы моментов и приложения» . Журнал символических вычислений . 52 : 51–71. arXiv : 1105.1229 . дои : 10.1016/j.jsc.2012.05.012 . ISSN 0747-7171 . S2CID 14181289 .

[5] Рабансер, Стефан; Щур, Александр; Гюннеманн, Стефан (2017). «Введение в тензорные разложения и их применение в машинном обучении». arXiv : 1711.10781 [ stat.ML ].

[6] Папалексакис, Евангелос Э. (30 июня 2016 г.). «Автоматический тензорный майнинг без присмотра с оценкой качества» . Материалы Международной конференции SIAM 2016 по интеллектуальному анализу данных . Общество промышленной и прикладной математики: 711–719. arXiv : 1503.03355 . дои : 10.1137/1.9781611974348.80 . ISBN 978-1-61197-434-8 . S2CID 10147789 .

[7] Василеску, МАО; Терзопулос, Д. (2002). Полилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces (PDF) . Конспекты лекций по информатике; (Представлено на 7-й Европейской конференции по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания). Том. 2350. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/3-540-47969-4_30 . ISBN 978-3-540-43745-1 .

[8] Гуджрал, Экта; Пасрича, Равдип; Папалексакис, Евангелос Э. (7 мая 2018 г.). Эстер, Мартин; Педрески, Дино (ред.). «SamBaTen: Пакетное инкрементное тензорное разложение на основе выборки». Материалы Международной конференции SIAM по интеллектуальному анализу данных 2018 года . дои : 10.1137/1.9781611975321 . hdl : 10536/DRO/DU:30109588 . ISBN 978-1-61197-532-1 . S2CID 21674935 .

[9] Гуджрал, Экта; Папалексакис, Евангелос Э. (9 октября 2020 г.). «OnlineBTD: алгоритмы потоковой передачи для отслеживания блочного разложения больших тензоров». 7-я Международная конференция IEEE по науке о данных и передовой аналитике (DSAA) , 2020 г. стр. 168–177. дои : 10.1109/DSAA49011.2020.00029 . ISBN 978-1-7281-8206-3 . S2CID 227123356 .

[ektagujral-10] Гуджрал, Экта (2022). «Моделирование и анализ многоаспектных графов с помощью масштабируемой потоковой тензорной декомпозиции». arXiv : 2210.04404 [ cs.SI ].

[Vasilescu2019-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Василеску, МАО; Ким, Э. (2019). Композиционная иерархическая тензорная факторизация: представление иерархических внутренних и внешних причинных факторов . На 25-й конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных (KDD'19): Тензорные методы для решения новых задач в области науки о данных. arXiv : 1911.04180 .

[12] Де Латаувер, Ливен (2008). «Разложение тензора высшего порядка в блочных терминах. Часть II: определения и уникальность» . Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 30 (3): 1033–1066. дои : 10.1137/070690729 .

[13] Василеску, МАО; Ким, Э.; Цзэн, XS (2021), «CausalX: причинные объяснения и блочный полилинейный факторный анализ», Proc. Conference Proc. 25-й Международной конференции по распознаванию образов (ICPR 2020) 2020 г. , стр. 10736–10743, arXiv : 2102.12853 , doi : 10.1109/ICPR48806.2021.9412780 , ISBN 978-1-7281-8808-9 , S2CID 232046205

[14] Гуджрал, Экта; Пасрича, Равдип; Папалексакис, Евангелос (20 апреля 2020 г.). «За пределами ранга 1: обнаружение богатой структуры сообщества в многоаспектных графах» . Материалы веб-конференции 2020 . Тайбэй, Тайвань: ACM. стр. 452–462. дои : 10.1145/3366423.3380129 . ISBN 978-1-4503-7023-3 . S2CID 212745714 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]