Разложение по сингулярным значениям высшего порядка

В полилинейной алгебре разложение сингулярных значений высшего порядка ( HOSVD ) тензора представляет собой специфическое ортогональное разложение Такера . Его можно рассматривать как один из типов обобщения матричного сингулярного разложения . Он находит применение в компьютерном зрении , компьютерной графике , машинном обучении , научных вычислениях и обработке сигналов . Некоторые аспекты можно проследить еще у Ф. Л. Хичкока в 1928 г. ^[1] но именно Л. Р. Такер разработал для тензоров третьего порядка общее разложение Такера в 1960-х годах: ^[2]^[3]^[4] далее поддерживается Л. Де Латаувером и др. ^[5] в своей работе по мультилинейному SVD, в которой используется степенной метод, или в защиту Василеску и Терзопулоса, которые разработали M-режим SVD - параллельный алгоритм, использующий матричный SVD.

Термин «разложение по сингулярным значениям высшего порядка» (HOSVD) был придуман ДеЛатаувером, но алгоритм, обычно называемый в литературе HOSVD и приписываемый Такеру или ДеЛатауверу, был разработан Василеску и Терзопулосом. ^[6]^[7]^[8] надежные варианты HOSVD и варианты HOSVD, основанные на норме L1 . Также были предложены ^[9]^[10]^[11]^[12]

Определение

Для целей этой статьи абстрактный тензор ${\mathcal {A}}$ предполагается, что он задан в координатах относительно некоторого базиса в виде массива M , также обозначаемого ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ , где M — число мод и порядок тензора. $\mathbb {C}$ это комплексные числа, и оно включает в себя как действительные числа $\mathbb {R}$ и чисто мнимые числа.

Позволять ${\mathcal {A}}_{[m]}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times (I_{1}I_{2}\cdots I_{m-1}I_{m+1}\cdots I_{M})}$ обозначаем стандартную моду m уплощение - ${\mathcal {A}}$ , так что левый индекс ${\mathcal {A}}_{[m]}$ соответствует $m$ 'й индекс ${\mathcal {A}}$ и правый индекс ${\mathcal {A}}_{[m]}$ соответствует всем остальным индексам ${\mathcal {A}}$ комбинированный. Позволять ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times I_{m}}$ — унитарная матрица, содержащая базис левых сингулярных векторов ${\mathcal {A}}_{[m]}$ такой, что j- й столбец $\mathbf {u} _{j}$ из ${\bf {U}}_{m}$ соответствует j -му наибольшему сингулярному значению ${\mathcal {A}}_{[m]}$ . Обратите внимание, что матрица мод/факторов ${\bf {U}}_{m}$ не зависит от конкретного определения режима m уплощения. По свойствам полилинейного умножения имеем ${\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {I}},{\bf {I}},\ldots ,{\bf {I}})\\&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}$ где $\cdot ^{H}$ обозначает сопряженное транспонирование . Второе равенство состоит в том, что ${\bf {U}}_{m}$ являются унитарными матрицами. Определим теперь основной тензор ${\mathcal {S}}:={\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H}).$ Тогда ХОСВД ^[5] из ${\mathcal {A}}$ это разложение ${\mathcal {A}}={\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}).$ Приведенная выше конструкция показывает, что каждый тензор имеет HOSVD.

Компактный ХОСВД

Как и в случае по сингулярным значениям компактного разложения матрицы , где отбрасываются строки и столбцы, соответствующие исчезающим сингулярным значениям, также можно рассмотреть компактный HOSVD , что очень полезно в приложениях.

Предположим, что ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ — матрица с унитарными столбцами, содержащая базис из левых сингулярных векторов, соответствующих ненулевым сингулярным значениям стандартного фактора — m уплощение ${\mathcal {A}}_{[m]}$ из ${\mathcal {A}}$ . Пусть столбцы ${\bf {U}}_{m}$ быть отсортировано так, чтобы $r_{m}$ й столбец ${\bf {u}}_{r_{m}}$ из ${\bf {U}}_{m}$ соответствует $r_{m}$ самое большое ненулевое единственное значение ${\mathcal {A}}_{[m]}$ . Поскольку столбцы ${\bf {U}}_{m}$ составляют основу образа ${\mathcal {A}}_{[m]}$ , у нас есть ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl (}{\mathcal {A}}\times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]},$ где первое равенство обусловлено свойствами ортогональных проекций (в эрмитовом скалярном произведении), а последнее равенство обусловлено свойствами полилинейного умножения. Поскольку уплощения являются биективными отображениями, и приведенная выше формула справедлива для всех $m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M$ , мы находим, как и раньше, что ${\begin{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}{\bf {U}}_{M}^{H})\\&=&\left({\mathcal {A}}\times ({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots ,{\bf {U}}_{M}^{H})\right)\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M})\\&=&{\mathcal {S}}\times ({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots ,{\bf {U}}_{M}),\end{array}}$ где основной тензор ${\mathcal {S}}$ теперь имеет размер $R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}$ .

Мультилинейный ранг

Полилинейный ранг ^[1] из ${\mathcal {A}}$ обозначается рангом- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ . Полилинейный ранг представляет собой кортеж в $\mathbb {N} ^{M}$ где $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ . Не все кортежи в $\mathbb {N} ^{M}$ являются полилинейными рангами. ^[13] Полилинейные ранги ограничены $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ и это удовлетворяет ограничению ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ должен держаться. ^[13]

Компактный HOSVD представляет собой разложение, раскрывающее ранг, в том смысле, что размеры его основного тензора соответствуют компонентам полилинейного ранга тензора.

Интерпретация

Следующая геометрическая интерпретация справедлива как для полного, так и для компактного ХОСВД. Позволять $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ — полилинейный ранг тензора ${\mathcal {A}}$ . С ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ это многомерный массив, мы можем расширить его следующим образом ${\mathcal {S}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \mathbf {e} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}},$ где $\mathbf {e} _{r_{m}}$ это $r_{m}$ стандартный базисный вектор ${\mathbb {C} }^{I_{m}}$ . По определению полилинейного умножения верно, что ${\mathcal {A}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{M}}s_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}},$ где $\mathbf {u} _{r_{m}}$ это столбцы ${\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}$ . Легко убедиться в том, что $B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}$ — ортонормированный набор тензоров. Это означает, что HOSVD можно интерпретировать как способ выражения тензора ${\mathcal {A}}$ относительно специально выбранного ортонормированного базиса $B$ с коэффициентами, заданными в виде многомерного массива ${\mathcal {S}}$ .

Вычисление

Позволять ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ быть тензором ранга- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ , где $\mathbb {C}$ содержит реальные данные $\mathbb {R}$ как подмножество.

Классические вычисления

Стратегия расчета мультилинейного SVD и M-mode SVD была представлена в 1960-х годах Л. Р. Такером , ^[3] далее поддерживается Л. Де Латаувером и др. , ^[5] и Василеску и Терзопулус. ^[8]^[6] Термин HOSVD был придуман Ливеном Де Латаувером, но алгоритм, обычно называемый в литературе HOSVD, был введен Василеску и Терзопулосом. ^[6]^[8] с названием М-режим СВД. Это параллельные вычисления, в которых используется матрица SVD для вычисления матриц ортонормированных режимов.

М-режим СВД

Источники: ^[6]^[8]

Для $m=1,\ldots ,M$ , сделайте следующее:

Постройте модемное сглаживание ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ;
Вычислите (компактное) разложение по сингулярным значениям ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ и сохраните левые сингулярные векторы ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ;

Вычислить основной тензор ${\mathcal {S}}$ с помощью полилинейного умножения ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$

Чересстрочные вычисления

Стратегия, которая работает значительно быстрее, когда некоторые или все $R_{m}\ll I_{m}$ состоит из переплетения вычислений основного тензора и факторных матриц следующим образом: ^[14]^[15]^[16]

Набор ${\mathcal {A}}^{0}={\mathcal {A}}$ ;
Для $m=1,2\ldots ,M$ $m=1,2\ldots,M$ выполните следующее:
1. Постройте стандартную моду- m сглаживание ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ ;
2. Вычислите (компактное) разложение по сингулярным значениям ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ и сохраните левые сингулярные векторы $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ ;
3. Набор ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ или, что то же самое, ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ .

Вычисление на месте

HOSVD можно вычислить на месте с помощью последовательного усеченного разложения сингулярных значений высшего порядка с объединением на месте (FIST-HOSVD). ^[16] алгоритм путем перезаписи исходного тензора базовым тензором HOSVD, что значительно снижает потребление памяти при вычислении HOSVD.

Приближение

В приложениях, подобных упомянутым ниже, общая проблема состоит в аппроксимации заданного тензора ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ на единицу с пониженным полилинейным рангом. Формально, если полилинейный ранг ${\mathcal {A}}$ обозначается $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ , затем вычисление оптимального ${\mathcal {\bar {A}}}$ что приближает ${\mathcal {A}}$ за данное пониженное $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ является нелинейным невыпуклым $\ell _{2}$ -проблема с оптимизацией $\min _{{\mathcal {\bar {A}}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}}{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}\|_{F}^{2}\quad {\text{s.t.}}\quad \mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M}),$ где $({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}$ – приведенный полилинейный ранг с $1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}$ , и норма $\|.\|_{F}$ является нормой Фробениуса .

Простая идея решения этой проблемы оптимизации состоит в том, чтобы усечь (компактный) SVD на шаге 2 классического или чересстрочного вычисления. получается Классически усеченное HOSVD путем замены шага 2 классического вычисления на

Вычислить ранг- ${\bar {R}}_{m}$ усеченная СВД ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ и сохраните верхнюю часть ${\bar {R}}_{m}$ левые сингулярные векторы $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ ;

в то время как последовательно усеченный HOSVD (или последовательно усеченный HOSVD ) получается путем замены шага 2 в чересстрочном вычислении на

Вычислить ранг- ${\bar {R}}_{m}$ усеченная СВД ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ и сохраните верхнюю часть ${\bar {R}}_{m}$ левые сингулярные векторы $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ . К сожалению, усечение не приводит к оптимальному решению задачи оптимизации с низким полилинейным рангом. ^[5]^[6]^[14]^[16] Однако как классический, так и усеченный HOSVD с чередованием приводят к квазиоптимальному решению: ^[14]^[16]^[15]^[17] если ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ обозначает классически или последовательно усеченный HOSVD и ${\mathcal {\bar {A}}}^{*}$ обозначает оптимальное решение задачи наилучшей аппроксимации низкого полилинейного ранга, тогда $\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}_{t}\|_{F}\leq {\sqrt {M}}\|{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}}^{*}\|_{F};$ на практике это означает, что если существует оптимальное решение с небольшой ошибкой, то усеченный HOSVD для многих намеченных целей также даст достаточно хорошее решение.

Приложения

HOSVD чаще всего применяется для извлечения соответствующей информации из многосторонних массивов.

Начиная с начала 2000-х годов Василеску обратился к причинно-следственным вопросам, переформулировав проблемы анализа, распознавания и синтеза данных как задачи полилинейного тензора. Возможности тензорной структуры были продемонстрированы путем разложения и представления изображения с точки зрения причинных факторов формирования данных в контексте сигнатур движения человека для распознавания походки. ^[18] распознавание лиц — TensorFaces ^[19]^[20] и компьютерная графика — TensorTextures. ^[21]

HOSVD успешно применяется для обработки сигналов и больших данных, например, при обработке геномных сигналов. ^[22]^[23]^[24] Эти приложения также вдохновили на создание GSVD более высокого порядка (HO GSVD). ^[25] и тензорный ГСВД. ^[26]

Комбинация HOSVD и SVD также применялась для обнаружения событий в реальном времени из сложных потоков данных (многомерные данные с пространственными и временными измерениями) при эпиднадзоре за заболеваниями . ^[27]

Он также используется при проектировании контроллера на основе преобразования тензорной модели произведения . ^[28]^[29]

Концепция HOSVD была перенесена в функции Бараньи и Ямом посредством трансформации модели TP . ^[28]^[29] Это расширение привело к определению канонической формы тензорных функций произведения на основе HOSVD и системных моделей с линейными параметрами. ^[30] а о теории оптимизации управления, основанной на манипуляциях с выпуклой оболочкой, см. « Преобразование модели TP в теориях управления» .

HOSVD было предложено применить для многоракурсного анализа данных. ^[31] и был успешно применен для открытия лекарств in silico на основе экспрессии генов. ^[32]

Прочный вариант L1-нормы

L1-Такер — это норме L1 , основанный на устойчивый вариант разложения Такера . ^[10]^[11] L1-HOSVD является аналогом HOSVD для решения L1-Tucker. ^[10]^[12]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Хичкок, Фрэнк Л. (1 апреля 1928 г.). «Множественные инварианты и обобщенный ранг M-образного массива или тензора». Журнал математики и физики . 7 (1–4): 39–79. дои : 10.1002/sapm19287139 . ISSN 1467-9590 .
^ Такер, Ледьярд Р. (1 сентября 1966 г.). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. дои : 10.1007/bf02289464 . ISSN 0033-3123 . ПМИД 5221127 . S2CID 44301099 .
^ Jump up to: ^а ^б Такер, Л.Р. (1963). «Последствия факторного анализа трехфакторных матриц для измерения изменений». В CW Харрис (ред.), Проблемы измерения изменений. Мэдисон, Висконсин: Univ. Висконсин Пресс. : 122–137.
^ Такер, Л.Р. (1964). «Распространение факторного анализа на трехмерные матрицы». В Н. Фредериксене и Х. Гулликсене (ред.), «Вклад в математическую психологию». Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон : 109–127.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Де Латаувер, Л.; Де Мур, Б.; Вандевалле, Дж. (1 января 2000 г.). «Мультилинейное разложение по сингулярным значениям». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.102.9135 . дои : 10.1137/s0895479896305696 . ISSN 0895-4798 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и МАО Василеску, Д. Терзопулос (2002) с названием М-режим СВД. SVD в М-режиме подходит для параллельных вычислений и использует матричный SVD «Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces» , Proc. 7-я Европейская конференция по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания, май 2002 г.
^ МАО Василеску, Д. Терзопулос (2003) «Мультилинейный подпространственный анализ ансамблей изображений» , «Материалы конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR'03), Мэдисон, Висконсин, июнь 2003 г.»
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д МАО Василеску, Д. Терзопулос (2005) «Мультилинейный независимый анализ компонентов» , «Материалы конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR'05), Сан-Диего, Калифорния, июнь 2005 г., том 1, 547–553. "
^ Годфарб, Дональд; Живэй, Цинь (2014). «Надежное восстановление тензоров низкого ранга: модели и алгоритмы». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 35 (1): 225–253. arXiv : 1311.6182 . дои : 10.1137/130905010 . S2CID 1051205 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Чачлакис, Димитрис Г.; Пратер-Беннетт, Эшли; Маркопулос, Панос П. (22 ноября 2019 г.). «Разложение тензора Такера по норме L1» . Доступ IEEE . 7 : 178454–178465. arXiv : 1904.06455 . дои : 10.1109/ACCESS.2019.2955134 .
^ Jump up to: ^а ^б Маркопулос, Панос П.; Чачлакис, Димитрис Г.; Папалексакис, Евангелос (апрель 2018 г.). «Точное решение разложения TUCKER2 по L1-норме ранга 1». Письма об обработке сигналов IEEE . 25 (4): 511–515. arXiv : 1710.11306 . Бибкод : 2018ISPL...25..511M . дои : 10.1109/ЛСП.2018.2790901 . S2CID 3693326 .
^ Jump up to: ^а ^б Маркопулос, Панос П.; Чачлакис, Димитрис Г.; Пратер-Беннетт, Эшли (21 февраля 2019 г.). «Разложение по сингулярным значениям высшего порядка L1-нормы». Глобальная конференция IEEE по обработке сигналов и информации (GlobalSIP) 2018 года . стр. 1353–1357. дои : 10.1109/GlobalSIP.2018.8646385 . ISBN 978-1-7281-1295-4 . S2CID 67874182 .
^ Jump up to: ^а ^б Карлини, Энрико; Клеппе, Йоханнес (2011). «Ранги, полученные на основе многолинейных карт» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 215 (8): 1999–2004. дои : 10.1016/j.jpaa.2010.11.010 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ванниеувенховен, Н.; Вандебрил, Р.; Меерберген, К. (1 января 2012 г.). «Новая стратегия усечения для разложения по сингулярным значениям высшего порядка» . SIAM Журнал по научным вычислениям . 34 (2): А1027–А1052. Бибкод : 2012ГАК...34А1027В . дои : 10.1137/110836067 . ISSN 1064-8275 . S2CID 15318433 .
^ Jump up to: ^а ^б Хакбуш, Вольфганг (2012). Тензорные пространства и численное тензорное исчисление | СпрингерЛинк . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Том. 42. дои : 10.1007/978-3-642-28027-6 . ISBN 978-3-642-28026-9 . S2CID 117253621 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кобб, Бенджамин; Колла, Хемант; Фиппс, Эрик; Чаталюрек, Юмит В. (2022). FIST-HOSVD: объединенное на месте последовательно усеченное разложение сингулярных значений высшего порядка . Платформа передовых научных вычислений (PASC). дои : 10.1145/3539781.3539798 . ISBN 9781450394109 .
^ Граседик, Л. (1 января 2010 г.). «Иерархическое разложение тензоров по сингулярным значениям». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 31 (4): 2029–2054. CiteSeerX 10.1.1.660.8333 . дои : 10.1137/090764189 . ISSN 0895-4798 .
^ МАО Василеску (2002) «Сигнатуры движения человека: анализ, синтез, распознавание», Материалы Международной конференции по распознаванию образов (ICPR 2002), Vol. 3, Квебек, Канада, август 2002 г., стр. 456–460.
^ МАО Василеску, Д. Терзопулос (2003) «Мультилинейный подпространственный анализ ансамблей изображений», МАО Василеску, Д. Терзопулос, Proc. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR '03), Том 2, Мэдисон, Висконсин, июнь, 2003, 93–99.
^ МАО Василеску, Д. Терзопулос (2002) «Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces», Proc. 7-я Европейская конференция по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания, май 2002 г., по компьютерному зрению - ECCV 2002, Конспекты лекций по информатике, Vol. 2350, А. Хейден и др. (Ред.), Springer-Verlag, Берлин, 2002, 447–460.
^ МАО Василеску, Д. Терзопулос (2004) «Тензорные текстуры: многолинейный рендеринг на основе изображений», МАО Василеску и Д. Терзопулос, Proc. Конференция ACM SIGGRAPH 2004, Лос-Анджелес, Калифорния, август 2004 г., в журнале Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.
^ Л. Омберг; Голубь Г.Х.; О. Альтер (ноябрь 2007 г.). «Тензорное разложение по сингулярным значениям высшего порядка для интегративного анализа данных ДНК-микрочипов из различных исследований» . ПНАС . 104 (47): 18371–18376. Бибкод : 2007PNAS..10418371O . дои : 10.1073/pnas.0709146104 . ПМК 2147680 . ПМИД 18003902 .
^ Л. Омберг; Дж. Р. Мейерсон; К. Кобаяши; Л. С. Друри; JFX Диффли; О. Альтер (октябрь 2009 г.). «Глобальное влияние репликации ДНК и активности источника репликации ДНК на экспрессию генов эукариот» . Молекулярная системная биология . 5 : 312. дои : 10.1038/msb.2009.70 . ПМК 2779084 . ПМИД 19888207 . Выделять .
^ К. Муралидхара; А. М. Гросс; Р.Р. Гутель; О. Альтер (апрель 2011 г.). «Тензорное разложение выявляет одновременные эволюционные конвергенции и расхождения, а также корреляции со структурными мотивами в рибосомальной РНК» . ПЛОС ОДИН . 6 (4): e18768. Бибкод : 2011PLoSO...618768M . дои : 10.1371/journal.pone.0018768 . ПМК 3094155 . ПМИД 21625625 . Выделять .
^ СП Поннапалли; М. А. Сондерс; CF Ван Лоан; О. Альтер (декабрь 2011 г.). «Обобщенное разложение по сингулярным значениям высшего порядка для сравнения глобальной экспрессии мРНК из нескольких организмов» . ПЛОС ОДИН . 6 (12): e28072. Бибкод : 2011PLoSO...628072P . дои : 10.1371/journal.pone.0028072 . ПМЦ 3245232 . ПМИД 22216090 . Выделять .
^ П. Шанкаранараянан; Т.Е. Шомай; КА Айелло; О. Альтер (апрель 2015 г.). «Тензорная БСВД профилей числа копий опухоли и нормальной ДНК, совпадающих с пациентом и платформой, раскрывает хромосомные паттерны эксклюзивных для опухоли платформо-согласованных изменений, кодирующих трансформацию клеток и прогнозирующих выживаемость при раке яичников» . ПЛОС ОДИН . 10 (4): e0121396. Бибкод : 2015PLoSO..1021396S . дои : 10.1371/journal.pone.0121396 . ПМЦ 4398562 . ПМИД 25875127 . АААС EurekAlert! Пресс-релиз и подкаст NAE .
^ Хади Фанаи-Т; Жоау Гама (май 2015 г.). «EigenEvent: алгоритм обнаружения событий из сложных потоков данных в синдромном наблюдении». Интеллектуальный анализ данных . 19 (3): 597–616. arXiv : 1406.3496 . Бибкод : 2014arXiv1406.3496F . дои : 10.3233/IDA-150734 . S2CID 17966555 .
^ Jump up to: ^а ^б П. Бараньи (апрель 2004 г.). «Трансформация модели TP как способ проектирования контроллера на основе LMI». Транзакции IEEE по промышленной электронике . 51 (2): 387–400. дои : 10.1109/tie.2003.822037 . S2CID 7957799 .
^ Jump up to: ^а ^б П. Бараньи; Д. Тикк; Ю. Ям; Р. Дж. Паттон (2003). «От дифференциальных уравнений к проектированию контроллера PDC посредством численного преобразования». Компьютеры в промышленности . 51 (3): 281–297. дои : 10.1016/s0166-3615(03)00058-7 .
^ П. Бараньи; Л. Зейдль; П. Варлаки; Ю. Ям (3–5 июля 2006 г.). Определение канонической формы политопных динамических моделей на основе HOSVD . 3-я Международная конференция по мехатронике (ICM 2006). Будапешт, Венгрия. стр. 660–665.
^ Да. Тагучи (август 2017 г.). «Неконтролируемое извлечение признаков на основе тензорной декомпозиции, применяемое к матричным продуктам для многопредставленной обработки данных» . ПЛОС ОДИН . 12 (8): e0183933. Бибкод : 2017PLoSO..1283933T . дои : 10.1371/journal.pone.0183933 . ПМК 5571984 . ПМИД 28841719 .
^ Да. Тагучи (октябрь 2017 г.). «Идентификация лекарств-кандидатов с использованием неконтролируемого извлечения признаков на основе тензорного разложения в комплексном анализе экспрессии генов между заболеваниями и наборами данных DrugMatrix» . Научные отчеты . 7 (1): 13733. Бибкод : 2017НатСР...713733Т . дои : 10.1038/s41598-017-13003-0 . ПМЦ 5653784 . ПМИД 29062063 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Хичкок, Фрэнк Л. (1 апреля 1928 г.). «Множественные инварианты и обобщенный ранг M-образного массива или тензора». Журнал математики и физики . 7 (1–4): 39–79. дои : 10.1002/sapm19287139 . ISSN 1467-9590 .

[:1-2] Такер, Ледьярд Р. (1 сентября 1966 г.). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. дои : 10.1007/bf02289464 . ISSN 0033-3123 . ПМИД 5221127 . S2CID 44301099 .

[Tucker1963-3] Jump up to: ^а ^б Такер, Л.Р. (1963). «Последствия факторного анализа трехфакторных матриц для измерения изменений». В CW Харрис (ред.), Проблемы измерения изменений. Мэдисон, Висконсин: Univ. Висконсин Пресс. : 122–137.

[Tucker1964-4] Такер, Л.Р. (1964). «Распространение факторного анализа на трехмерные матрицы». В Н. Фредериксене и Х. Гулликсене (ред.), «Вклад в математическую психологию». Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон : 109–127.

[:2-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Де Латаувер, Л.; Де Мур, Б.; Вандевалле, Дж. (1 января 2000 г.). «Мультилинейное разложение по сингулярным значениям». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.102.9135 . дои : 10.1137/s0895479896305696 . ISSN 0895-4798 .

[:Vasilescu2002-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и МАО Василеску, Д. Терзопулос (2002) с названием М-режим СВД. SVD в М-режиме подходит для параллельных вычислений и использует матричный SVD «Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces» , Proc. 7-я Европейская конференция по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания, май 2002 г.

[Vasilescu2003-7] МАО Василеску, Д. Терзопулос (2003) «Мультилинейный подпространственный анализ ансамблей изображений» , «Материалы конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR'03), Мэдисон, Висконсин, июнь 2003 г.»

[:Vasilescu2005-8] Jump up to: ^а ^б ^с ^д МАО Василеску, Д. Терзопулос (2005) «Мультилинейный независимый анализ компонентов» , «Материалы конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR'05), Сан-Диего, Калифорния, июнь 2005 г., том 1, 547–553. "

[robustHOSVD-9] Годфарб, Дональд; Живэй, Цинь (2014). «Надежное восстановление тензоров низкого ранга: модели и алгоритмы». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 35 (1): 225–253. arXiv : 1311.6182 . дои : 10.1137/130905010 . S2CID 1051205 .

[l1tucker-10] Jump up to: ^а ^б ^с Чачлакис, Димитрис Г.; Пратер-Беннетт, Эшли; Маркопулос, Панос П. (22 ноября 2019 г.). «Разложение тензора Такера по норме L1» . Доступ IEEE . 7 : 178454–178465. arXiv : 1904.06455 . дои : 10.1109/ACCESS.2019.2955134 .

[l1tucker3-11] Jump up to: ^а ^б Маркопулос, Панос П.; Чачлакис, Димитрис Г.; Папалексакис, Евангелос (апрель 2018 г.). «Точное решение разложения TUCKER2 по L1-норме ранга 1». Письма об обработке сигналов IEEE . 25 (4): 511–515. arXiv : 1710.11306 . Бибкод : 2018ISPL...25..511M . дои : 10.1109/ЛСП.2018.2790901 . S2CID 3693326 .

[l1tucker2-12] Jump up to: ^а ^б Маркопулос, Панос П.; Чачлакис, Димитрис Г.; Пратер-Беннетт, Эшли (21 февраля 2019 г.). «Разложение по сингулярным значениям высшего порядка L1-нормы». Глобальная конференция IEEE по обработке сигналов и информации (GlobalSIP) 2018 года . стр. 1353–1357. дои : 10.1109/GlobalSIP.2018.8646385 . ISBN 978-1-7281-1295-4 . S2CID 67874182 .

[:3-13] Jump up to: ^а ^б Карлини, Энрико; Клеппе, Йоханнес (2011). «Ранги, полученные на основе многолинейных карт» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 215 (8): 1999–2004. дои : 10.1016/j.jpaa.2010.11.010 .

[:4-14] Jump up to: ^а ^б ^с Ванниеувенховен, Н.; Вандебрил, Р.; Меерберген, К. (1 января 2012 г.). «Новая стратегия усечения для разложения по сингулярным значениям высшего порядка» . SIAM Журнал по научным вычислениям . 34 (2): А1027–А1052. Бибкод : 2012ГАК...34А1027В . дои : 10.1137/110836067 . ISSN 1064-8275 . S2CID 15318433 .

[:5-15] Jump up to: ^а ^б Хакбуш, Вольфганг (2012). Тензорные пространства и численное тензорное исчисление | СпрингерЛинк . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Том. 42. дои : 10.1007/978-3-642-28027-6 . ISBN 978-3-642-28026-9 . S2CID 117253621 .

[:fist_hosvd-16] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кобб, Бенджамин; Колла, Хемант; Фиппс, Эрик; Чаталюрек, Юмит В. (2022). FIST-HOSVD: объединенное на месте последовательно усеченное разложение сингулярных значений высшего порядка . Платформа передовых научных вычислений (PASC). дои : 10.1145/3539781.3539798 . ISBN 9781450394109 .

[17] Граседик, Л. (1 января 2010 г.). «Иерархическое разложение тензоров по сингулярным значениям». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 31 (4): 2029–2054. CiteSeerX 10.1.1.660.8333 . дои : 10.1137/090764189 . ISSN 0895-4798 .

[Vasilescu2002b2-18] МАО Василеску (2002) «Сигнатуры движения человека: анализ, синтез, распознавание», Материалы Международной конференции по распознаванию образов (ICPR 2002), Vol. 3, Квебек, Канада, август 2002 г., стр. 456–460.

[Vasilescu20032-19] МАО Василеску, Д. Терзопулос (2003) «Мультилинейный подпространственный анализ ансамблей изображений», МАО Василеску, Д. Терзопулос, Proc. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR '03), Том 2, Мэдисон, Висконсин, июнь, 2003, 93–99.

[Vasilescu2002a2-20] МАО Василеску, Д. Терзопулос (2002) «Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces», Proc. 7-я Европейская конференция по компьютерному зрению (ECCV'02), Копенгаген, Дания, май 2002 г., по компьютерному зрению - ECCV 2002, Конспекты лекций по информатике, Vol. 2350, А. Хейден и др. (Ред.), Springer-Verlag, Берлин, 2002, 447–460.

[Vasilescu20042-21] МАО Василеску, Д. Терзопулос (2004) «Тензорные текстуры: многолинейный рендеринг на основе изображений», МАО Василеску и Д. Терзопулос, Proc. Конференция ACM SIGGRAPH 2004, Лос-Анджелес, Калифорния, август 2004 г., в журнале Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2004, 336–342.

[22] Л. Омберг; Голубь Г.Х.; О. Альтер (ноябрь 2007 г.). «Тензорное разложение по сингулярным значениям высшего порядка для интегративного анализа данных ДНК-микрочипов из различных исследований» . ПНАС . 104 (47): 18371–18376. Бибкод : 2007PNAS..10418371O . дои : 10.1073/pnas.0709146104 . ПМК 2147680 . ПМИД 18003902 .

[23] Л. Омберг; Дж. Р. Мейерсон; К. Кобаяши; Л. С. Друри; JFX Диффли; О. Альтер (октябрь 2009 г.). «Глобальное влияние репликации ДНК и активности источника репликации ДНК на экспрессию генов эукариот» . Молекулярная системная биология . 5 : 312. дои : 10.1038/msb.2009.70 . ПМК 2779084 . ПМИД 19888207 . Выделять .

[24] К. Муралидхара; А. М. Гросс; Р.Р. Гутель; О. Альтер (апрель 2011 г.). «Тензорное разложение выявляет одновременные эволюционные конвергенции и расхождения, а также корреляции со структурными мотивами в рибосомальной РНК» . ПЛОС ОДИН . 6 (4): e18768. Бибкод : 2011PLoSO...618768M . дои : 10.1371/journal.pone.0018768 . ПМК 3094155 . ПМИД 21625625 . Выделять .

[25] СП Поннапалли; М. А. Сондерс; CF Ван Лоан; О. Альтер (декабрь 2011 г.). «Обобщенное разложение по сингулярным значениям высшего порядка для сравнения глобальной экспрессии мРНК из нескольких организмов» . ПЛОС ОДИН . 6 (12): e28072. Бибкод : 2011PLoSO...628072P . дои : 10.1371/journal.pone.0028072 . ПМЦ 3245232 . ПМИД 22216090 . Выделять .

[26] П. Шанкаранараянан; Т.Е. Шомай; КА Айелло; О. Альтер (апрель 2015 г.). «Тензорная БСВД профилей числа копий опухоли и нормальной ДНК, совпадающих с пациентом и платформой, раскрывает хромосомные паттерны эксклюзивных для опухоли платформо-согласованных изменений, кодирующих трансформацию клеток и прогнозирующих выживаемость при раке яичников» . ПЛОС ОДИН . 10 (4): e0121396. Бибкод : 2015PLoSO..1021396S . дои : 10.1371/journal.pone.0121396 . ПМЦ 4398562 . ПМИД 25875127 . АААС EurekAlert! Пресс-релиз и подкаст NAE .

[27] Хади Фанаи-Т; Жоау Гама (май 2015 г.). «EigenEvent: алгоритм обнаружения событий из сложных потоков данных в синдромном наблюдении». Интеллектуальный анализ данных . 19 (3): 597–616. arXiv : 1406.3496 . Бибкод : 2014arXiv1406.3496F . дои : 10.3233/IDA-150734 . S2CID 17966555 .

[Baranyi042-28] Jump up to: ^а ^б П. Бараньи (апрель 2004 г.). «Трансформация модели TP как способ проектирования контроллера на основе LMI». Транзакции IEEE по промышленной электронике . 51 (2): 387–400. дои : 10.1109/tie.2003.822037 . S2CID 7957799 .

[compind2-29] Jump up to: ^а ^б П. Бараньи; Д. Тикк; Ю. Ям; Р. Дж. Паттон (2003). «От дифференциальных уравнений к проектированию контроллера PDC посредством численного преобразования». Компьютеры в промышленности . 51 (3): 281–297. дои : 10.1016/s0166-3615(03)00058-7 .

[canon12-30] П. Бараньи; Л. Зейдль; П. Варлаки; Ю. Ям (3–5 июля 2006 г.). Определение канонической формы политопных динамических моделей на основе HOSVD . 3-я Международная конференция по мехатронике (ICM 2006). Будапешт, Венгрия. стр. 660–665.

[31] Да. Тагучи (август 2017 г.). «Неконтролируемое извлечение признаков на основе тензорной декомпозиции, применяемое к матричным продуктам для многопредставленной обработки данных» . ПЛОС ОДИН . 12 (8): e0183933. Бибкод : 2017PLoSO..1283933T . дои : 10.1371/journal.pone.0183933 . ПМК 5571984 . ПМИД 28841719 .

[32] Да. Тагучи (октябрь 2017 г.). «Идентификация лекарств-кандидатов с использованием неконтролируемого извлечения признаков на основе тензорного разложения в комплексном анализе экспрессии генов между заболеваниями и наборами данных DrugMatrix» . Научные отчеты . 7 (1): 13733. Бибкод : 2017НатСР...713733Т . дои : 10.1038/s41598-017-13003-0 . ПМЦ 5653784 . ПМИД 29062063 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]