Влияние размера на прочность конструкции

Остатки плотины Мальпассет в Приморских Альпах, Франция, которая провалилась при первом заполнении в 1959 году и вызвала гигантское наводнение, уничтожившее город Фрежюс, в результате которого погибло несколько сотен человек. Эта плотина, самая высокая и тонкая в то время, рухнула из-за чрезмерного горизонтального сдвига гнейсового устоя. Допустимое смещение, учитываемое при проектировании, неизвестно, но, если его рассчитать сегодня, размерный эффект уменьшит его примерно до половины значения, принятого в процедурах проектирования 1950-х годов.

Согласно классическим теориям упругих или пластических конструкций, изготовленных из материала с неслучайной прочностью ( f t ₎ , номинальная прочность ( σ _N ) конструкции не зависит от размера конструкции ( D ), если рассматриваются геометрически подобные конструкции. Любое отклонение от этого свойства называется размерным эффектом . Например, общепринятая прочность материалов предсказывает, что большая балка и крошечная балка выйдут из строя при одинаковом напряжении , если они сделаны из одного и того же материала. В реальном мире из-за размеров балка большего размера выйдет из строя при меньшем напряжении, чем балка меньшего размера.

Эффект структурного размера касается структур, изготовленных из одного и того же материала с одинаковой микроструктурой . Его следует отличать от размерного эффекта неоднородностей материала, в частности от эффекта Холла-Петча , который описывает, как прочность материала увеличивается с уменьшением размера зерна в поликристаллических металлах .

Размерный эффект может иметь две причины:

1. статистический, из-за случайности прочности материала, вероятности возникновения критического дефекта в месте с высоким напряжением, а также увеличения объема, увеличивающего вероятность серьезного дефекта.
2. энергетический (и нестатистический), обусловленный выделением энергии при развитии большой трещины или большой зоны процесса разрушения (ФПЗ), содержащей поврежденный материал, до достижения максимальной нагрузки.

Статистическая теория размерного эффекта в хрупких конструкциях

Рис. 1: Влияние размера на прочность конструкции

Эффект статистического размера возникает для широкого класса хрупких структур, которые следуют модели самого слабого звена. Эта модель означает, что инициирование макроразрушения от одного элемента материала, точнее одного репрезентативного элемента объема (ЭВЭ), приводит к разрушению всей конструкции, как и разрушение одного звена в цепи (рис. 1а). Поскольку прочность материала случайна, прочность самого слабого элемента материала в конструкции (рис. 1а), вероятно, будет уменьшаться с увеличением размера конструкции. $D$ (как отмечал уже Мариотт в 1684 г.).

Обозначая вероятности разрушения конструкции как $P_{f}$ и одного РВЭ в состоянии стресса $\sigma _{k}$ как $P_{1}(\sigma _{k})$и отмечая, что вероятность выживания цепи — это совместная вероятность выживания всех ее $N$ ссылки, легко прийти к выводу, что

$1-P_{f}=\prod _{k=1}^{N}[1-P_{1}(\sigma _{k})]$ ( 1 )

Ключом является левый хвост распределения $P_{1}(\sigma _{k})$. Он не был успешно идентифицирован до тех пор, пока Вейбулл в 1939 году не признал, что хвост является степенным законом. Обозначая хвостовой показатель как $m$, можно затем показать, что, если структура достаточно больше одного RVE (т. е. если N/l ₀ → ∞ ), вероятность отказа конструкции как функция $\sigma _{N}$ является

$P_{f}\;=\;1\,-\,e^{-(\sigma _{N}/S_{0})^{m}}\ {\text{where}}\ S_{0}=s_{0}(l_{0}/D)^{n_{d}/m}\Psi ^{-1/m}$ ( 2 )

уравнение 2 — кумулятивное распределение Вейбулла с масштабным параметром $S_{0}$ и параметр формы $m$; $\Psi =\int _{V}\left[{\hat {\sigma }}(\xi )\right]^{m}\,{\mbox{d}}V(\xi )$ = постоянный коэффициент, зависящий от геометрии конструкции, $V$ = объем конструкции; $\xi$ = относительные (независимые от размера) векторы координат, ${\hat {\sigma }}(\xi )$ = безразмерное поле напряжений (зависит от геометрии), масштабированное так, чтобы максимальное напряжение было равно 1; $n_{d}$ = количество пространственных измерений ( $n_{d}$ = 1, 2 или 3); $l_{0}$ = характерная длина материала, представляющая эффективный размер RVE (обычно около 3 размеров неоднородности).

RVE здесь определяется как наименьший объем материала, разрушение которого достаточно для того, чтобы весь структура провалилась. По опыту, структура достаточно больше, чем один RVE, если эквивалентное количество $N_{eq}$ РВЭ в структуре превышает примерно $10^{4}$ ; $N_{eq}=(D/l_{0})^{n_{d}}\Psi$ = количество RVE, дающих то же самое $P_{f}$ если поле напряжений однородно (всегда $N_{eq}<N$, и обычно $N_{eq}\ll N$). Для большинства применений нормального масштаба к металлам и мелкозернистой керамике, за исключением устройств с микрометровой шкалой, размер достаточно велик для применения теории Вейбулла (но не для крупнозернистых материалов, таких как бетон).

Из уравнения. 2 можно показать, что средняя прочность и коэффициент вариации прочности получаются следующим образом:

${\bar {\sigma }}_{N}\;=\;C_{s}(l_{0}/D)^{n/m},\;C_{s}\;=\;[\Gamma (1+m^{-1})\Psi ^{-1/m}s_{0}$ ( 3 )

$w\;=\;[\Gamma (1+2m^{-1})\Gamma ^{-2}(1+m^{-1})-1]^{1/2}$ ( 4 )

(где $\Gamma$ – гамма-функция) Первое уравнение показывает, что влияние размера на среднюю номинальную прочность составляет степенная функция размера $D$, независимо от геометрии конструкции.

Параметр Вейбулла $m$ можно экспериментально определить двумя способами: 1) Значения $\sigma _{N}$ измеренные на множестве одинаковых образцов, используются для расчета коэффициента вариации прочности и величины $m$ затем следует путем решения уравнения. (4); или 2) значения ${\bar {\sigma }}_{N}$ измеряются на геометрически подобных образцах нескольких разных размеров. $D$ и наклон их линейной регрессии на графике $\log {\bar {\sigma }}_{N}$ против $\log D$ дает $-1/m$. Метод 1 должен давать одинаковый результат для разных размеров, а метод 2 — тот же, что и метод 1. В противном случае эффект размера частично или полностью не вейбуллевский. Отсутствие тестирования различных размеров часто приводило к неверным выводам. Еще одна проверка заключается в том, что гистограмма прочности многих идентичных образцов должна представлять собой прямую линию при построении по шкале Вейбулла. Отклонение вправо в диапазоне высоких сил означает, что $N_{eq}$ слишком мал, а материал квазихрупок.

Эффект энергетического размера

Тот факт, что размерный эффект Вейбулла является степенным законом, означает, что он самоподобен, т. е. не имеет характерного размера структуры. $D_{0}$ существует, и $l_{0}$ неоднородности материала незначительны по сравнению с $D$. Это относится к усталостно-хрупким металлам или мелкозернистой керамике, за исключением микрометрового масштаба. Существование конечного $D_{0}$ Это характерная черта энергетического размерного эффекта, открытого в 1984 году. Этот тип размерного эффекта представляет собой переход между двумя степенными законами и наблюдается в хрупких гетерогенных материалах, называемых квазихрупкими. Эти материалы включают бетон, волокнистые композиты, камни, крупнозернистую и закаленную керамику, жесткие пенопласты, морской лед, стоматологическую керамику, дентин, кость, биологические оболочки, многие био- и биоматериалы, каменную кладку, раствор, жесткие связные грунты, залитые грунты, слежавшийся снег, древесина, бумага, картон, уголь, сцементированный песок и т. д. На микро- или наноуровне все хрупкие материалы становятся квазихрупкими и, таким образом, должны проявлять энергетический размерный эффект.

Выраженный энергетический размерный эффект возникает при сдвиговых, крутильных и продавливающих разрушениях железобетона, при выдергивании анкеров из бетона, при сжатии тонких железобетонных колонн и предварительно напряженных бетонных балок, при сжатии и растяжении фиброполимерных композитов и сэндвич-конструкций. , и в разрушениях всех упомянутых квазихрупких материалов. Можно выделить два основных типа этого размерного эффекта.

Тип 1: Конструкции, разрушающиеся при зарождении трещины.

Рис. 2

Когда макротрещина инициируется из одного ЭВЭ, размер которого не является незначительным по сравнению с размером структуры, эффект детерминированного размера преобладает над эффектом статистического размера. Причиной размерного эффекта является перераспределение напряжений в конструкции (рис. 2в) за счет повреждения инициирующего ЭВЭ, который обычно располагается на поверхности разрушения.

Простое интуитивное объяснение этого размерного эффекта можно дать, рассмотрев разрушение при изгибе свободно опертой балки без надрезов под действием сосредоточенной нагрузки. $P$ в середине пролета (рис. 2г). Из-за неоднородности материала от чего зависит максимальная нагрузка $P$ не является упруго рассчитанным напряжением $\sigma _{1}=Mc/I=3PL/2bD^{2}$ на растянутой грани, где $M=PL/4$ = изгибающий момент, $D$ = глубина луча, $c=D/2,\;I=bh^{3}/12$ и $b$ = ширина балки. Скорее, решающее значение имеет значение напряжения. ${\bar {\sigma }}$ примерно на расстоянии $l_{0}/2$ от растянутой грани, которая находится в середине ФПЗ (2в). отмечая, что ${\bar {\sigma }}$ = $\sigma _{1}-\sigma '_{n}l_{0}/2$, где $\sigma '_{n}$ = градиент напряжения = $2\sigma _{1}/D$ и ${\bar {\sigma }}=f'_{t}$ = собственная прочность материала на растяжение с учетом условий разрушения ${\bar {\sigma }}$ = $f'_{t}$, человек получает $P/bD=\sigma _{N}$ = $\sigma _{0}/(1-D_{b}/D)$ где $\sigma _{0}=(2D/3L)f'_{t}$, что является константой, поскольку для геометрически подобных балок $L/D$ = константа. Это выражение справедливо только для достаточно малых $l_{0}/D$, и поэтому (в соответствии с первыми двумя членами биномиального разложения) его можно аппроксимировать как

$\sigma _{N}=\sigma _{0}\left(1+{\frac {rl_{0}}{D}}\right)^{1/r}$ ( 5 )

что представляет собой закон детерминированного размерного эффекта 1-го типа (рис. 2а). Целью сделанного приближения является: (a) предотвращение $\sigma _{N}$ не становиться отрицательным для очень маленьких $D$, для которого предыдущий аргумент неприменим; и (б) удовлетворить асимптотическому условию, согласно которому детерминированный размерный эффект должен исчезнуть при $D/l_{0}\to \infty$. Здесь $r$ = положительная эмпирическая константа; ценности $r=1$ = или 2 использовались для бетона, а $r\approx 1.45$ является оптимальным согласно имеющимся в литературе данным испытаний (рис. 2г).

Фундаментальный вывод уравнения. 5 для общей геометрии конструкции определяется выражением применение анализа размерностей и асимптотического сопоставления к предельному случаю энерговыделения, когда начальная длина макротрещины стремится к нулю. Для общих структур в уравнение можно подставить следующий эффективный размер. (5):

$D=2\sigma _{0}/E\epsilon '_{n}$ ( 6 )

где $\epsilon '_{n}$ = градиент деформации в точке максимальной деформации, расположенной на поверхности, в направлении нормально к поверхности.

уравнение 5 не может применяться для больших размеров, поскольку подходит для $D\to \infty$ горизонтальная асимптота. Для больших размеров, $\sigma _{N}$ должен приближаться к статистическому размерному эффекту Вейбулла, уравнение. 3. Этому условию удовлетворяет обобщенный энергостатистический закон размерного эффекта:

${\bar {\sigma }}_{N}=\sigma _{0}\left[\left({\frac {l_{0}}{D}}\right)^{rn_{d}/m}+\ {\frac {rl_{0}}{D}}\ \right]^{1/r}$ ( 7 )

где $r,m$ являются эмпирическими константами ( $rn_{d}/m<1$). Детерминированная формула (5) восстанавливается как предельный случай для $m\rightarrow \infty$. (Рис. 2d) показано сравнение последней формулы с результатами испытаний для многих различных бетонов, представленными как безразмерная прочность. $\sigma _{N}/f'_{t}$ в сравнении с безразмерным размером структуры $D/D_{0}$.

Вероятностная теория размерного эффекта типа 1 может быть выведена из наномеханики разрушения. Крамера Теория скорости перехода показывает, что на наноуровне крайний левый хвост распределения вероятностей силы наномасштаба $s$ представляет собой степенной закон вида $s^{2}$. Анализ многомасштабного перехода к макроуровню материала показывает, что распределение прочности RVE является гауссовым, но с левым хвостом Вейбулла (или степенным законом), показатель степени которого $m$ намного больше 2 и прививается примерно с вероятностью около 0,001.

Для конструкций с $N_{eq}<10^{4}$, характерные для квазихрупких материалов, теория Вейбулла неприменима. Но базовая модель самого слабого звена, выраженная уравнением. (1) для $P_{f}$, делает, хотя и с конечным $N$, что является решающим моментом. Конечность модели цепи слабейшего звена приводит к серьезным отклонениям от распределения Вейбулла. Поскольку размер структуры, измеряемый $N_{eq}$, увеличивается, точка прививки левой части Вейбулля смещается вправо до тех пор, пока примерно $N_{eq}=10^{4}$, все распределение становится вейбулловским. Средняя сила может быть вычислена из этого распределения, и, как оказывается, ее график идентичен графику уравнения. 5 видно на рис. 2g. Точка отклонения от асимптоты Вейбулла определяется расположением точки прививки на распределении сил одного ЭВЭ (рис. 2ж). Обратите внимание, что конечность цепи в модели самого слабого звена отражает детерминированную часть эффекта размера.

Эта теория также была распространена на размерный эффект на законы роста трещин Эванса и Пэрис в квазихрупких материалах, а также на размерный эффект на статическую и усталостную долговечность. Оказалось, что размерный эффект на время жизни гораздо сильнее, чем на кратковременную прочность (хвостовой показатель $m$ на порядок меньше).

Тип 2: Конструкции, в которых имеется большая трещина или выемка.

Рис. 4

Наиболее сильный размерный эффект проявляется для образцов с одинаковыми глубокими надрезами (рис. 4б) или для конструкций, в которых до достижения максимальной нагрузки стабильно образуется крупная трещина, одинаковая для разных размеров. Поскольку место возникновения разрушения заранее определено на вершине трещины и, таким образом, невозможно выбрать случайную силу различных RVE, статистический вклад в эффект среднего размера пренебрежимо мал. Такое поведение характерно для железобетона, поврежденных фиброполимеров и некоторых сжатых неармированных конструкций.

Энергетический размерный эффект можно интуитивно объяснить, рассмотрев панель на рис. 1c,d: первоначально при равномерном напряжении, равном $\sigma _{N}$ . Введение трещины длиной $a$, с зоной поражения ширины $h$ на кончике снимает напряжение, а значит и энергию деформации, с заштрихованных неповрежденных треугольников уклона. $k$ по краям трещины. Тогда, если $k$ и $a/D$ примерно одинаковы для разных размеров, энергия, выделяющаяся из заштрихованных треугольников, пропорциональна ${\bar {U}}D^{2}$, а энергия, рассеиваемая в процессе разрушения, пропорциональна $G_{f}D$; здесь $G_{f}$ = энергия разрушения материала, ${\bar {U}}=\sigma _{N}^{2}/2E$ = плотность энергии до разрушения, и $E$ = Модуль упругости Юнга. Расхождение между $D$ и $D^{2}$ показывает, что баланс выделения и скорости рассеяния энергии может существовать для любого размера. $D$ только если $\sigma _{N}$ уменьшается с увеличением $D$. Если энергия рассеивалась в зоне поражения шириной $h$ Если добавить, то получим закон размерного эффекта Бажанта (1984) (тип 2):

$\sigma _{N}=Bf'_{t}\left(1+{\frac {D}{D_{0}}}\right)^{-1/2}$ ( 8 )

(рис. 4в,г) где $B,f'_{t},D_{0}$ = константы, где $f'_{t}$ = предел прочности материала на разрыв, и $B$ учитывает геометрию конструкции.

Для более сложной геометрии такой интуитивный вывод невозможен. Однако размерные анализ в сочетании с асимптотическим сопоставлением показал, что уравнение. 8 применим в целом и что зависимость его параметров от геометрии конструкции имеет примерно следующий вид:

$Bf'_{t}={\sqrt {\frac {EG_{f}}{g'(\alpha _{0})c_{f}}}},\;\;\;\;D_{0}=c_{f}{\frac {g'(\alpha _{0})}{g(\alpha _{0})}}$ ( 9 )

где $c_{f}\approx$ половина длины ФПЗ, $\alpha _{0}=a/D$ = относительная начальная длина трещины (которая постоянна для геометрически подобного масштабирования); $g(\alpha _{0})=k^{2}(\alpha _{0})$ = безразмерная функция энерговыделения линейно-упругой механики разрушения (ЛЭМ), реализующая эффект геометрии конструкции; $k(\alpha _{0})=K(\alpha _{0})b{\sqrt {D}}/P$, и $K$ = коэффициент интенсивности напряжения. Подгонка уравнения. от 8 до $\sigma _{N}$ данные испытаний геометрически подобных образцов с надрезами самых разных размеров являются хорошим способом определить $G_{f}$ и $c_{f}$ материала.

Размерный эффект в когезионной трещине, полосе трещины и нелокальных моделях

Численное моделирование отказа с помощью кодов конечных элементов может уловить энергетический (или детерминированный) размерный эффект только в том случае, если закон материала, связывающий напряжение с деформацией, обладает характерной длиной. Это не относится к классическим кодам конечных элементов с материалом, характеризующимся исключительно соотношениями «напряжение-деформация».

Одним из достаточно простых методов расчета является модель когезионной (или фиктивной) трещины, в которой предполагается, что напряжение $\sigma$ передаваемая через частично открытую трещину, является убывающей функцией раскрытия трещины $w$, то есть, $\sigma =f(w)$. Область действия этой функции $G_{f}$, и

$l_{ch}=EG_{f}/{f'_{t}}^{2}$ ( 10 )

— характерная длина материала, вызывающая детерминированный размерный эффект. Еще более простым методом является модель полосы трещины, в которой при моделировании связная трещина заменяется полосой трещины шириной $h$ равный размеру одного конечного элемента, и соотношение напряжения-деформации, которое смягчается в поперечном направлении как $\sigma ={\hat {f}}(\epsilon )$ где $\epsilon =w/h$ = средняя деформация в этом направлении.

Когда $h$ необходимо отрегулировать, соотношение смягчающих напряжений и деформаций регулируется таким образом, чтобы поддерживать правильное рассеивание энергии. $G_{f}$. Более универсальным методом является модель нелокального повреждения, в которой напряжение в точке сплошной среды является функцией не деформации в этой точке, а среднего значения поля деформаций в определенной окрестности размера. $h$ сосредоточено в этой точке. Еще одним методом является модель градиентного повреждения, в которой напряжение зависит не только от деформации в этой точке, но и от градиента деформации. Все эти вычислительные методы могут обеспечить объективность и правильную сходимость в отношении измельчения сетки конечных элементов.

Фрактальные аспекты эффекта размера

Фрактальные свойства материала, включая фрактальный аспект шероховатости поверхности трещин и лакунарно-фрактальный аспект пористой структуры, могут играть роль в размерном эффекте бетона и могут влиять на энергию разрушения материала. Однако фрактальные свойства еще не были экспериментально подтверждены в достаточно широком масштабе, и проблема еще не изучена настолько глубоко, как статистические и энергетические размерные эффекты. Основным препятствием для практического рассмотрения фрактального влияния на размерный эффект является то, что при калибровке для одной геометрии структуры неясно, как вывести размерный эффект для другой геометрии. Плюсы и минусы обсуждались, например, Carpinteri et al. (1994, 2001) и Бажант и Явари (2005).

Практическая значимость

Рис. 5. Схематическое объяснение разрушения нефтяной платформы «Слейпнер А», Норвегия, 1991 год. Трехъячейка этой конструкции стоимостью 500 миллионов долларов и высотой 190 метров взорвалась под напором воды 67 метров, в результате чего платформа затонула в течение 18 минут (без человеческих жертв). Правительственная комиссия выявила два фактора, вызывающих отказ: плохая детализация арматуры и плохая сетка конечных элементов. Отдельное исследование задокументировало третий способствующий фактор: показанный размерный эффект разрушения при сдвиге, который снизил способность к сдвигу примерно на 40%.

Учет размерного эффекта необходим для безопасного прогнозирования прочности крупных бетонных мостов, ядерных защитных оболочек, оболочек крыш, высотных зданий, облицовки тоннелей, крупных несущих частей самолетов, космических кораблей и кораблей из волокнисто-полимерных композитов, ветряных турбин. , крупные геотехнические раскопки, склоны земли и скал, плавучие грузы, несущие морской лед, нефтяные платформы под ледяными силами и т. д. Их конструкция зависит от свойств материала, измеренных на гораздо меньших лабораторных образцах. Эти свойства необходимо экстраполировать на размеры, большие на один-два порядка. Даже если можно провести дорогостоящие полномасштабные испытания на отказ, например, испытания на отказ руля направления очень большого самолета, повторение их тысячу раз для получения статистического распределения грузоподъемности является финансово невозможным. Такую статистическую информацию, лежащую в основе коэффициентов безопасности, можно получить только путем надлежащей экстраполяции лабораторных испытаний.

Эффект размера приобретает все большее значение по мере того, как строятся все более и более крупные конструкции все более и более стройных форм. Коэффициенты безопасности, конечно, дают большие запасы прочности — настолько большие, что даже для крупнейших строительных конструкций классический детерминированный анализ, основанный на средних свойствах материала, обычно дает разрушающие нагрузки, меньшие, чем максимальные расчетные нагрузки. По этой причине влияние размеров на прочность при хрупком разрушении бетонных конструкций и конструкционных ламинатов долгое время игнорировалось. Однако тогда вероятность отказа, которая должна быть $<10^{-6}$, и действительно имеет такие значения для структур нормального размера, для очень больших структур может стать таким низким, как $10^{-3}$ за всю жизнь. Столь высокая вероятность отказа недопустима, поскольку она значительно увеличивает риски, которым неизбежно подвергаются люди. Фактически, исторический опыт показывает, что очень крупные конструкции выходят из строя с частотой на несколько порядков выше, чем более мелкие. Причина, по которой это не вызвало общественного резонанса, заключается в том, что крупных структур мало. Но для местных жителей, которым приходится пользоваться сооружениями ежедневно, риск неприемлем.

Другое применение — измерение энергии разрушения и характерной длины материала. Для квазихрупких материалов измерение размерного влияния на пиковые нагрузки (и на размягчение образца после пиковой нагрузки) является самым простым подходом.

Знание размерного эффекта важно и в обратном смысле — для устройств микрометрового масштаба, если они спроектированы частично или полностью на основе свойств материала, которые удобнее измерять в масштабе от 0,01 до 0,1 м.

См. также

• Теория разрушения материала
• Структурный отказ
• Механика разрушения
• Анализ разрушения бетона
• Усталость (материал)
• Выход из строя бетонного конуса

Ссылки и библиография

1. Баренблатт, Дж.И. (1959). «Образование равновесных трещин при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы, осесимметричные трещины». Прикл. Мат. Мех. 23 (3), 434—444.
2. Баренблатт, GI (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика . Издательство Кембриджского университета.
3. Баренблатт, GI (1978). Подобие, самоподобие и промежуточная асимптотика (на русском языке) Гирометеоиздат, Москва; и английский перевод, Консультантское бюро, Нью-Йорк, 1979 г.
4. Баренблатт, Г.И. (2003) Масштабирование , Издательство Кембриджского университета.
5. Бажант, З.П. (1976). «Нестабильность, пластичность и размерный эффект в размягчающемся бетоне». Дж. Энгнг. Мех. Отделение, Ам. Соц. Гражданские инженеры. , 102 , ЕМ2, 331—344; диск. 103, 357—358, 775—777, 104, 501—502.
6. Бажант, З.П. (1984). «Влияние размера при тупом переломе: бетон, камень, металл». Дж. Инж. Механика , ASCE, 110 , 518–535.
7. Бажант, З.П. (1997а). «Масштабирование квазихрупкого разрушения: асимптотический анализ». Межд. Ж. Перелома 83 (1), 19—40.
8. Бажант, З.П. (2002). «Масштабирование прочности конструкции». 2-е изд., Elsevier, Лондон, 2005 г.
9. Бажант З.П., Чен Э.-П. (1997). «Масштабирование структурного разрушения». Обзоры прикладной механики ASME 50 (10), 593–627.
10. Бажант З.П. и Каземи М.Т. (1990). «Определение энергии разрушения, длины технологической зоны и числа хрупкости на основе размерного эффекта применительно к горным породам и бетону». Межд. J. of Fracture , 44, 111–131.
11. Бажант З.П. и Новак Д. (2000). «Энергетико-статистический размерный эффект при квазихрупком разрушении при зарождении трещины». Журнал материалов ACI 97 (3), 381–392.
12. Бажант З.П. и Планас Дж. (1998). Эффект разрушения и размера бетона и других квазихрупких материалов . CRC Press, Бока-Ратон, Флорида.
13. Бажант З.П. и Явари А. (2005). «Является ли причина размерного влияния на прочность конструкции фрактальной или энергостатистической?» англ. Механика разрушения 72, 1--31; с обсуждением и ответом в т. 74 (2007), с. 2897.
14. Бажант З.П. (2004) «Масштабная теория хрупкого разрушения конструкций». Учеб. Нат'л. акад. Sci., США 101 (37), 13397-13399.
15. Бажант З.П., Дэниел И.М. и Ли З. (1996). «Размерный эффект и характеристики разрушения композитных ламинатов». Дж. Энгр. Материалы и технологии ASME 118 (3), 317–324.
16. Бажант З.П. и Йирасек М. (2002). «Нелокальные интегральные формулировки пластичности и повреждения: обзор прогресса». J. Engrg Mech., ASCE , 128(11), 1119-1149.
17. Бажант З.П. и Ле Ж.-Л. (2009) «Моделирование распределения срока службы квазихрупких структур на основе наномеханики», J. Engrg. Неудача, Ана. , 16, стр. 2521–2529.
18. Бажант З.П., Ле Ж.-Л. и Базант М.З. (2009). «Масштабирование распределения прочности и срока службы квазихрупких структур на основе атомистической механики разрушения». Учеб. Национальная академия. наук США 11484-11489
19. Бажант З.П., Панг С.-Д. (2006) «Механическая статистика риска разрушения квазихрупких конструкций и влияние размеров на коэффициенты безопасности». Учеб. Национальная академия. Sci., США 103 (25), стр. 9434–9439.
20. Бажант З.П., Панг С.-Д. (2007) «Статистика экстремальных значений и размерный эффект на основе энергии активации при хрупком и квазихрупком разрушении». Дж. Мех. Физ. Solids 55, стр. 91–134.
21. Бажант З.П., Вореховский М. и Новак Д. (2007) «Асимптотическое предсказание энергетическо-статистического размерного эффекта на основе детерминированных решений методом конечных элементов». Дж. Энгр. Механика , ASCE, 128, 153-162.
22. Бажант З.П. и Си Ю. (1991) «Статистический размерный эффект в квазихрупких структурах: II. Нелокальная теория». Дж. Энгр. Механика, ASCE 117(7), 2623-2640.
23. Бажант З.П., Чжоу Ю., Дэниел И.М., Канер Ф.К. и Ю К. (2006). «Влияние размера на прочность сэндвич-панелей из ламината и пенопласта», Ж. англ. Материалы и технологии ASME 128 (3), 366–374.
24. Беремин, Ф.М. (1983). «Локальный критерий раскола стали корпуса ядерного реактора». Metallurgy Transactions A , 14, 2277–2287.
25. Бушо, Э. (1997). «Масштабирование свойств трещин». J. Phys.: Condens. Материя 9, 4319—4344.
26. Карпинтери, А. (1994). «Законы масштабирования и ренормгруппы для прочности и вязкости неупорядоченных материалов». Межд. Журнал твердых тел и структур 31 (3), 291–302.
27. Карпинтери А., Кьяйя Б. и Корнетти П. (2001). «Статико-кинематическая двойственность и принцип виртуальной работы в механике фрактальных сред». Комп. Мет. в прил. Мех. и англ. 19, 3—19.
28. Коулман, Б.Д. (1958) «Статистика и зависимость от времени механического разрушения волокон». Дж. Прил. Физ. 29 (6), стр. 968–983.
29. да Винчи, Л. (1500-е гг.) — см. « Записные книжки Леонардо да Винчи» (1945), Эдвард МакКарди, Лондон (стр. 546); и «Рукописи Леонардо да Винчи» , пер. на французском языке К. Раллезон-Мольен, Институт Франции (1881–91), Vol. 3.
30. Фишер, Р.А. и Типпет, БАК (1928). «Предельные формы частотного распределения самого большого и самого маленького члена выборки». Proc., Кембриджское философское общество 24 , 180–190.
31. Фреше, М. (1927). «О вероятностном законе максимального отклонения». Энн. Соц. Полон. Математика. 6, с. 93.
32. Фрейденталь А.М. и Гамбелл Э.Дж. (1956). «Физические и статистические аспекты утомления». в «Достижениях прикладной механики» , Vol. 4, Академик Пресс, 117–157.
33. Грассл П. и Бажант ЗП (2009). «Случайное моделирование решетчатыми частицами эффекта статистического размера в квазихрупких структурах, разрушающихся при зарождении трещины». Дж. Энгр. Мех. ASCE 135 (2), февраль, 85–92.
34. Гамбель, Э.Дж. (1958). Статистика крайностей . Издательство Колумбийского университета, Нью-Йорк.
35. Харлоу, Д.Г. и Феникс, С.Л. (1978) «Вероятностная модель цепочки пучков для прочности волокнистых материалов I: анализ и предположения». Дж. Комп. Матер. 12:195-214
36. Харлоу, Д.Г. и Феникс, С.Л. (1979) «Границы вероятности разрушения композитных материалов». Межд. Ж. Фрак. 15(4), 312-336
37. Хиллерборг А. (1985). «Теоретические основы метода определения энергии разрушения $G_{f}$ из бетона.» Материалы и конструкции 18 (106), 291—296.
38. Хиллерборг А., Модеер М. и Петерссон П.Е. (1976). «Анализ образования и роста трещин в бетоне с помощью механики разрушения и конечных элементов». Исследования цемента и бетона 6 773–782.
39. Ле Ж.-Л. и Бажант З.П. (2009) «Модель конечного слабого звена с нулевым порогом распределения прочности стоматологической реставрационной керамики», Dent. Матер. , 25, № 5, 2009, стр. 641–648.
40. Ле Ж.-Л. и Бажант З.П. (2011). «Единая вероятностная теория квазихрупких и хрупких структур на основе наномеханики». Дж. Механика. и физ. твердых тел , в печати.
41. Махеш С. и Феникс С.Л. (2004) «Распределение срока службы однонаправленных волокнистых композитов при нагрузке с разрушением ползучести». Межд. Дж. Фракт. 127, стр. 303–360.
42. Мариотт, Э. (1686). Трактат о движении вод , посмертно отредактированный г-ном де ла Гиром; англ. перевод Дж. Т. Девагулье, Лондон (1718), с. 249; также собрание сочинений Мариотта , 2-е изд., Гаага (1740 г.).
43. Михаши Х., Окамура Х. и Бажант З.П., Редакторы (1994). Размерный эффект в бетонных конструкциях (Труды, Международный семинар Японского института бетона, проходивший в Сендае, Япония, 31 октября - 2 ноября 1993 г.). E & FN Spon, Лондон-Нью-Йорк, 556 + xiv страниц).
44. Феникс, С.Л. (1978a) «Стохастическая прочность и усталость пучков волокон». Межд. Ж. Фрак. Том. 14, № 3, 327-344.
45. Феникс, С.Л. (1978b) «Асимптотическое время до отказа механической системы из параллельных элементов». СИАМ J. Appl. Математика. Том. 34, № 2, 227-246.
46. Феникс, С.Л., и Тирни, Л.-Дж. (1983) «Статистическая модель зависящего от времени разрушения однонаправленных композитных материалов при локальном упругом распределении нагрузки между волокнами». англ. Фракт. Мех. 18 (1), стр. 193–215.
47. Феникс, С.Л., Ибнабдельджалил, М., Хуэй, К.-Ю. (1997). «Размерные эффекты в распределении прочности волокнистых композитов с хрупкой матрицей». Межд. Дж. Структура Солидса. 34(5), 545-568.
48. Пижодье-Кабот Г. и Бажант З.П. (1987). «Теория нелокального повреждения». Дж. Энгр. Механика , ASCE 113 (10), 1512–1533.
49. Комитет РИЛЕМ TC-QFS (2004 г.). «Масштабирование и размерный эффект квазихрупкого разрушения — окончательный отчет». Материалы и конструкции (Париж) 37 (№ 272), 547—586.
50. Избранные статьи Альфреда М. Фрейденталя (1981). Являюсь. Соц. гражданской инженерии, Нью-Йорк.
51. Смит, Р.Л. (1982) «Асимптотическое распределение прочности последовательно-параллельной системы с равным распределением нагрузки». Энн Пробаб. 10(1), стр. 137 – 171.
52. Тирни, Л.-Дж. (1983) «Асимптотические границы времени усталостного разрушения пучков волокон при локальном распределении нагрузки». Адв. Прил. Проб. Том 14, № 1, стр. 95–121.
53. Вейбулл, В. (1939). «Явление разрушения твердых тел». Proc., Шведский королевский институт инженерных исследований (Ingenioersvetenskaps Akad. Handl.) 153 , Стокгольм, 1--55.
54. Вейбулл, В. (1949). «Статистическое представление усталостных разрушений твердых тел». Проц., Рой. Инст. техн. № 27 .
55. Вейбулл, В. (1951). «Статистическая функция распределения широкого применения». Журнал прикладной механики ASME , Vol. 18 .
56. Вейбулл, В. (1956). «Основные аспекты усталости». Proc., Коллоквиум по усталости , Стокгольм, Springer-Verlag.
57. Сюй, XF (2007) «Многомасштабный стохастический метод конечных элементов для решения эллиптических задач, связанных с неопределенностями». Вычислить. Мет. Прил. Мех. англ. 196, стр. 2723–2736.
58. Журков С. Н. (1965). «Кинетическое понятие прочности твердых тел». Межд. Дж. Фракт. Мех. 1 (4), стр. 311–323.
59. Степанов И.А. (1995). «Масштабный эффект является следствием ячеистого строения твердых тел. Термофлуктуационный характер разброса значений прочности». Материаловедение 31 (4), стр. 441–447.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с влиянием размера на прочность конструкции, на Викискладе?