Константа кручения

Основные величины, участвующие в кручении стержня: $\theta$ – угол поворота; Т – приложенный крутящий момент; L – длина балки.

Постоянная кручения или коэффициент кручения — это геометрическое свойство поперечного сечения стержня. Он участвует в взаимосвязи между углом поворота и приложенным крутящим моментом вдоль оси стержня для однородного линейного упругого стержня. стержня на кручение Постоянная кручения вместе со свойствами материала и длиной описывает жесткость . Единицей системе СИ крутильной константы в является м. ⁴ .

История

См. Также: Торсионный баланс.

В 1820 году французский инженер А. Дюло аналитически вывел, что постоянная кручения балки идентична второму моменту площади, нормали к сечению J _zz , имеющему точное аналитическое уравнение, предположив, что плоское сечение до скручивания остается плоским после скручивания, а диаметр остается прямым.К сожалению, это предположение верно только для балок круглого сечения и неверно для любой другой формы, где имеет место коробление.

Для некруглых сечений точных аналитических уравнений для нахождения постоянной кручения не существует. Однако для многих форм найдены приближенные решения.Некруглые поперечные сечения всегда имеют деформацию коробления, что требует численных методов для точного расчета постоянной кручения.

Крутильная жесткость балок некруглого сечения существенно увеличивается, если коробление концевых сечений сдерживается, например, жесткими концевыми блоками.

Формулировка

Для балки однородного сечения по длине: угол поворота (в радианах) $\theta$ является:

$\theta ={\frac {TL}{GJ}}$

где:

T — приложенный крутящий момент

L — длина балки

G — модуль жесткости (модуль сдвига) материала.

J - постоянная кручения

Инвертируя предыдущее соотношение, мы можем определить две величины; крутильная жесткость ,

$GJ={\frac {TL}{\theta }}$ в единицах СИ Н⋅м ² /рад

И крутильная жесткость ,

${\frac {GJ}{L}}={\frac {T}{\theta }}$ в единицах СИ Н⋅м/рад

Примеры

Особым случаем являются стержни с заданной однородной формой поперечного сечения.

Круг

$J_{zz}=J_{xx}+J_{yy}={\frac {\pi r^{4}}{4}}+{\frac {\pi r^{4}}{4}}={\frac {\pi r^{4}}{2}}$

где

r - радиус

Это идентично второму моменту области J _zz и является точным.

альтернативно напишите: $J={\frac {\pi D^{4}}{32}}$где

D - диаметр

Эллипс

$J\approx {\frac {\pi a^{3}b^{3}}{a^{2}+b^{2}}}$

где

а - большой радиус

b - малый радиус

Квадрат

$J\approx \,2.25a^{4}$

где

а — половина длины стороны.

Прямоугольник

$J\approx \beta ab^{3}$

где

а - длина длинной стороны

b — длина короткой стороны

$\beta$ находится из следующей таблицы:

а/б	$\beta$
1.0	0.141
1.5	0.196
2.0	0.229
2.5	0.249
3.0	0.263
4.0	0.281
5.0	0.291
6.0	0.299
10.0	0.312
$\infty$	0.333

Альтернативно можно использовать следующее уравнение с погрешностью не более 4 %:

$J\approx {\frac {ab^{3}}{16}}\left({\frac {16}{3}}-{3.36}{\frac {b}{a}}\left(1-{\frac {b^{4}}{12a^{4}}}\right)\right)$

где

а - длина длинной стороны

b — длина короткой стороны

Тонкостенная открытая трубка одинаковой толщины.

$J={\frac {1}{3}}Ut^{3}$

t - толщина стенки

U — длина срединной границы (периметр срединного сечения).

Круглая тонкостенная открытая трубка одинаковой толщины.

Это трубка с продольно прорезанной в стенке щелью. Используя формулу выше:

$U=2\pi r$

$J={\frac {2}{3}}\pi rt^{3}$

t - толщина стенки

r - средний радиус

Внешние ссылки

• Калькулятор постоянной кручения