Преобразование модели тензорного произведения

В математике тензорного произведения ( TP ) преобразование модели было предложено Бараньи и Ямом. как ключевое понятие для по сингулярным значениям более высокого порядка разложения функций . Он преобразует функцию (которая может быть задана с помощью закрытых формул или нейронных сетей , нечеткой логики и т. д.) в форму функции TP, если такое преобразование возможно. Если точное преобразование невозможно, то метод определяет функцию ТП, являющуюся аппроксимацией заданной функции. Следовательно, преобразование модели TP может обеспечить компромисс между точностью аппроксимации и сложностью.

Бесплатную в MATLAB реализацию преобразования модели TP можно загрузить по адресу [1] или старая версия набора инструментов доступна в MATLAB Central [2] . Ключевой основой преобразования является разложение по сингулярным значениям более высокого порядка .

Помимо трансформации функций, трансформация модели TP также является новой концепцией управления на основе qLPV, которая играет центральную роль в обеспечении ценных средств соединения теорий идентификации и политопных систем. Преобразование модели ТП уникально эффективно при манипулировании выпуклой оболочкой политопных форм и в результате выявило и доказало тот факт, что манипуляция выпуклой оболочкой является необходимым и решающим шагом в достижении оптимальных решений и уменьшении консервативности. в современной теории управления на основе LMI. Таким образом, хотя в математическом смысле это преобразование, оно установило концептуально новое направление в теории управления и заложило основу для дальнейших новых подходов к оптимальности. Более подробную информацию о теоретических аспектах трансформации модели ТП можно найти здесь: Трансформация модели ТП в теории управления .

Преобразование модели ТП послужило причиной определения «канонической формы HOSVD функций ТП». дополнительную информацию о котором можно найти здесь . Было доказано, что преобразование модели TP способно численно восстановить эту каноническую форму на основе HOSVD . Таким образом, преобразование модели ТП можно рассматривать как численный метод вычисления HOSVD функций, который дает точные результаты, если данная функция имеет структуру функции ТП, и аппроксимативные результаты в противном случае.

Преобразование модели ТП недавно было расширено для получения различных типов выпуклых функций ТП и манипулирования ими. Эта особенность привела к появлению новых подходов к оптимизации в анализе и проектировании систем qLPV, как описано в разделе « Преобразование модели TP в теории управления» .

Определения

Функция конечного элемента TP

Данная функция $f({\mathbf {x} })$, где $\mathbf {x} \in R^{N}$, является функцией TP, если она имеет структуру:

$f(\mathbf {x} )=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\sum _{i_{2}=1}^{I_{2}}\ldots \sum _{i_{N}=1}^{I_{N}}\prod _{n=1}^{N}w_{n,i_{n}}(x_{n})s_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}},$

то есть, используя компактную тензорную запись (используя тензорного произведения операцию $\otimes$ из ):

$f(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\mathop {\otimes } _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),$

где основной тензор ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ построен из $s_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$и вектор-строка $\mathbf {w} _{n}(x_{n}),(n=1\ldots N)$ содержит непрерывные одномерные весовые функции $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$. Функция $w_{n,i_{n}}(x_{n})$ это $i_{n}$-я весовая функция, определенная на $n$-е измерение, и $x_{n}$ это $n$-элемент вектора $\mathbf {x}$. Конечный элемент означает, что $I_{n}$ ограничен для всех $n$. Для приложений моделирования и управления qLPV более высокая структура функций TP называется моделью TP.

Модель TP на основе конечных элементов (сокращенно модель TP)

Это более высокая структура функции TP:

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}).$

Здесь ${\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}({\mathbf {x} })$ является тензором как ${\mathcal {Y}}\in {\mathcal {R}}^{L_{1}\times L_{2}\times \ldots L_{O}}$, таким образом, размер основного тензора равен ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}\times L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}}$. Оператор продукта $\boxtimes$ имеет ту же роль, что и $\otimes$, но выражает тот факт, что тензорное произведение применяется к $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ тензорные элементы основного тензора по размеру ${\mathcal {S}}$. Вектор $\mathbf {x}$ является элементом замкнутого гиперкуба $\Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{N},b_{N}]\subset R^{N}$.

Конечно-элементная выпуклая функция или модель TP

Функция или модель TP является выпуклой, если весовые функции выполняются:

$\forall n:\sum _{i_{n}=1}^{I_{n}}w_{n,i_{n}}(x_{n})=1$ и $w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].$

Это означает, что $f(\mathbf {x} )$ находится внутри выпуклой оболочки, определяемой основным тензором для всех $\mathbf {x} \in \Omega$.

Трансформация модели ТП

Предположим, что данная модель TP ${\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$, где $\mathbf {x} \in \Omega \subset R^{N}$, структура ТП которого может быть неизвестна (например, задается нейронными сетями). Преобразование модели ТП определяет ее структуру ТП как

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})$,

а именно он генерирует основной тензор ${\mathcal {S}}$ и весовые функции $\mathbf {w} _{n}(x_{n})$ для всех $n=1\ldots N$. Его бесплатную реализацию MATLAB можно загрузить по адресу [3] или MATLAB Central [4] .

Если данное ${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ не имеет структуры ТП (т.е. не принадлежит классу моделей ТП), то преобразование модели ТП определяет ее аппроксимацию:

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )\approx {\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),$

где компромисс предлагается преобразованием модели TP между сложностью (количеством компонентов в основном тензоре или количеством весовых функций) и точностью аппроксимации. Модель TP может быть создана с учетом различных ограничений. Типичными моделями TP, созданными в результате преобразования модели TP, являются:

• Каноническая форма HOSVD функций TP или модель TP (модели qLPV),
• Различные виды политопных форм типа TP или выпуклых форм моделей TP (это преимущество используется при анализе и проектировании системы qLPV).

Свойства преобразования модели ТП

• Это неэвристический и понятный численный метод, впервые предложенный в теории управления.
• Он преобразует данную функцию в структуру TP из конечных элементов. Если такой структуры не существует, то преобразование дает аппроксимацию при ограничении количества элементов.
• Он может выполняться единообразно (независимо от того, задана ли модель в форме аналитических уравнений, полученных из физических соображений или в результате методов идентификации на основе мягких вычислений (таких как нейронные сети или методы на основе нечеткой логики), или в результате идентификация «черного ящика») без аналитического взаимодействия в течение разумного периода времени. Таким образом, преобразование заменяет аналитические и во многих случаях сложные и неочевидные преобразования в числовые, понятные и простые операции.
• Он генерирует каноническую форму функций TP на основе HOSVD, что является уникальным представлением. Это доказал Зейдль. что преобразование модели TP численно восстанавливает HOSVD функций. Эта форма извлекает уникальную структуру данной функции TP в том же смысле, что и HOSVD для тензоров и матриц, таким образом, что:

• количество весовых функций минимизировано для каждого измерения (отсюда и размер основного тензора);
• весовые функции представляют собой функции одной переменной вектора параметров в ортонормированной системе для каждого параметра (сингулярные функции);
• субтензоры основного тензора также находятся в ортогональных положениях;
• основной тензор и весовые функции упорядочены в соответствии с сингулярными значениями высшего порядка вектора параметров;
• он имеет уникальную форму (за исключением некоторых особых случаев, например, когда имеются равные сингулярные значения);
• вводит и определяет ранг функции ТП по размерностям вектора параметров;

• Вышеупомянутый пункт можно распространить на модели TP (модели qLPV для определения канонической формы модели qLPV на основе HOSVD для упорядочения основного компонента модели qLPV). Поскольку основной тензор $N+O$ размерные, но весовые функции определяются только для размерностей $n=1\ldots N$, а именно стержневой тензор строится из $O$ размерные элементы, поэтому результирующая форма ТП не является уникальной.
• Основной этап преобразования модели TP был расширен для создания различных типов выпуклых функций TP или моделей TP (политопических моделей qLPV типа TP), чтобы сосредоточиться на систематической (численной и автоматической) модификации выпуклой оболочки вместо разработки новых. Уравнения LMI для возможного проектирования контроллера (это широко распространенный подход). Стоит отметить, что как преобразование модели TP, так и методы проектирования управления на основе LMI являются численно выполняемыми один за другим, и это делает возможным решение широкого класса проблем простым и понятным численным способом.
• Преобразование модели TP позволяет найти компромисс между сложностью и точностью функций TP. путем отбрасывания сингулярных значений более высокого порядка, точно так же, как тензор HOSVD используется для уменьшения сложности.

Ссылки

Бараньи, П. (2018). Расширение преобразования модели Multi-TP на функции с различным числом переменных. Сложность, 2018.

Внешние ссылки

• TPtoolBoxMATLAB