Разложение Такера

В математике разложение Такера разлагает тензор на набор матриц и один небольшой основной тензор. Он назван в честь Ледьярда Р. Такера. ^[1]хотя это восходит к Хичкоку в 1927 году. ^[2]Первоначально описанный как трехрежимное расширение факторного анализа и анализа главных компонент, на самом деле его можно обобщить до анализа более высокого порядка, который также называется разложением по сингулярным значениям высшего порядка (HOSVD).

Ее можно рассматривать как более гибкую модель PARAFAC (параллельный факторный анализ). В PARAFAC основной тензор ограничен «диагональю».

На практике в качестве инструмента моделирования используется разложение Такера. Например, он используется для моделирования трехсторонних (или более высоких) данных с помощью относительно небольшого количества компонентов для каждого из трех или более режимов, и эти компоненты связаны друг с другом трех- (или более высоким) способом. ) способ основного массива. Параметры модели оцениваются таким образом, что при фиксированном количестве компонентов смоделированные данные оптимально напоминают фактические данные в смысле метода наименьших квадратов. Модель дает сводку информации в данных так же, как анализ главных компонентов делает для двусторонних данных.

Для тензора 3-го порядка $T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}$ , где $F$ либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ , разложение Такера можно обозначить следующим образом: $T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}$ где ${\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}$ — основной тензор , тензор 3-го порядка, который содержит 1-модовые, 2-модовые и 3-модовые сингулярные значения $T$ , которые определяются как норма Фробениуса 1-модовых, 2-модовых и 3-модовых срезов тензора ${\mathcal {T}}$ соответственно. $U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}$ являются унитарными матрицами в $F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}$ соответственно. Произведение k -моды ( k = 1, 2, 3) ${\mathcal {T}}$ к $U^{(k)}$ обозначается как ${\mathcal {T}}\times U^{(k)}$ с записями как

{\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}

В целом, разложение можно записать и более прямо как

T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})

принимая $d_{i}=n_{i}$ для всех $i$ всегда достаточно, чтобы представить $T$ именно, но часто $T$ можно сжать или эффективно приблизительно, выбрав $d_{i}<n_{i}$ . Распространенным выбором является $d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})$ , что может быть эффективно, когда разница в размерах велика.

Есть два особых случая разложения Такера:

Такер1 : если $U^{(2)}$ и $U^{(3)}$ тождественны, то $T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}$

Такер2 : если $U^{(3)}$ является личностью, то $T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}$ .

RESCAL- разложение ^[3] можно рассматривать как частный случай Такера, где $U^{(3)}$ это идентичность и $U^{(1)}$ равно $U^{(2)}$ .

См. также

Ссылки

^ Ледьярд Р. Такер (сентябрь 1966 г.). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. дои : 10.1007/BF02289464 . ПМИД 5221127 .
^ Ф. Л. Хичкок (1927). «Выражение тензора или полиады как сумма произведений». Журнал математики и физики . 6 : 164–189.
^ Никель, Максимилиан; Тресп, Волкер; Кригель, Ханс-Петер (28 июня 2011 г.). Трехсторонняя модель коллективного обучения многореляционным данным . ИКМЛ. Том. 11. С. 809–816.

Эта статистике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Ледьярд Р. Такер (сентябрь 1966 г.). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. дои : 10.1007/BF02289464 . ПМИД 5221127 .

[2] Ф. Л. Хичкок (1927). «Выражение тензора или полиады как сумма произведений». Журнал математики и физики . 6 : 164–189.

[3] Никель, Максимилиан; Тресп, Волкер; Кригель, Ханс-Петер (28 июня 2011 г.). Трехсторонняя модель коллективного обучения многореляционным данным . ИКМЛ. Том. 11. С. 809–816.

[1]

[2]

[3]