Поперечная изотропия

Поперечная изотропия наблюдается в осадочных породах на длинных волнах. Каждый слой имеет примерно одинаковые свойства в плоскости, но разные свойства по толщине. Плоскость каждого слоя является плоскостью изотропии, а вертикальная ось — осью симметрии.

Трансверсально -изотропный материал — это материал, физические свойства которого симметричны относительно оси, перпендикулярной плоскости изотропии . Эта поперечная плоскость имеет бесконечное количество плоскостей симметрии, и поэтому внутри этой плоскости свойства материала одинаковы во всех направлениях. Следовательно, такие материалы также известны как «полярные анизотропные» материалы. В геофизике вертикально-поперечная изотропия (VTI) также известна как радиальная анизотропия.

Этот тип материала обладает гексагональной симметрией (хотя технически это перестает быть справедливым для тензоров ранга 6 и выше), поэтому количество независимых констант в тензоре упругости (четвертого ранга) сокращается до 5 (из 21 независимого). константы в случае полностью анизотропного твердого тела ). Тензоры (второго ранга) электросопротивления, проницаемости и т. д. имеют две независимые константы.

Пример трансверсально-изотропных материалов

Трансверсально-изотропный эластичный материал.

Примером трансверсально-изотропного материала является так называемая композитная пластина с однонаправленными волокнами на оси, где волокна имеют круглое поперечное сечение. В однонаправленном композите плоскость, нормальную к направлению волокна, можно рассматривать как изотропную плоскость при длинных волнах (низких частотах) возбуждения. На рисунке справа волокна будут выровнены по $x_{2}$ ось, нормальная к плоскости изотропии.

С точки зрения эффективных свойств геологические слои горных пород часто интерпретируются как трансверсально-изотропные. Для расчета эффективных упругих свойств таких слоев в петрологии был придуман апскейлинг Бэкуса , который описан ниже.

Матрица симметрии материала

Матрица материала ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ имеет симметрию относительно данного ортогонального преобразования ( ${\boldsymbol {A}}$), если он не изменится при таком преобразовании. Для инвариантности свойств материала при таком преобразовании потребуем

${\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}$

Следовательно, условие материальной симметрии (используя определение ортогонального преобразования)

${\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}$

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах с помощью $3\times 3$ матрица ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ данный

${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.$

Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как

${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$

Для трансверсально-изотропного материала матрица ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ имеет форму

${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.$

где $x_{3}$-ось — ось симметрии . Матрица материала остается инвариантной при повороте на любой угол. $\theta$ о $x_{3}$-ось.

По физике

Линейные материальные определяющие соотношения в физике можно выразить в виде

$\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}$

где $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ два вектора, представляющие физические величины и ${\boldsymbol {K}}$ — материальный тензор второго порядка. В матричной форме

${\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}$

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже.

Проблема	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
Электрическая проводимость	Электрический ток $\mathbf {J}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электропроводность ${\boldsymbol {\sigma }}$
Диэлектрики	Электрическое смещение $\mathbf {D}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электрическая проницаемость ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
Магнетизм	Магнитная индукция $\mathbf {B}$	Магнитное поле $\mathbf {H}$	Магнитная проницаемость ${\boldsymbol {\mu }}$
Теплопроводность	Тепловой поток $\mathbf {q}$	Градиент температуры $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	Теплопроводность ${\boldsymbol {\kappa }}$
Диффузия	частиц Поток $\mathbf {J}$	Градиент концентрации $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	диффузионная способность ${\boldsymbol {D}}$
Течение в пористой среде	Взвешенная скорость жидкости $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	Градиент давления ${\boldsymbol {\nabla }}P$	Проницаемость жидкости ${\boldsymbol {\kappa }}$
Эластичность	Стресс ${\boldsymbol {\sigma }}$	Напряжение ${\boldsymbol {\varepsilon }}$	Жесткость $\mathbf {C}$

С использованием $\theta =\pi$ в ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ матрица подразумевает, что $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$. С использованием $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ приводит к $K_{11}=K_{22}$ и $K_{12}=-K_{21}$. Энергетические ограничения обычно требуют $K_{12},K_{21}\geq 0$ и, следовательно, мы должны иметь $K_{12}=K_{21}=0$. Следовательно, свойства материала трансверсально-изотропного материала описываются матрицей

${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$

В линейной эластичности

Условие симметрии материала

В линейной упругости напряжение деформация и т.е. связаны законом Гука ,

${\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$

или, используя обозначение Фойгта ,

${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$

Условие симметрии материала в линейно упругих материалах таково.

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

где

${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}$

Тензор упругости

Дополнительная информация: Тензор упругости.

Используя конкретные значения $\theta$ в матрице ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$, можно показать, что тензор упругой жесткости четвертого ранга может быть записан в 2-индексной записи Фойгта как матрица

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$

Матрица упругости-жесткости $C_{ij}$ имеет 5 независимых констант, которые связаны с известными инженерными модулями упругости следующим образом. Эти инженерные модули определяются экспериментально.

Матрица податливости (обратная матрице упругой жесткости) имеет вид

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}$

где $\Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]$. В инженерных обозначениях

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}$

Сравнение этих двух форм матрицы податливости показывает нам, что продольный модуль Юнга определяется выражением

$E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})$

Аналогично, поперечный модуль Юнга равен

$E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})$

в плоскости сдвига Модуль

$G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}$

а коэффициент Пуассона для нагрузки вдоль полярной оси равен

$\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})$.

Здесь L представляет продольное (полярное) направление, а T представляет поперечное направление.

В геофизике

В геофизике распространено предположение, что горные образования земной коры локально полярно-анизотропны (трансверсально-изотропны); это простейший случай, представляющий геофизический интерес. Апскейлинг Бэкуса часто используется для определения эффективных поперечно-изотропных упругих постоянных слоистых сред для длинноволновых сейсмических волн.

В приближении Бэкуса сделаны следующие предположения:

• Все материалы линейно эластичны.
• Отсутствие источников собственной диссипации энергии (например, трения)
• Действительно в пределе бесконечной длины волны, поэтому хорошие результаты только в том случае, если толщина слоя намного меньше длины волны.
• Статистика распределения упругих свойств слоя стационарна, т.е. коррелированного тренда этих свойств нет.

Для более коротких волн поведение сейсмических волн описывается с помощью суперпозиции плоских волн . Трансверсально-изотропные среды поддерживают три типа упругих плоских волн:

• квази- P-волна ( направление поляризации почти равно направлению распространения)
• квази- S-волна
• S-волна (поляризованная, ортогональная квазиS-волне, оси симметрии и направлению распространения).

Решения проблем распространения волн в таких средах могут быть построены на основе этих плоских волн с использованием синтеза Фурье .

Масштабирование по Бэкусу (длинноволновое приближение)

Слоистая модель однородного и изотропного материала может быть масштабирована до поперечно-изотропной среды, предложенной Бэкусом.

Бэкус представил эквивалентную теорию среды, согласно которой гетерогенная среда может быть заменена однородной, что предсказывает распространение волн в реальной среде. Бэкус показал, что наложение слоев в масштабе, намного меньшем, чем длина волны, оказывает влияние и что ряд изотропных слоев может быть заменен однородной трансверсально-изотропной средой, которая ведет себя точно так же, как реальная среда под статической нагрузкой в ​​​​пределе бесконечной длины волны. .

Если каждый слой $i$ описывается 5 трансверсально-изотропными параметрами $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$, задав матрицу

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}$

Модули упругости эффективной среды будут

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}$

где

${\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}$

$\langle \cdot \rangle$ обозначает средневзвешенное значение объема по всем слоям.

Сюда входят изотропные слои, поскольку слой является изотропным, если $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$, $a_{i}=c_{i}$ и $d_{i}=e_{i}$.

Приближение коротких и средних волн

Решения задач распространения волн в линейных упругих трансверсально-изотропных средах можно построить путем суперпозиции решений для квазиP-волны, квазиS-волны и поперечной волны, поляризованной ортогонально квазиS-волне.Однако уравнения углового изменения скорости алгебраически сложны, а скорости плоских волн являются функциями угла распространения $\theta$ являются. Зависящие от направления скорости волн упругих в материале могут быть найдены с помощью уравнения Кристоффеля и определяются выражением

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}$

где ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ – угол между осью симметрии и направлением распространения волны, $\rho$ - это массовая плотность и $C_{ij}$ являются элементами упругой матрицы жесткости . Параметры Томсена используются для упрощения этих выражений и облегчения их понимания.

Параметры Томсена

Параметры Томсена представляют собой безразмерные комбинации модулей упругости , характеризующие трансверсально-изотропные материалы, встречающиеся, например, в геофизике . В терминах компонентов матрицы упругой жесткости эти параметры определяются как:

${\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}$

где индекс 3 обозначает ось симметрии ( $\mathbf {e} _{3}$) . Эти параметры, в сочетании с соответствующими скоростями продольных и поперечных волн , можно использовать для характеристики распространения волн через слабоанизотропные слоистые среды. Эмпирически параметры Томсена для большинства слоистых горных пород значительно ниже 1.

Название отсылает к Леону Томсену, профессору геофизики Хьюстонского университета , который предложил эти параметры в своей статье 1986 года «Слабая упругая анизотропия».

Упрощенные выражения для скоростей волн

В геофизике анизотропия упругих свойств обычно слабая, и в этом случае $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$. Когда точные выражения для скоростей волн, приведенные выше, линеаризуются в этих малых величинах, они упрощаются до

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}$

где

$V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}$

– скорости продольных и поперечных волн в направлении оси симметрии ( $\mathbf {e} _{3}$) (в геофизике это обычно, но не всегда, вертикальное направление). Обратите внимание, что $\delta$ может быть дополнительно линеаризован, но это не приводит к дальнейшему упрощению.

Приближенные выражения для скоростей волн достаточно просты, чтобы их можно было физически интерпретировать, и достаточно точны для большинства геофизических приложений. Эти выражения также полезны в некоторых контекстах, где анизотропия не является слабой.

См. также

• Закон Гука
• Линейная эластичность
• Ортотропный материал