Гипоэластичный материал

В механике сплошных сред — гипоупругий материал. ^[1] представляет собой упругий материал, который имеет конститутивную модель, независимую от мер конечной деформации , за исключением линеаризованного случая. Модели гипоупругого материала отличаются от моделей гиперупругого материала (или стандартных моделей упругости) тем, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть получены из функции плотности энергии деформации .

Обзор

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием определяющего уравнения, удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[2]

Стресс Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ во время $t$ зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве частного случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций.
Существует тензорная функция $G$ такой, что ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ в котором ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ - материальная скорость тензора напряжений Коши, а ${\boldsymbol {L}}$ – тензор градиента пространственной скорости .

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побудит некоторых разработчиков моделей добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоэластичная модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводимая из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, из этого следует, что гипоэластичный материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одинаковой внутренней энергией.

Заметим, что второй критерий требует лишь того, чтобы функция $G$ существует . Как поясняется ниже, в конкретных формулировках гипоэластичных моделей обычно используется так называемая объективная скорость напряжения , так что $G$ функция существует только неявно.

Модели гипоупругих материалов часто принимают форму ${\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}$ где ${\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}$ – объективная скорость напряжения Кирхгофа ( ${\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}$ ), ${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$ – тензор скорости деформации , ${\mathsf {M}}$ – это так называемый тензор упругой касательной жесткости, который изменяется в зависимости от самого напряжения и рассматривается как тензор свойств материала. В случае гиперупругости касательная жесткость обычно также должна зависеть от градиента деформации , чтобы правильно учитывать искажение и вращение направлений волокон анизотропного материала. ^[3]

Гипоэластичность и объективные уровни напряжения

Во многих практических задачах механики твердого тела достаточно охарактеризовать деформацию материала тензором малых (или линеаризованных) деформаций $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})$ где $u_{i}$ – компоненты смещений точек континуума, индексы относятся к декартовым координатам $x_{i}$ $(i=1,2,3)$ , а индексы, которым предшествует запятая, обозначают частные производные (например, $u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}$ ). Но существует также множество задач, в которых необходимо учитывать конечность деформации. Они бывают двух видов:

большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией, $W({\boldsymbol {F}})$ (представленный, например, резиной), в котором компоненты тензора напряжений получаются как частные производные $W$ по отношению к компонентам тензора конечных деформаций; и
неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется постепенно.

формулировка полной деформации, описанная в статье по теории конечных деформаций В первом случае подходит . В последнем случае необходима инкрементная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться на каждом шаге нагрузки или временном шаге компьютерной программы конечных элементов с использованием обновленной лагранжевой процедуры. Отсутствие потенциала ставит сложные вопросы из-за свободы выбора конечной меры деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага (или приращения) нагружения можно использовать тензор скорости деформации (или деформации скорости) $d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})$ или увеличить $\Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t$ представляющее линеаризованное приращение деформации от исходного (напряженного и деформированного) состояния на этапе. Здесь верхняя точка представляет материальную производную времени ( $\partial /\partial t$ следуя за данной материальной частицей), $\Delta$ обозначает небольшой прирост за шаг, $t$ = время и $v_{i}={\dot {u}}_{i}$ = скорость материальной точки или скорость перемещения.

Однако было бы необъективно использовать производную по времени от напряжения Коши (или истинного) $\sigma _{ij}$ . Это напряжение, которое описывает силы, действующие на небольшой элемент материала, который, как предполагается, вырезается из деформированного в данный момент материала, не является объективным, поскольку оно меняется в зависимости от вращения твердого тела материала. Материальные точки должны характеризоваться своими начальными координатами. $X_{i}$ (называемый лагранжианом), поскольку в элементе, который вырезается (в одном и том же месте) до и после дополнительной деформации, содержатся разные частицы материала.

Следовательно, необходимо ввести так называемую объективную скорость напряжения. ${\hat {\sigma }}_{ij}$ или соответствующее приращение $\Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t$ . Объективность необходима для ${\hat {\sigma }}_{ij}$ функционально связано с деформацией элемента. Это значит, что ${\hat {\sigma }}_{ij}$ должны быть инвариантны относительно преобразований координат (в частности, вращений) и должны характеризовать состояние одного и того же материального элемента при его деформации.

См. также

Примечания

^ Трусделл (1963).
^ Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 3-540-02779-3 .
^ Брэннон, РМ (1998). «Предупреждения относительно мер сопряженных напряжений и деформаций для безразличной к каркасу анизотропной упругости». Акта Механика . Том. 129. стр. 107–116.

Библиография

Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Исследовательский журнал Национального бюро стандартов, раздел B , 67B (3): 141–143.

[1] Трусделл (1963).

[2] Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 3-540-02779-3 .

[3] Брэннон, РМ (1998). «Предупреждения относительно мер сопряженных напряжений и деформаций для безразличной к каркасу анизотропной упругости». Акта Механика . Том. 129. стр. 107–116.

[1]

[2]

[3]