Трансформация модели ТП в теории управления

Бараньи и Ям предложили трансформацию модели ТП. как новая концепция управления на основе квази-LPV (qLPV), которая играет центральную роль в весьма желательном соединении между теориями идентификации и теориями политопных систем. Он также используется в качестве преобразования нечеткой модели TS (Такаги-Сугено). Он уникально эффективен при манипулировании выпуклой оболочкой ( политопных форм или нечетких моделей TS) и, следовательно, выявил и доказал тот факт, что манипулирование выпуклой оболочкой является необходимым и решающим шагом в достижении оптимальных решений и уменьшении консервативности. в современной теории управления, основанной на линейном матричном неравенстве . Таким образом, хотя в математическом смысле это преобразование, оно установило концептуально новое направление в теории управления и заложило основу для дальнейших новых подходов к оптимальности.

Подробнее см.: Трансформация модели ТП .

TP-tool Набор инструментов MATLAB

Бесплатную в MATLAB реализацию преобразования модели TP можно загрузить по адресу [1] или старая версия набора инструментов доступна в MATLAB Central [2] . Будьте осторожны: в наборе инструментов MATLAB размеры основного тензора присваиваются противоположным образом, в отличие от обозначений, используемых в соответствующей литературе. В некоторых вариантах ToolBox первые два измерения основного тензора назначаются системам вершин. В литературе по моделям ТП последние два. Простой пример приведен ниже.

clear
M1=20; 		% Grid density
M2=20;
omega1=[-1,1]; 		%Interval 
omega2=[-1,1];
domain=[omega1; omega2];

for m1=1:M1
    for m2=1:M2
        p1=omega1(1)+(omega1(2)-omega1(1))/M1*(m1-1); 	%sampling grid
        p2=omega2(1)+(omega2(2)-omega2(1))/M2*(m2-1);
        SD(m1,m2,1,:)=[1 0];				% SD is the discretized system matrix
        SD(m1,m2,2,:)=[(-1-0.67*p1*p1) (1.726*p2*p2)];
    end
    end

[S,U, sv]=hosvd(SD,[1,1,0,0],1e-12);		% Finding the TP structure
UA{1}=U{1};					% This is the HOSVD based canonical form
UA{2}=U{2};
ns1 = input('Results of SNNN TS fuzzy model');
UC=genhull(UA,'snnn'); 				% snnn weightinf functions
UCP{1}=pinv(UC{1});
UCP{2}=pinv(UC{2});
SC=tprods(SD,UCP);  				%This is to find  the core tensor 
H(:,:)=SC(1,1,:,:)                              %This is to show the vertices of the TP model
H(:,:)=SC(1,2,:,:)
H(:,:)=SC(2,1,:,:)
H(:,:)=SC(2,2,:,:)
figure(1) 
hold all 
plothull(U{1}, omega1)                          %Draw the waiting functions of p1
title('Weighting functions for p_{1}');
xlabel('p_{1}')
ylabel('Weighting functions')

grid on
box on

figure(2) 
hold all 
plothull(UC{2}, omega2)                         %Show the waiting functions of p2
title('Weighting functions for p_{2}');
xlabel('p_{2}')
ylabel('Weighting functions')

grid on
box on

ns2 = input('Results of CNO TS fuzzy model');
UC=genhull(UA,'cno');                          %Create CNO type waiting functions 
UCP{1}=pinv(UC{1});
UCP{2}=pinv(UC{2});
SC=tprods(SD,UCP);                             %Find the cortensor
H(:,:)=SC(1,1,:,:)                             %Show the vertices of the TP model
H(:,:)=SC(1,2,:,:)
H(:,:)=SC(2,1,:,:)
H(:,:)=SC(2,2,:,:)
figure(1) 
hold all 
plothull(U{1}, omega1)                         %Show the waiting functions of p1
title('Weighting functions for p_{1}');
xlabel('p_{1}')
ylabel('Weighting functions')

grid on
box on
figure(2) 
hold all 
plothull(UC{2}, omega2)                        %Show the waiting functions of p2
title('Weighting functions for p_{2}');
xlabel('p_{2}')
ylabel('Weighting functions')

	Once you have the feedback vertexes derived to each vertexes of the TP model then you may want to calculate the controller over the same polytope (see PDC design by Tanaka)
W = queryw1(UC,domain,p);  % computing the weighting values over the parameter vector
F = tprods(K,W);		% calculating the parameter dependent feedback F(p)
F = shiftdim(F)
U=-F*x				% calculate the control value.

Ключевые функции для анализа и проектирования систем управления

• Преобразование модели TP преобразует данную модель qLPV в политопическую форму (тип тензорного произведения), независимо от того, задана ли модель в форме аналитических уравнений, вытекающих из физических соображений, или как результат методов идентификации на основе мягких вычислений (таких как нейронных сетей или методов, основанных на нечеткой логике , или в результате идентификации «черного ящика» ).
• Кроме того, преобразование модели TP способно манипулировать выпуклой оболочкой, определяемой многотопической формой, что является необходимым шагом в многотопном анализе управления на основе модели qLPV и теориях проектирования.

Связанные определения

Модель в пространстве состояний с линейным изменением параметров (LPV)

${\begin{pmatrix}{\mathbf {\dot {x}} }(t)\\{\mathbf {y} }(t)\end{pmatrix}}={\mathbf {S} }({\mathbf {p} }(t)){\begin{pmatrix}{\mathbf {x} }(t)\\{\mathbf {u} }(t)\end{pmatrix}},$

с вводом ${\mathbf {u} }(t)$, выход ${\mathbf {y} }(t)$ и государство вектор ${\mathbf {x} }(t)$. Системная матрица ${\mathbf {S} }({\mathbf {p} }(t))\in \mathbb {R} ^{L_{1}\times L_{2}}$ представляет собой объект с изменяющимися параметрами, где ${\mathbf {p} }(t)\in \Omega$ это время, меняющееся $N$-мерный вектор параметров, который является элементом закрытый гиперкуб $\Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{N},b_{N}]\subset \mathbb {R} ^{N}$. На самом деле, дополнительные каналы, зависящие от параметров, могут быть вставлены в ${\mathbf {S} }({\mathbf {p} }(t))$ которые представляют собой различные требования к эффективности управления.

квазилинейная модель с изменяющимися параметрами (qLPV) в пространстве состояний

${\mathbf {p} }(t)$ в приведенной выше модели LPV также могут быть включены некоторые элементы вектора состояния ${\mathbf {x} }(t)$, и, следовательно, эта модель относится к классу нелинейных систем и называется также моделью квази-ЛПВ (qLPV).

Политопная модель линейного изменения параметров (LPV) типа TP

${\begin{pmatrix}{\mathbf {\dot {x}} }(t)\\{\mathbf {y} }(t)\end{pmatrix}}={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t)){\begin{pmatrix}{\mathbf {x} }(t)\\{\mathbf {u} }(t)\end{pmatrix}},$

с вводом ${\mathbf {u} }(t)$, выход ${\mathbf {y} }(t)$ и государство вектор ${\mathbf {x} }(t)$. Системная матрица ${\mathbf {S} }({\mathbf {p} }(t))={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} (p_{n}(t))\in \mathbb {R} ^{L_{1}\times L_{2}}$ представляет собой объект с изменяющимися параметрами, где ${\mathbf {p} }(t)\in \Omega$ это время, меняющееся $N$-мерный вектор параметров, который является элементом закрытый гиперкуб $\Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{N},b_{N}]\subset \mathbb {R} ^{N}$, а весовые функции $w_{n,i_{n}}(p_{n}(t))\in [0,1]$ являются элементами вектора $\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t))$. Основной тензор содержит элементы $\mathbf {S} _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}}$ которые являются вершинами системы. На самом деле, дополнительные каналы, зависящие от параметров, могут быть вставлены в ${\mathbf {S} }({\mathbf {p} }(t))$ которые представляют собой различные требования к эффективности управления. Здесь

$\forall n:\sum _{i_{n}=1}^{I_{n}}w_{n,i_{n}}(p_{n}(t))=1.$ и $w_{n,i_{n}}(p_{n}(t))\in [0,1].$

Это означает, что $\mathbf {S} ({\mathbf {p} }(t))$ находится внутри вершин $\mathbf {S} _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}}$ системы (внутри выпуклой оболочки, определяемой вершинами) для всех $\mathbf {p} (t)\in \Omega$. Заметим, что политопную модель типа ТП всегда можно представить в виде

$\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))=\sum _{r=1}^{R}\mathbf {S} _{r}w_{r}(\mathbf {p} (t)),$

где вершины такие же, как в многотемной форме типа TP, а весовые функции с несколькими переменными представляют собой произведение весовых функций с одной переменной в соответствии с многотемной формой типа TP, а r - эквивалент линейного индекса многолинейной индексации. $i_{1},i_{2},\ldots i_{N}$.

Преобразование модели TP для моделей qLPV

Предположим, что задана модель qLPV. $\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))$, где $\mathbf {p} (t)\in \Omega \subset R^{N}$, политопная структура ТП которого может быть неизвестна (например, задается нейронными сетями). Преобразование модели ТП определяет ее политопическую структуру ТП как

$\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t))$,

а именно он генерирует основной тензор ${\mathcal {S}}$ и весовые функции $\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t))$ для всех $n=1\ldots N$. Его бесплатную реализацию MATLAB можно загрузить по адресу [3] или MATLAB Central [4] .

Если данная модель не имеет (конечно-элементной) политопной структуры ТП, то преобразование модели ТП определяет ее аппроксимацию:

$\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))\approx {\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t)),$

где компромисс предлагается преобразованием модели TP между сложностью (количеством вершин, хранящихся в основном тензоре, или количеством весовых функций) и точностью аппроксимации. Модель TP может быть создана с учетом различных ограничений. Типичными моделями TP, созданными в результате преобразования модели TP, являются:

• Каноническая форма HOSVD моделей qLPV,
• Различные виды политопной формы типа TP (эта особенность очень важна при оптимизации производительности управления).

Проект управления на основе модели TP

Ключевая методология

Поскольку политопная модель типа TP является подмножеством представлений многотемной модели, методологии анализа и проектирования, разработанные для многотемных представлений, применимы и для политопных моделей типа TP. Один из типичных способов — поиск нелинейного регулятора в форме:

$u=-\mathbf {F} (\mathbf {p} (t))\mathbf {x} (t)=-\sum _{r=1}^{R}F_{r}w_{r}(\mathbf {p} (t))\mathbf {x} (t),$

где вершины $\mathbf {F} _{r}$ контроллера рассчитывается из $\mathbf {S} _{r}$. Обычно вершины $\mathbf {S} _{r}$ подставляются в линейные матричные неравенства, чтобы определить $\mathbf {F} _{r}$.

В политопной форме типа ТП контроллером является:

$u=-\mathbf {F} (\mathbf {p} (t))\mathbf {x} (t)=-{\mathcal {F}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t))\mathbf {x} (t),$

где вершины $\mathbf {F} _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}}$ хранится в ядре тензора ${\mathcal {F}}$ определяются по вершинам $\mathbf {S} _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}}$ хранится в ${\mathcal {S}}$. Обратите внимание, что политопный наблюдатель или другие компоненты могут быть созданы аналогичным образом, например, эти вершины также генерируются из ${\mathcal {S}}$.

Оптимизация на основе манипуляций с выпуклой оболочкой

Политопное представление данной модели qLPV не является инвариантным. т.е. данное $\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))$ имеет $Z=\infty$ количество различных представлений как:

$\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))={\mathcal {S}}_{z}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{z,n}(p_{n}(t)),$

где $z=1\ldots Z$. Чтобы сгенерировать оптимальное управление данной моделью $\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))$ мы применяем, например, LMI. Таким образом, если мы применим выбранные LMI к вышеуказанной многотемной модели, мы получим:

$u_{z}=-\mathbf {F} _{z}(\mathbf {p} (t))\mathbf {x} (t)=-{\mathcal {F}}_{z}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{z,n}(p_{n}(t))\mathbf {x} (t).$

Поскольку LMI реализуют нелинейное отображение между вершинами в ${\mathcal {S}}$ и ${\mathcal {F}}$ мы можем найти очень разные контроллеры для каждого $z=1\ldots Z$. Это означает, что у нас есть $Z$ разное количество «оптимальных» контроллеров в одной системе $\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))$. Таким образом, возникает вопрос: какой из «оптимальных» регуляторов действительно является оптимальным. Преобразование модели TP позволило нам систематически манипулировать весовыми функциями, что эквивалентно манипулированию вершинами. Геометрический смысл этой манипуляции заключается в манипулировании выпуклой оболочкой, определяемой вершинами. Мы можем легко продемонстрировать следующие факты:

• Усиление выпуклой оболочки обычно снижает консервативность решения и может привести к улучшению характеристик управления. Например, если у нас есть многотопическое представление

$\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t)),$

данной модели $\mathbf {S} (\mathbf {p} (t))$, то мы можем сгенерировать контроллер как

$u=-{\mathcal {F}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(p_{n}(t))\mathbf {x} (t),$

затем мы решили задачу управления всеми системами $k=1\ldots K=\infty$ которые могут быть заданы одними и теми же вершинами, но с разными весовыми функциями, например:

$\mathbf {S} _{k}(\mathbf {p} (t))={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{k,n}(p_{n}(t)),$

где

$u_{k}=-{\mathcal {F}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{k,n}(p_{n}(t))\mathbf {x} (t).$

Если одна из этих систем трудно управляема (или даже неуправляема), то мы приходим к очень консервативному решению (или к неосуществимому LMI). Поэтому мы ожидаем, что при затягивании выпуклой оболочки мы исключим такие проблемные системы.

• Также можно легко продемонстрировать, что конструкция наблюдателя обычно требует большого выпуклого корпуса. Итак, как и при проектировании контроллера и наблюдателя, нам нужно найти оптимальную выпуклую оболочку между узкой и большой. В тех же статьях также показано, что использование разных выпуклых оболочек (если применим принцип разделения) для наблюдателя и контроллера может привести к еще лучшему решению.

Свойства преобразования модели ТП в теориях qLPV

• Он может выполняться единообразно (независимо от того, задана ли модель в форме аналитических уравнений) в результате физических соображений или в результате методов идентификации на основе мягких вычислений (таких как нейронные сети или методы на основе нечеткой логики, или в результате идентификации «черного ящика») без аналитического взаимодействия в течение разумного периода времени. Таким образом, преобразование заменяет аналитические и во многих случаях сложные и неочевидные преобразования числовыми, понятными и простыми операциями, которые можно выполнять рутинным образом.
• Он генерирует каноническую форму моделей qLPV на основе HOSVD, которая является уникальным представлением. Эта форма извлекает уникальную структуру данной модели qLPV в том же смысле, что и HOSVD для тензоров и матриц, таким образом, что:

• количество компонентов LTI сведено к минимуму;
• весовые функции представляют собой функции одной переменной вектора параметров в ортонормированной системе для каждого параметра (сингулярные функции);
• компоненты LTI (компоненты вершин) также находятся в ортогональных положениях;
• системы LTI и весовые функции упорядочены в соответствии с сингулярными значениями высшего порядка вектора параметров;
• имеет уникальную форму (за исключением некоторых особых случаев);
• вводит и определяет ранг модели qLPV по размерам вектора параметров;

• Основной этап преобразования модели TP был расширен для создания различных типов выпуклых политопных моделей, чтобы сосредоточиться на систематической (численной и автоматической) модификации выпуклой оболочки вместо разработки новых уравнений LMI для осуществимого проектирования контроллера (это широко распространенный подход). Стоит отметить, что как преобразование модели TP, так и методы проектирования управления на основе LMI являются численно выполняемыми один за другим, и это делает возможным решение широкого класса проблем простым и понятным численным способом.
• На основе сингулярных значений высшего порядка (которые выражают ранговые свойства данной модели qLPV, см. выше, для каждого элемента вектора параметров в $L_{2}$ норма), преобразование модели ТП предлагает компромисс между сложностью модели ТП (многотопическая форма), следовательно, конструкция LMI и точность полученной модели TP.
• Преобразование модели TP выполняется до использования конструкции LMI. Это означает, что когда мы начинаем проектирование LMI, у нас уже есть глобальные весовые функции, и во время управления нам не нужно определять локальное взвешивание систем LTI для усиления обратной связи, чтобы вычислить значение управления в каждой точке гиперпространства, по которому должна идти система. через. Наличие предопределенных функций непрерывного взвешивания также гарантирует отсутствие проблем при взвешивании во время управления.