Пластичность горного массива

жила с будинатом Кварцевая (с деформированной каймой), демонстрирующая левого ощущение сдвига , Старлайт-Пит, Золотой рудник Фортнум, Западная Австралия.

Теория пластичности горных пород занимается реакцией горных пород на нагрузки, выходящие за пределы упругости . Исторически сложилось так, что общепринятое мнение гласит, что горные породы хрупкие и разрушаются при разрушении, тогда как пластичность отождествляется с пластичными материалами. В горных массивах полевого масштаба в породе существуют структурные нарушения, указывающие на то, что произошло разрушение. Поскольку горная порода не распалась, вопреки ожиданиям хрупкого поведения, теория упругости явно не является последним словом.

Теоретически понятие пластичности горных пород основано на пластичности почвы, отличной от пластичности металлов. В пластичности металлов, например стали, размер дислокации — субзеренный размер, а в почве — относительное перемещение микроскопических зерен. Теория пластичности почв была разработана в 1960-х годах в Университете Райса для объяснения неупругих эффектов, не наблюдаемых в металлах. Типичное поведение, наблюдаемое в горных породах, включает размягчение деформации , идеальную пластичность и деформационное упрочнение .

Применение теории континуума возможно в трещиноватых горных породах, поскольку непрерывность тяги в трещинах даже при смещениях может быть прерывистой. Отличие агрегата со швами от сплошного твердого тела состоит в типе конститутивного закона и значениях конститутивных параметров.

Экспериментальные доказательства

Эксперименты обычно проводятся с целью охарактеризовать механическое поведение горных пород с точки зрения их прочности . Прочность является пределом упругого поведения и определяет области, в которых применима теория пластичности. Лабораторные испытания для характеристики пластичности горных пород делятся на четыре перекрывающихся категории: испытания на всестороннее давление , поровое давление или испытания на эффективное напряжение, испытания, зависящие от температуры, и испытания, зависящие от скорости деформации . Пластическое поведение горных пород наблюдалось с использованием всех этих методов с начала 1900-х годов.

Эксперименты с Будинажем показывают, что локализованная пластичность наблюдается в некоторых образцах горных пород, которые не выдержали сдвига. Другие примеры пластичности камней можно увидеть в работах Читэма и Гнирка. Испытания на сжатие и растяжение показывают образование шейки в образцах горной породы, а испытания с использованием клинового проникновения показывают образование кромок. Испытания, проведенные Робертсоном демонстрируют пластичность, возникающую при высоких давлениях. Аналогичные результаты наблюдаются в экспериментальной работе Хандина и Хагера. Патерсон, и Моги. Из этих результатов следует, что переход от упругого к пластическому поведению может также указывать на переход от размягчения к упрочнению. Дополнительные доказательства представлены Робинсоном. и Шварц. Замечено, что чем выше ограничивающее давление, тем выше наблюдаемая пластичность. Однако деформация разрыва остается примерно такой же и составляет около 1.

Влияние температуры на пластичность горных пород исследовалось несколькими группами исследователей. Замечено, что пиковое напряжение уменьшается с температурой. Испытания на растяжение (с ограничивающим давлением, превышающим сжимающее напряжение) показывают, что промежуточное главное напряжение, а также скорость деформации влияют на прочность. Эксперименты Серденгети и Бузера по влиянию скорости деформации показывают, что увеличение скорости деформации делает горную породу более прочной, но также делает ее более хрупкой. Таким образом, динамическая нагрузка может фактически привести к существенному увеличению прочности горной породы. Повышение температуры, по-видимому, приводит к увеличению скоростного эффекта пластического поведения горных пород.

После этих ранних исследований пластического поведения горных пород по этому вопросу было проведено значительное количество исследований, в первую очередь в нефтяной промышленности. Из накопленных данных становится ясно, что при определенных условиях горные породы действительно проявляют замечательную пластичность, и применение теории пластичности к горным породам уместно.

Основные уравнения

Уравнения, управляющие деформацией сочлененных горных пород , такие же, как те, которые используются для описания движения сплошной среды :

${\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}$

где $\rho (\mathbf {x} ,t)$ это массовая плотность , ${\dot {\rho }}$ является по времени материальной производной $\rho$, $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)={\dot {\mathbf {u} }}(\mathbf {x} ,t)$ частицы скорость , $\mathbf {u}$ частицы - смещение , ${\dot {\mathbf {v} }}$ является материальной производной по времени $\mathbf {v}$, ${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)$ – тензор напряжений Коши , $\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)$ плотность массовой силы , $e(\mathbf {x} ,t)$ - внутренняя энергия единицы массы, ${\dot {e}}$ является материальной производной по времени $e$, $\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)$ – вектор теплового потока , $s(\mathbf {x} ,t)$ — источник энергии на единицу массы, $\mathbf {x}$ – положение точки в деформированной конфигурации, t – время.

Помимо уравнений баланса, начальные условия , граничные условия и определяющие модели задачи необходимы для корректной постановки . Для тел с внутренними неоднородностями, таких как трещиноватая горная порода, баланс импульса удобнее выражать в интегральной форме, называемой также принципом виртуальной работы :

$\int _{\Omega }[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\mathbf {w} }-\rho \,\mathbf {b} \cdot \mathbf {w} +\rho \,{\dot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {w} ]\,{\text{dV}}=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \mathbf {w} \,{\text{dS}}$

где $\Omega$ представляет объем тела и $\partial \Omega$ - его поверхность (включая любые внутренние разрывы), $\mathbf {w}$ является допустимым изменением , которое удовлетворяет граничным условиям смещения (или скорости), теорема о дивергенции использовалась для исключения производных тензора напряжений, и $\mathbf {t}$ на поверхностное сцепление поверхностях $\partial \Omega$. Условия скачка через стационарные разрывы внутренних напряжений требуют, чтобы силы тяги на этих поверхностях были непрерывными, т. е.

$\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{+}+\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{-1}=\mathbf {0} \qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {n} \cdot [[{\boldsymbol {\sigma }}]]=\mathbf {0}$

где ${\boldsymbol {\sigma }}^{+},{\boldsymbol {\sigma }}^{-}$ напряжения в субтелах $\Omega ^{+},\Omega ^{-}$, и $\mathbf {n}$ – нормаль к поверхности разрыва.

Учредительные отношения

Кривая растяжения-деформации, показывающая типичное пластическое поведение горных пород при одноосном сжатии. Деформацию можно разложить на восстанавливаемую упругую деформацию ( $\varepsilon _{e}$) и неупругая деформация ( $\varepsilon _{p}$). Напряжение при начальной текучести составляет $\sigma _{0}$. Для деформационно упрочненных пород (как показано на рисунке) предел текучести увеличивается с увеличением пластической деформации до значения $\sigma _{y}$.

Для небольших деформаций кинематической величиной, которая используется для описания механики горных пород, является тензор малых деформаций. ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]\,.$Если пренебречь температурными эффектами, то для описания малых деформационных деформаций горных пород обычно используют четыре типа определяющих соотношений. Эти отношения охватывают упругое , пластическое , вязкоупругое и вязкопластическое поведение и имеют следующие формы:

1. Эластичный материал : $\,\,{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {H}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\,$ или $\,\,\sigma _{ij}=H_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\,$. Для изотропного линейно-упругого материала это соотношение принимает вид $\,\,{\boldsymbol {\sigma }}=2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \,{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\,{\boldsymbol {I}}\,\,$ или $\,\,\sigma _{ij}=2\mu \varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}$. Количества $\mu ,\lambda$ – параметры Ламе .
2. Вязкая жидкость : Для изотропных материалов, $\,\,{\boldsymbol {\sigma }}=-p\,{\boldsymbol {I}}+2\mu \,{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}+\lambda \,{\text{tr}}({\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})\,{\boldsymbol {I}}\,\,$ или $\,\,\sigma _{ij}=-P\,\delta _{ij}+2\mu {\dot {\varepsilon }}_{ij}+\lambda {\dot {\varepsilon }}_{kk}\delta _{ij}$ где $\mu$ вязкость сдвиговая и $\lambda$ - объемная вязкость .
3. Нелинейный материал : Изотропные нелинейные материальные отношения принимают форму $\,\,{\boldsymbol {\sigma }}=2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \,{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\,{\boldsymbol {I}}+\lambda '\,{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\,\,$ или $\,\,\sigma _{ij}=2\mu \varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}+\lambda '\,\varepsilon _{ik}\,\varepsilon _{kj}$. Этот тип зависимости обычно используется для соответствия экспериментальным данным и может включать неупругое поведение.
4. Квазилинейные материалы . Определяющие соотношения для этих материалов обычно выражаются в виде коэффициентов , например: $\,\,{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}={\mathsf {H}}({\boldsymbol {\sigma }}):{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\,\,$ или $\,\,{\dot {\sigma }}_{ij}=H_{ijkl}(\sigma _{mn})\,{\dot {\varepsilon }}_{kl}\,\,$.

Тогда критерий разрушения или поверхность текучести породы можно выразить в общей форме:

$F({\boldsymbol {\sigma }},{\dot {\boldsymbol {\sigma }}},{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}},\mathbf {x} ,t)=0\,.$

Типичные определяющие соотношения для горных пород предполагают, что процесс деформирования изотермичен, материал изотропен, квазилинейен и однороден, а свойства материала не зависят от положения в начале процесса деформации, что отсутствует вязкий эффект и, следовательно, нет собственного масштабе времени, что критерий отказа не зависит от скорости отсутствует и что размерный эффект . Однако эти предположения сделаны только для упрощения анализа, и от них следует отказаться, если это необходимо для конкретной проблемы.

Поверхности текучести горных пород

Вид поверхности разрушения Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений для $c=2,\phi =-20^{\circ }$

Проектирование горнодобывающих и строительных конструкций в горных породах обычно включает в себя критерий разрушения , который является когезионно-фрикционным. Критерий разрушения используется для определения того, приведет ли состояние напряжения в породе к неупругому поведению, включая хрупкое разрушение . Для горных пород, находящихся под высокими гидростатическими напряжениями , хрупкому разрушению предшествует пластическая деформация, и критерий разрушения используется для определения начала пластической деформации. Обычно идеальная пластичность предполагается за пределом текучести . связи деформационного упрочнения и смягчения с нелокальной неупругостью и повреждением Однако также использовались . Критерии разрушения и поверхности текучести также часто дополняются колпачком, чтобы избежать нефизических ситуаций, когда состояния экстремального гидростатического напряжения не приводят к разрушению или пластической деформации.

Вид поверхности текучести Друкера – Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений для $c=2,\phi =-20^{\circ }$

Двумя широко используемыми критериями поверхности текучести/разрушения горных пород являются модель Мора-Кулона и модель Друкера-Прагера . Критерий отказа Хука-Брауна также используется, несмотря на серьезную проблему согласованности модели. Определяющей особенностью этих моделей является то, что разрушение при растяжении прогнозируется при низких напряжениях. С другой стороны, поскольку напряженное состояние становится все более сжимающим, отказ и текучесть требуют все более высоких значений напряжения.

Теория пластичности

Обсуждаемых выше основных уравнений, определяющих моделей и поверхностей текучести недостаточно, если мы хотим вычислить напряжения и смещения в теле горной породы, подвергающемся пластической деформации. Необходимо дополнительное кинематическое предположение, т. е. что деформацию в теле можно разложить аддитивно (или в некоторых случаях мультипликативно) на упругую и пластическую части. Упругая часть деформации может быть рассчитана на основе линейной упругой конститутивной модели. Однако для определения пластической части деформации необходимы правило текучести и модель упрочнения .

Типовые теории пластичности течения (совершенной пластичности при малых деформациях или пластичности упрочнения) разрабатываются на основе следующих требований:

1. Порода имеет линейный диапазон упругости.
2. Порода имеет предел упругости, определяемый как напряжение, при котором впервые происходит пластическая деформация, т. е. $\sigma =\sigma _{0}$.
3. За пределом упругости напряженное состояние всегда остается на поверхности текучести, т. е. $\sigma =\sigma _{y}$.
4. Нагрузка определяется как ситуация, при которой приращение напряжения больше нуля, т.е. $d\sigma >0$. Если нагружение переводит напряженное состояние в пластическую область, то приращение пластической деформации всегда больше нуля, т. е. $d\varepsilon _{p}>0$.
5. Разгрузка определяется как ситуация, при которой приращение напряжения меньше нуля, т.е. $d\sigma <0$. Материал эластичен при разгрузке и не накапливает дополнительных пластических напряжений.
6. Полная деформация представляет собой линейную комбинацию упругой и пластической частей, т. е. $d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}$. Пластмассовую часть невозможно восстановить, а эластичную часть можно полностью восстановить.
7. Работа, совершаемая за цикл погрузки-разгрузки, положительна или равна нулю, т. е. $d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0$. Это также называется постулатом устойчивости Друкера и исключает возможность размягчения деформации.

Трехмерная пластика

Вышеупомянутые требования могут быть выражены в трех измерениях следующим образом.

• Эластичность ( закон Гука ). В линейно-упругом режиме напряжения и деформации в породе связаны соотношением

${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$

где матрица жесткости ${\mathsf {C}}$ является постоянным.

• Предел упругости ( Поверхность текучести ). Предел упругости определяется поверхностью текучести, не зависящей от пластической деформации и имеющей вид

$f({\boldsymbol {\sigma }})=0\,.$

• За пределом эластичности . Для деформационно упрочняющихся пород поверхность текучести изменяется с увеличением пластической деформации и изменяется предел упругости. Эволюционирующая поверхность текучести имеет вид

$f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0\,.$

• Загрузка . Непросто перевести условие геологии $d\sigma >0$ в трех измерениях, особенно для пластичности горных пород, которая зависит не только от девиаторного напряжения , но и от среднего напряжения . Однако во время загрузки $f\geq 0$ и предполагается, что направление пластической деформации совпадает с нормалью к поверхности текучести ( $\partial f/\partial {\boldsymbol {\sigma }}$) и это $d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}:d{\boldsymbol {\sigma }}\geq 0$, то есть,

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}\geq 0\,.$

Приведенное выше уравнение, когда оно равно нулю, указывает на состояние нейтральной нагрузки , при котором напряженное состояние перемещается вдоль поверхности текучести без изменения пластической деформации.

• Разгрузка : аналогичный аргумент выдвигается в пользу разгрузки, в какой ситуации $f<0$, материал находится в упругой области, и

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}<0\,.$

• Разложение деформации : Аддитивное разложение деформации на упругую и пластическую части можно записать как

$d{\boldsymbol {\varepsilon }}=d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}+d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\,.$

• Постулат стабильности : Постулат стабильности выражается как

$d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}\geq 0\,.$

Правило потока

В пластичности металлов предположение о том, что приращение пластической деформации и тензор девиаторных напряжений имеют одни и те же основные направления, заключено в соотношении, называемом правилом течения . Теории пластичности горных пород также используют аналогичную концепцию, за исключением того, что требование зависимости поверхности текучести от давления требует смягчения вышеуказанного предположения. Вместо этого обычно предполагается, что приращение пластической деформации и нормаль к поверхности текучести, зависящей от давления, имеют одно и то же направление, т.е.

$d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=d\lambda \,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}$

где $d\lambda >0$ является параметром упрочнения. Эта форма правила потока называется ассоциированным правилом потока , а предположение о сонаправленности называется условием нормальности . Функция $f$ еще называют пластическим потенциалом .

Приведенное выше правило течения легко обосновывается для идеально пластических деформаций, для которых $d{\boldsymbol {\sigma }}=0$ когда $d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}>0$, т. е. поверхность текучести остается постоянной при увеличении пластической деформации. Это означает, что приращение упругой деформации также равно нулю, $d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0$, по закону Гука. Поэтому,

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=0\quad {\text{and}}\quad d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.$

Следовательно, и нормаль к поверхности текучести, и тензор пластических деформаций перпендикулярны тензору напряжений и должны иметь одно и то же направление.

Для деформационного упрочнения материала поверхность текучести может расширяться с увеличением напряжения. Мы принимаем второй постулат устойчивости Друкера, который гласит, что для бесконечно малого цикла напряжений эта пластическая работа положительна, т. е.

$d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\geq 0\,.$

Указанная величина равна нулю для чисто упругих циклов. Исследование работы, проделанной в течение цикла загрузки-разгрузки пластика, может быть использовано для обоснования действительности соответствующего правила потока.

Условие согласованности

Условие согласованности Прагера необходимо для замыкания системы определяющих уравнений и исключения неизвестного параметра $d\lambda$ из системы уравнений. Условие согласованности гласит, что $df=0$ с доходностью, потому что $f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0$, и, следовательно,

$df={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}:d{\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}}}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.$

Ссылки

• Паризо, WG (1988), «О концепции пластичности горных пород», на 29-м симпозиуме США по механике горных пород (USRMS) , Балкема.
• Адамс, Флорида; Кокер, Э.Г. (1910), «Экспериментальное исследование течения горных пород; течения мрамора» , American Journal of Science , 174 (174): 465–487, Бибкод : 1910AmJS...29..465A , doi : 10.2475/ajs.s4-29.174.465
• Раст, Николай (1956), «Происхождение и значение будинажа», Геол. Маг. , 93 (5): 401–408, Бибкод : 1956GeoM...93..401R , doi : 10.1017/s001675680006684x , S2CID   131189467
• Читэм-младший, JB; Гнирк, П.Ф. (1966), «Механика разрушения горных пород, связанная с бурением на глубине», В материалах восьмого симпозиума по механике горных пород, Фэрхерст С., редактор, Университет Миннесоты : 410–439.
• Робертсон, Юджин К. (1955), «Экспериментальное исследование прочности горных пород», Бюллетень Геологического общества Америки , 66 (10): 1275–1314, Бибкод : 1955GSAB...66.1275R , doi : 10.1130/0016-7606 (1955)66[1275:esotso]2.0.co;2
• Хандин, Джон; Хагер-младший, Рекс В. (1957), «Экспериментальная деформация осадочных пород под давлением: испытания сухих образцов при комнатной температуре» , Бюллетень AAPG , 41 (1): 1–50, doi : 10.1306/5ceae5fb-16bb- 11d7-8645000102c1865d
• Хандин, Джон; Хагер-младший, Рекс В. (1958), «Экспериментальная деформация осадочных пород под давлением: испытания при высокой температуре» , Бюллетень AAPG , 42 (12): 2892–2934, doi : 10.1306/0bda5c27-16bd-11d7-8645000102c1865d
• Хандин, Джон; Хагер-младший, Рекс В.; Фридман, Мелвин; Физер, Джеймс Н. (1963), «Экспериментальная деформация осадочных пород под всесторонним давлением: испытания порового давления» , Бюллетень AAPG , 47 (5): 717–755, doi : 10.1306/bc743a87-16be-11d7-8645000102c1865d
• Патерсон, М.С. (1958), «Экспериментальная деформация и разломы в вомбейском мраморе», Бюллетень Геологического общества Америки , 69 (4): 465–476, Бибкод : 1958GSAB...69..465P , doi : 10.1130/0016-7606 (1958)69[465:edafiw]2.0.co;2
• Моги, Кию (1966), «Зависимость прочности горных пород от давления и переход от хрупкого разрушения к пластическому течению» (PDF) , Бюллетень Института исследований землетрясений , 44 : 215–232
• Робинсон, Л.Х. (1959), «Влияние порового и горного давления на процесс разрушения осадочных пород», на 3-м симпозиуме США по механике горных пород (USRMS).
• Шварц, Арнольд Э. (1964), «Разрушение горной породы при испытании на трехосный сдвиг», на 6-м симпозиуме США по механике горных пород (USRMS).
• Григгс, Д.Т.; Тернер, Ф.Дж.; Херд, ХК (1960). «Деформация горных пород при температуре от 500 до 800 С». В Григгсе, DT; Хандин, Дж. (ред.). Деформация горных пород: Мемуары Геологического общества Америки . Том. 39. Геологическое общество Америки. п. 104. дои : 10.1130/mem79-p39 .
• Серденгети, С.; Бузер, Г.Д. (1961), «Влияние скорости деформации и температуры на поведение горных пород, подвергающихся трехосному сжатию», В материалах четвертого симпозиума по механике горных пород : 83–97.
• Анандараджа, А. (2010), Вычислительные методы упругости и пластичности: твердые и пористые среды , Springer

Внешние ссылки

• Микроструктуры и механизмы деформации