Ползучесть и усадка бетона

Ползучесть и усадка бетона — это два физических свойства бетона . Ползучесть ( бетона, обусловленная гидратами силиката кальция CSH) в затвердевшем портландцементном тесте (являющемся связующим веществом минеральных заполнителей), принципиально отличается от ползучести металлов и полимеров. В отличие от ползучести металлов она возникает при всех уровнях напряжений и в пределах эксплуатационных напряжений линейно зависит от напряжения, если содержание поровой воды постоянно. В отличие от ползучести полимеров и металлов, для него характерно многомесячное старение, вызванное химическим упрочнением вследствие гидратации , придающей жесткость микроструктуре , и многолетнее старение, вызванное длительной релаксацией самоуравновешенных микронапряжений в наноструктуре. пористая микроструктура CSH. Если бетон полностью высох, он не расползается, но полностью высушить бетон без образования серьезных трещин практически невозможно.

Рис. 1

Изменения содержания поровой воды в результате процессов высыхания или смачивания вызывают значительные изменения объема бетона в образцах без нагрузки. Их называют усадкой (обычно вызывающей деформации от 0,0002 до 0,0005, а в низкопрочных бетонах даже 0,0012) или набуханием (< 0,00005 в обычных бетонах, < 0,00020 в высокопрочных бетонах). Чтобы отделить усадку от ползучести, функция податливости $J(t,t')$, определяемый как вызванная напряжением деформация $\epsilon$ (т. е. общая деформация минус усадка), вызванная в момент времени единичным постоянным одноосным напряжением. $\sigma =1$ применяется в возрасте $t'$, измеряется как разница деформаций между нагруженным и свободным от нагрузки образцами.

Многолетняя ползучесть развивается логарифмически во времени (без конечного асимптотического значения) и в течение типичного времени жизни конструкции может достигать значений, в 3–6 раз превышающих начальную упругую деформацию. Когда деформация возникает внезапно и сохраняется постоянной, ползучесть вызывает релаксацию критически создаваемого упругого напряжения. После разгрузки происходит восстановление ползучести, но оно частичное из-за старения.

На практике ползучесть при сушке неотделима от усадки. Скорость ползучести увеличивается со скоростью изменения влажности пор (т.е. относительного давления пара в порах). При малой толщине образца ползучесть при сушке значительно превышает сумму усадки при сушке без нагрузки и ползучести нагруженного герметичного образца (рис. 1 внизу). Разница, называемая ползучестью при высыхании или эффектом Пикетта (или усадкой, вызванной напряжением), представляет собой гигромеханическую связь между деформацией и изменениями влажности пор.

Усадка при высыхании при высокой влажности (рис. 1 вверху и в центре) вызвана главным образом сжимающими напряжениями в твердой микроструктуре, которые уравновешивают увеличение капиллярного натяжения и поверхностного натяжения на стенках пор. При низкой влажности пор (<75%) усадка вызывается уменьшением расклинивающего давления в нанопорах толщиной менее 3 нм, заполненных адсорбированной водой.

Химические процессы гидратации портландцемента приводят к другому типу усадки — аутогенной усадке, которая наблюдается в герметичных образцах, т. е. без потери влаги. Частично это вызвано химическими изменениями объема, но главным образом самовысыханием из-за потери воды, потребляемой в реакции гидратации. Она составляет всего около 5% от усадки при высыхании обычного бетона, который самовысыхает до влажности пор около 97%. Но она может равняться усадке при высыхании современных высокопрочных бетонов с очень низким водоцементным соотношением, которые могут самовысыхать при влажности до 75%.

Ползучесть возникает из-за гидратов силиката кальция (CSH) затвердевшего портландцементного теста. Это вызвано проскальзыванием из-за разрывов связей с восстановлением связей на соседних участках. CSH сильно гидрофильен и имеет коллоидную микроструктуру, разупорядоченную на расстоянии нескольких нанометров. Паста имеет пористость от 0,4 до 0,55 и огромную удельную поверхность , примерно 500 м². ² /см ³ . гидрат трикальцийсиликата Его основным компонентом является гель- (3 CaO · 2 SiO ₃ · 3 H ₂ O, сокращенно C ₃ S ₂ H ₃ ). Гель образует частицы коллоидных размеров, слабо связанные силами Ван-дер-Ваальса .

Физический механизм и моделирование все еще обсуждаются. Модель основного материала в приведенных ниже уравнениях не является единственной доступной моделью, но в настоящее время имеет самую прочную теоретическую основу и лучше всего соответствует всему спектру доступных данных испытаний.

Соотношение напряжение-деформация в постоянной среде.

В процессе эксплуатации напряжения в конструкциях составляют < 50 % прочности бетона, и в этом случае зависимость напряжения от деформации является линейной, за исключением поправок из-за микротрещин при изменении влажности пор. Таким образом, ползучесть можно охарактеризовать функцией податливости $J(t,t')$ (рис. 2). Как $t'$ увеличивается, значение ползучести для фиксированного $t-t'$ уменьшается. Это явление, называемое старением, приводит к тому, что $J$ зависит не только от временного лага $t-t'$ но на обоих $t$ и $t'$ отдельно. При переменном напряжении $\sigma (t)$, каждое приращение напряжения ${\mbox{d}}\sigma (t')$ применяется во время $t'$ производит историю штаммов ${\mbox{d}}\epsilon (t)=J(t,t'){\mbox{d}}\sigma (t')$. Линейность подразумевает принцип суперпозиции (введенный Больцманом и для случая старения Вольтеррой). Это приводит к (одноосной) зависимости напряжения от деформации линейной вязкоупругости при старении :

$\epsilon (t)=\int _{t_{1}}^{t}J(t,t^{\prime }){\mbox{d}}\sigma (t^{\prime })+\epsilon ^{0}(t)$ ( 1 )

Здесь $\epsilon ^{0}$ обозначает усадочную деформацию $\epsilon _{sh}$ увеличивается за счет теплового расширения , если таковое имеется. Интеграл — это интеграл Стилтьеса , который допускает истории $\sigma (t)$ с прыжками; для интервалов времени без скачков можно задать ${\mbox{d}}\sigma (t')=[{\mbox{d}}\sigma (t')/{\mbox{d}}t']{\mbox{d}}t'$ для получения стандартного интеграла (Римана). Когда история $\epsilon (t)$ задано, то уравнение (1) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра для $\sigma (t)$. Это уравнение не является аналитически интегрируемым для реалистических форм $J(t,t')$, хотя численное интегрирование легко. Решение $\sigma (t)$ для напряжения $\epsilon =1$ назначаются в любом возрасте ${\hat {t}}$ (и для $\epsilon ^{0}=0$) называется функцией релаксации $R(t,{\hat {t}})$.

Чтобы обобщить уравнение (1) к трехосному соотношению «напряжение-деформация» можно предположить, что материал изотропен с примерно постоянным коэффициентом Пуассона ползучести , $\nu \approx 0.18$. Это дает объемные и девиаторные соотношения напряжение-деформация, аналогичные уравнению. (1) в котором $J(t,t')$ заменяется функциями податливости объема и сдвига:

$J_{K}(t,t^{\prime })=3(1-2\nu )J(t,t^{\prime }),~~~J_{G}(t,t^{\prime })=2(1+\nu )J(t,t^{\prime })$ ( 2 )

Рис. 2

При высоком напряжении закон ползучести оказывается нелинейным (рис. 2), но уравнение (уравнение) Уравнение (1) остается применимым, если в него включить неупругую деформацию вследствие растрескивания с ее ростом во времени. $\epsilon ^{0}(t)$. Необходимо добавить вязкопластический штамм. $\epsilon ^{0}(t)$ только в том случае, если все главные напряжения сжимающие и наименьшее по величине значительно больше, чем предел прочности на одноосное сжатие. $f_{c}'$.

В измерениях модуль упругости Юнга $E$ зависит не только от конкретного возраста $t'$ но и от продолжительности испытаний, поскольку кривая соответствия $J(t,t')$ в зависимости от продолжительности нагрузки $t-t'$ имеет значительный наклон для всех длительностей, начиная с 0,001 с или менее. Следовательно, традиционный модуль упругости Юнга должен быть получен как $E(t')=1/J(t'+\delta ,t')$, где $\delta$ — продолжительность теста. Ценности $\delta \approx 0.01$ день и $t'=28$ дней дают хорошее согласие со стандартным тестом $E$, в том числе рост $E$ как функция $t'$, и с широко используемой эмпирической оценкой $E=57,000{\mbox{psi}}$ ${\sqrt {f'_{c}/{\mbox{psi}}}}$ $(1{\mbox{psi}}=6895{\mbox{Pa}},f_{c}'={\mbox{uniaxial compressive strength of concrete}})$. Экстраполяция нулевого времени $q_{1}=J(t',t')=\lim _{\delta \to 0}J(t'+\delta ,t')$ происходит примерно независимо от возраста, что делает $q_{1}$ удобный параметр для определения $J(t,t')$.

Для ползучести при постоянном общем содержании воды, называемой базовой ползучестью, из теории затвердевания была получена реалистичная скоростная форма функции одноосной податливости (толстые кривые на рис. 1 внизу):

${\dot {J}}(t,t')=v^{-1}(t)\ {\dot {C}}_{g}(\theta )+1/\eta _{f},~~~v^{-1}(t)=q_{2}\left(\lambda _{0}/t\right)^{m}+q_{3}$ ( 3 )

${\dot {C}}_{g}(\theta )={\frac {n\theta ^{n-1}}{\lambda _{0}^{n}+\theta ^{n}}},~~~\theta =t-t',~~~1/\eta _{f}=q_{4}/t$ ( 4 )

где ${\dot {x}}=\partial x/\partial t$; $\eta _{f}$ = вязкость течения, которая доминирует над многодесятилетней ползучестью; $\theta$ = продолжительность нагрузки; $\lambda _{0}$ = 1 день, $m=0.5$, $n=0.1$; $v(t){\rm {MPa^{-1}}}$ = объем геля в единице объема бетона, возрастающий за счет гидратации; и $q_{2},q_{3},q_{4}$ = эмпирические константы (размерности ${\rm {MPa^{-1}}}$). Функция $C_{g}(\theta )$ придает независимую от возраста замедленную эластичность цементного геля (затвердевшая цементная паста без капиллярных пор) и, за счет интеграции, $C_{g}(\theta )={\mbox{ln}}[1+(\theta /\lambda _{0})^{n}]$. Интеграция ${\dot {J}}(t,t')$ дает $J(t,t')$ как неинтегрируемый биномиальный интеграл, и поэтому, если значения $J(t,t')$ их необходимо получить численным интегрированием или аппроксимационной формулой (хорошая формула существует). Однако для компьютерного структурного анализа по времени $J(t,t')$ не нужен; только ставка ${\dot {J}}(t,t')$ необходим в качестве входных данных.

Уравнения (3) и (4) представляют собой простейшие формулы, удовлетворяющие трем требованиям: 1) Асимптотически как для малых, так и для больших времен $\theta$, ${\dot {J}}(t,t')$, должна быть степенной функцией времени; и 2) то же самое должно происходить со скоростью старения, определяемой формулой ${\rm {{\mbox{d}}v^{-1}(t)/{\mbox{d}}t}}$) (степенные функции указаны условиями самоподобия); и 3) $\partial ^{2}J(t,t')/\partial t\partial t'>0$ (это условие необходимо для того, чтобы принцип суперпозиции не давал немонотонных кривых восстановления после разгрузки, которые физически нежелательны).

Ползучесть в изменяющейся среде

При переменной массе $w$ испаряющейся (т.е. химически несвязанной) воды на единицу объема бетона, физически реалистичное определяющее соотношение может быть основано на идее микропреднапряжения $S$, считается безразмерной мерой пиков напряжений в местах ползучести микроструктуры. Микропреднапряжение возникает как реакция на химические изменения объема и на изменения расклинивающего давления, действующего на затруднённо-адсорбированные слои воды в нанопорах (толщина которых в среднем < 1 нм и максимум до десяти молекул воды, или 2,7 нм). , по толщине), заключенный между листами CSH. Расклинивающие давления развиваются в первую очередь из-за неодинакового изменения объема продуктов гидратации. В дальнейшем они релаксируют за счет ползучести в КСГ, чтобы поддерживать термодинамическое равновесие (т. е. равенство химических потенциалов воды) с водяным паром в капиллярных порах, и накапливаются за счет любых изменений температуры или влажности в этих порах. Можно предположить, что скорость разрыва связей является квадратичной функцией уровня микропредварительного напряжения, что требует уравнения. (4) следует обобщить как

$1/\eta _{f}=q_{4}S$ ( 5 )

Важнейшим свойством является то, что приложенная нагрузка не оказывает существенного влияния на микропреднапряжение (поскольку поровая вода гораздо более сжимаема, чем твердый скелет, и ведет себя как мягкая пружина, соединенная параллельно с жестким каркасом). Микронапряжение со временем релаксирует, и его эволюцию в каждой точке бетонной конструкции можно решить из дифференциального уравнения

${\dot {S}}+c_{0}S^{2}=c_{1}\left|{\dot {T}}\ln h+T{\dot {h}}/h\right|$ ( 6 )

где $c_{0},c_{1}$ = положительные константы (абсолютное значение гарантирует, что $S$ никогда не может стать отрицательным). Микропрестресс может моделировать тот факт, что высыхание и охлаждение, а также смачивание и нагрев ускоряют ползучесть. Тот факт, что изменения $w$ или $h$ создавать новые пики микронапряжений и, таким образом, активировать новые участки ползучести, что объясняет эффект ползучести при высыхании. Частично этот эффект вызван тем фактом, что микротрещины в сопутствующем образце, не нагруженном нагрузкой, делают его общую усадку меньшей, чем усадка в образце без трещин (сжатом), тем самым увеличивая разницу между ними (что и определяет слизняк).

Концепция микропреднапряжения также необходима для объяснения повышения жесткости из-за старения. Одной из физических причин старения является то, что продукты гидратации постепенно заполняют поры затвердевшего цементного теста, что отражается на его функциях. $v(t)$ в уравнении (3). Но гидратация прекращается примерно через год, но влияние возраста при загрузке $t'$ остается сильным даже по прошествии многих лет. Объяснение состоит в том, что пики микронапряжений с возрастом ослабевают, что уменьшает количество участков ползучести и, следовательно, скорость разрыва связей.

В изменяющейся среде время $t$ в уравнении (3) должно быть заменено эквивалентным временем гидратации $t_{e}=\int \beta _{h}\beta _{T}{\mbox{d}}t$ где $\beta _{h}$ = убывающая функция $h$ (0, если $h<$ около 0,8) и $\beta _{h}\propto {\mbox{e}}^{-Q_{h}T/R}$ $(Q_{h}/R\approx {\mbox{2700 K}})$. В уравнении (4), $\theta =t-t'$ должен быть заменен на $t_{r}-t'_{r}$ где $t_{r}=\int \psi _{h}\psi _{T}{\mbox{d}}t$ = сокращение времени (или срока погашения), отражающее эффект $h$ и $T$ по ползучей вязкости; $\psi _{h}$ = функция $h$ уменьшается с 1 на $h=1$ до 0 в $h=0$; $\psi _{T}\propto {\mbox{e}}^{-Q_{v}T/R}$, $Q_{v}/R\approx$ 5000 К.

Эволюция профилей влажности $h(\mathbf {x} ,t)$ ( $\mathbf {x}$ = вектор координат) можно приближенно рассматривать как несвязанный с задачей напряжений и деформаций и решать численно из уравнения диффузии ${\rm {{\dot {h}}=}}$ div[ $C(h)$выпускник $h]+{\dot {h}}_{s}(t_{e})$} где $h_{s}(t_{e})$ = самовысыхание, вызванное гидратацией (которое достигает около 0,97 в обычных бетонах и около 0,80 в высокопрочных бетонах), $C(h)$ = коэффициент диффузии, который уменьшается примерно в 20 раз по мере $h$ падает с 1,0 до 0,6. Скорость свободной (неограниченной) усадочной деформации примерно равна

${\dot {\epsilon }}_{sh}=k_{sh}{\dot {h}}$ ( 7 )

где $k_{sh}$ = коэффициент усадки. Поскольку ${\dot {\epsilon }}_{sh}$-значения в различных точках несовместимы, расчет общей усадки конструкций, а также испытуемых образцов представляет собой задачу анализа напряжений, при которой необходимо учитывать ползучесть и растрескивание.

Для структурного анализа методом конечных элементов с шагом по времени выгодно преобразовать материальный закон в форму скоростного типа. Этого можно добиться аппроксимацией $C_{g}(\theta )$ с моделью цепи Кельвина (или связанной с ней функцией релаксации с моделью цепи Максвелла). Интегралы истории, такие как уравнение. 1 затем исчезает из конститутивного закона , причем история характеризуется текущими значениями внутренних переменных состояния (частичными деформациями или напряжениями цепей Кельвина или Максвелла).

Преобразование к скоростной форме необходимо также для введения эффекта переменной температуры, которая влияет (согласно закону Аррениуса ) как на вязкости цепи Кельвина, так и на скорость гидратации, что отражается формулой $t_{e}$. Первый ускоряет ползучесть при повышении температуры, а второй замедляет ползучесть. Трехмерное тензорное обобщение уравнений. (3)-(7) необходимы для конечно-элементного анализа конструкций.

Приблизительная реакция поперечного сечения при высыхании

Хотя многомерные расчеты методом конечных элементов ползучести и влажностиВ настоящее время диффузия возможна, на практике все еще преобладает упрощенный одномерный анализ бетонных балок или балок, основанный на предположении, что плоские сечения остаются плоскими. Хотя (в коробчатых мостах) это связано с погрешностями прогиба порядка 30%. В этом подходе в качестве входных данных требуется средняя функция поперечного соответствия. ${\bar {J}}(t,t',t_{0})$ (рис. 1 внизу, светлые кривые) и функция средней усадки ${\bar {\epsilon }}_{sh}(t,t_{0})$ поперечного сечения (рис. 1 слева и посередине) ( $t_{0}$ = возраст начала сушки). По сравнению с точечным определяющим уравнением алгебраические выражения для таких средних характеристик значительно сложнее и их точность ниже, особенно если сечение не находится под центрическим сжатием. Следующие приближения были получены, а их коэффициенты оптимизированы путем подбора большой лабораторной базы данных по влажности окружающей среды. $h_{e}$ ниже 98%:

${\bar {\epsilon }}_{sh}(t,t_{0})=-\epsilon _{sh\infty }\ k_{h}\ S(t),~~~k_{h}=1-{h_{e}}^{3}~~~~~$ ( 8 )

$S(t)={\mbox{tanh}}{\sqrt {\frac {t-t_{0}}{\tau _{sh}}}},~~~\tau _{sh}=k_{t}(k_{s}D)^{2}~~~~~$ ( 9 )

где $D=2v/s$ = эффективная толщина, $v/s$ = соотношение объема к поверхности, $k_{t}$ = 1 для нормального (тип I) цемента; $k_{s}$ = коэффициент формы (например, 1,0 для плиты, 1,15 для цилиндра); и $\epsilon _{sh\infty }\approx \epsilon _{s\infty }E(607)/(E(t_{0}+\tau _{sh})$, $\epsilon _{s\infty }$ = константа; $E(t)\approx E(28){\sqrt {4+0.85t}}$ (все время указано в днях). уравнения (3) и (4) применяются, за исключением того, что $1/\eta _{f}$ должен быть заменен на

${\frac {1}{{\bar {\eta }}_{f}}}={\frac {q_{4}}{t}}+q_{5}{\frac {\partial }{\partial t}}{\sqrt {F(t)-F(t'_{0})}}$ ( 10 )

где $F(t)=\exp\{-8[1-(1-h_{e})S(t)]\}$ и $t'_{0}=\max(t',t_{0})$. Форма выражения для полупериода усадки $\tau _{sh}$ основан на теории диффузии. Функция «тан» в уравнении. 8 — простейшая функция, удовлетворяющая двум асимптотическим условиям, вытекающим из теории диффузии: 1) на малых временах ${\bar {\epsilon }}_{sh}\propto {\sqrt {t-t_{0}}}$и 2) к окончательной усадке необходимо приближаться экспоненциально. Существуют также обобщения относительно температурного эффекта.

Разработаны эмпирические формулы для прогнозирования значений параметров в приведенных выше уравнениях на основе прочности бетона и некоторых параметров бетонной смеси. Однако они очень грубы, что приводит к ошибкам прогнозирования с коэффициентами вариации около 23% для ползучести и 34% для усадки при высыхании. Эти высокие неопределенности могут быть значительно уменьшены путем обновления определенных коэффициентов формул в соответствии с кратковременными испытаниями на ползучесть и усадку данного бетона. Однако для усадки необходимо также измерить потерю веса образцов для испытаний при высыхании (в противном случае возникает проблема обновления $\epsilon _{sh\infty }$ плохо кондиционирован). Полностью рациональное предсказание свойств ползучести и усадки бетона по его составу является огромной проблемой, далекой от удовлетворительного решения.

Инженерные приложения

Предыдущий вид функций $J(t,t')$ и $\epsilon _{sh}(t)$ был использован при проектировании конструкций с высокой чувствительностью к ползучести. Другие формы были введены в нормы проектирования и стандартные рекомендации инженерных обществ. Они проще, но менее реалистичны, особенно для многодесятилетней ползучести.

Ползучесть и усадка могут привести к значительной потере предварительного напряжения. Недооценка многодесятилетней ползучести привела к чрезмерным прогибам, часто с растрескиванием, во многих крупнопролетных предварительно напряженных мостах с коробчатыми балками, возведенных по сегментам (задокументировано более 60 случаев). Ползучесть может вызвать чрезмерное напряжение и растрескивание вантовых или арочных мостов , а также каркасов крыш. Неравномерность ползучести и усадки, вызванная различиями в истории влажности и температуры пор, возраста и типа бетона в различных частях конструкции, может привести к растрескиванию. То же самое касается и взаимодействия с каменной кладкой или стальными деталями, например, в вантовых мостах и ​​композитных сталебетонных балках. Различия в укорочении колонн вызывают особую озабоченность в очень высоких зданиях. В тонких конструкциях ползучесть может привести к обрушению из-за длительной нестабильности.

Эффекты ползучести особенно важны для предварительно напряженных бетонных конструкций (из-за их гибкости и высокой гибкости) и имеют первостепенное значение при анализе безопасности защитных оболочек и корпусов ядерных реакторов. При воздействии высоких температур, например, при пожаре или постулируемых авариях на ядерных реакторах , ползучесть очень велика и играет важную роль.

При предварительном проектировании конструкций в упрощенных расчетах удобно использовать безразмерный коэффициент ползучести. $\varphi (t,t')=E(t')J(t,t')-1$ = $\epsilon _{\mbox{creep}}/\epsilon _{\mbox{initial}}$. Изменение состояния конструкции со временем $t_{1}$ начальной загрузки ко времени $t$ можно просто, хотя и грубо, оценить с помощью квазиупругого анализа, в котором модуль Юнга $E$ заменяется так называемым скорректированным по возрасту эффективным модулем $E''(t,t_{1})=[E(t_{1})-R(t,t_{1})]/\varphi (t,t_{1})$.

Лучший подход к компьютерному анализу ползучести чувствительных конструкций — преобразовать закон ползучести в зависимость возрастающего упругого напряжения от деформации с собственной деформацией . уравнение Уравнение (1) можно использовать, но в такой форме нельзя учитывать изменения влажности и температуры во времени, а необходимость хранить всю историю напряжений для каждого конечного элемента является обременительной. Лучше преобразовать уравнение. (1) к системе дифференциальных уравнений, основанной на реологической модели цепи Кельвина. С этой целью свойства ползучести на каждом достаточно малом временном шаге можно рассматривать как нестарение, и в этом случае непрерывный спектр модулей замедления цепи Кельвина можно получить из $J(t,t')$ по явной формуле Виддера для приближенного обращения преобразования Лапласа . Модули $E_{k}(t)$ ( $k=1,2,...n_{E}$) единиц Кельвина затем следует дискретизация этого спектра. Они различны для каждой точки интегрирования каждого конечного элемента на каждом временном шаге. Таким образом, задача анализа ползучести преобразуется в серию расчетов упругих конструкций, каждый из которых может быть запущен в коммерческой программе конечных элементов. Пример см. в последней ссылке ниже.

См. также

• Деформация (инженерия)

Ссылки

• Багери А., Джамали А., Пурмир М. и Занганех Х. (2019). «Влияние времени отверждения на ограниченное усадочное растрескивание бетона с добавкой, уменьшающей усадку», «Достижения в области строительных материалов», 8, вып. 1: 596-610. https://doi.org/10.1520/ACEM20190100
• Комитет 209 ACI (1972). «Прогнозирование ползучести, усадки и температурных эффектов в бетонных конструкциях» ACI-SP27, Проектирование с учетом эффектов ползучести, усадки и температуры }, Детройт, стр. 51–93 (перепроверено в 2008 г.)
• Комитет ACI 209 (2008). Руководство по моделированию и расчету усадки и ползучести затвердевшего бетона, отчет ACI 209.2R-08, Фармингтон-Хиллз.
• Брукс, Джей-Джей (2005). «30-летняя ползучесть и усадка бетона». Журнал конкретных исследований , 57 (9), 545–556. Париж, Франция.
• Модельный кодекс CEB-FIP 1990 года. Типовой кодекс для бетонных конструкций. Thomas Telford Services Ltd., Лондон, Великобритания; также опубликовано Европейским международным комитетом по бетону (CEB), Информационные бюллетени № 213 и 214, Лозанна, Швейцария.
• Модельный кодекс FIB 2011. «Международная федерация бетона ( FIB ). Лозанна.
• Харбо, Э.М. и др. (1958). «Сравнение мгновенного и длительного модулей упругости бетона», Конкр. Лаб. Номер представителя C-354, Отдел инженерных лабораторий, Министерство внутренних дел США, Бюро мелиорации, Денвер, Колорадо.
• Йирасек М. и Бажант З.П. (2001). Неупругий анализ конструкций , Дж. Уайли, Лондон (главы 27, 28).
• РИЛЕМ (1988а). Комитет TC 69, главы 2 и 3 по математическому моделированию ползучести и усадки бетона , З. П. Бажант, изд., Дж. Уайли, Чичестер и Нью-Йорк, 1988, 57–215.
• Трокселл, Дж. Э., Рафаэль, Дж. Э. и Дэвис, Р. В. (1958). «Длительные испытания на ползучесть и усадку обычного и железобетона» Учеб. ASTM 58 } стр. 1101–1120.
• Витек, Дж.Л. (1997). «Длительные прогибы больших мостов из предварительно напряженного бетона». Информационный бюллетень CEB № 235 – Модели эксплуатационной надежности – Поведение и моделирование в предельных состояниях работоспособности, включая повторяющуюся и длительную нагрузку, CEB, Лозанна, стр. 215–227 и 245–265.
• Виттманн, Ф.Х. (1982). «Механизмы ползучести и усадки». Ползучесть и усадка бетонных конструкций , З. П. Бажант и Ф. Х. Виттманн, ред., Дж. Уайли, Лондон 129–161.
• Бажант З.П. и Ю. К. (2012). «Чрезмерные длительные прогибы предварительно напряженных коробчатых балок». ASCE J. Строительного проектирования , 138 (6), 676–686, 687–696.