Коэффициент Зенера

Коэффициент Зинера — безразмерное число, которое используется для количественной оценки анизотропии кубических кристаллов . Его иногда называют коэффициентом анизотропии и называют в честь Кларенса Зинера . Концептуально он определяет, насколько материал далек от изотропности (где значение 1 означает изотропный материал).

Его математическое определение

$a_{r}={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}},$

где $C_{ij}$ относится к упругим константам в нотации Фойгта .

Кубические материалы

Кубические материалы — это специальные ортотропные материалы, инвариантные относительно поворота на 90° относительно главных осей, т. е. материал одинаков вдоль своих главных осей. Благодаря этим дополнительным симметриям тензор жесткости может быть записан всего с тремя различными свойствами материала, такими как

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .$

Обратная матрица обычно записывается как

${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .$

где ${E}\,$ – модуль Юнга , $G\,$ – модуль сдвига , а $\nu \,$ это коэффициент Пуассона . Следовательно, мы можем думать о соотношении как о соотношении модуля сдвига кубического материала и его (изотропного) эквивалента:

$a_{r}={\frac {G}{E/[2(1+\nu )]}}={\frac {2(1+\nu )G}{E}}\equiv {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}.$

Универсальный индекс упругой анизотропии

Коэффициент Зинера применим только к кубическим кристаллам. Чтобы преодолеть это ограничение, был разработан «Универсальный индекс упругой анизотропии (AU)». была сформулирована на основе вариационных принципов упругости и тензорной алгебры. АС теперь используется для количественной оценки анизотропии упругих кристаллов всех классов.

Индекс тензорной анизотропии

Индекс тензорной анизотропии A ^Т расширяет коэффициент Зинера для полностью анизотропных материалов и преодолевает ограничение AU, разработанное для материалов, обладающих внутренней симметрией упругих кристаллов, что не всегда наблюдается в многокомпонентных композитах. Он учитывает все 21 коэффициент полностью анизотропного тензора жесткости и учитывает различия в направлениях между группами тензоров жесткости.

Он состоит из двух основных частей $A^{I}$и $A^{A}$, первый относится к компонентам, существующим в кубическом тензоре, а второй - в анизотропном тензоре, так что $A^{T}=A^{I}+A^{A}.$ Этот первый компонент включает модифицированный коэффициент Зинера и дополнительно учитывает различия в направлениях материала, которые существуют, например, в ортотропном материале. Вторая составляющая этого индекса $A^{A}$ покрывает влияние коэффициентов жесткости, которые отличны от нуля только для некубических материалов и остаются равными нулю в противном случае.

$A^{I}=A^{I,z}+A^{I,cov}={\frac {2(C_{44}+C_{55}+C_{66})}{(C_{11}+C_{22}+C_{33})-(C_{12}+C_{13}+C_{23})}}+\sum _{i=1}^{3}{\alpha (C_{Gi})},$

где $\alpha (C_{Gi})$ – коэффициент вариации для каждой группы жесткости, учитывающий направленные различия жесткости материала, т.е. $C_{G1}=[C_{11},C_{22},C_{33}],C_{G2}=[C_{44},C_{55},C_{66}],C_{G3}=[C_{12},C_{23},C_{13}].$В кубических материалах каждая компонента жесткости в группах 1-3 имеет одинаковую величину, поэтому это выражение сводится непосредственно к коэффициенту Зинера для кубических материалов.

Вторая составляющая этого индекса $A^{A}$ не равно нулю для сложных материалов или композитов с незначительной симметрией или отсутствием симметрии во внутренней структуре. В таких случаях остальные коэффициенты жесткости, объединенные в три группы, не равны нулю. $C_{G4}=[C_{34},C_{45},C_{56}],C_{G5}=[C_{14},C_{25},C_{36}],C_{G6}=[C_{24},C_{35},C_{46},C_{15},C_{26},C_{16}].$

См. также

• Анизотропия
• Ортотропный материал
• Линейная эластичность