Гибка

Чтобы узнать о других значениях, см. Изгиб (значения) .

Изгиб двутавровой балки

В прикладной механике изгиб ( также известный как изгиб ) характеризует поведение тонкого элемента конструкции , подвергающегося внешней нагрузке , приложенной перпендикулярно продольной оси элемента.

Предполагается, что структурный элемент таков, что по крайней мере один из его размеров составляет небольшую долю, обычно 1/10 или меньше, от двух других. Когда длина значительно превышает ширину и толщину, элемент называется балкой . Например, шкафа штанга , провисающая под тяжестью одежды на вешалках, является примером изгиба балки. С другой стороны, оболочка — это конструкция любой геометрической формы, длина и ширина которой имеют один и тот же порядок, но толщина конструкции (известная как «стенка») значительно меньше. Примером изгибаемой оболочки является короткая трубка большого диаметра, но с тонкими стенками, опирающаяся на концы и нагруженная с боков.

В отсутствие уточнения термин «изгиб» неоднозначен, поскольку изгиб может происходить локально во всех объектах. Поэтому, чтобы сделать использование этого термина более точным, инженеры относятся к конкретному объекту, например; изгиб стержней , изгиб балок , изгиб пластин , изгиб снарядов и так далее.

Квазистатический изгиб балок

Балка деформируется и внутри нее возникают напряжения при приложении к ней поперечной нагрузки. В квазистатическом случае предполагается, что величина изгибного прогиба и возникающие напряжения не меняются со временем. В горизонтальной балке, поддерживаемой на концах и нагруженной вниз посередине, материал на внешней стороне балки сжимается, а материал на нижней стороне растягивается. Существует две формы внутренних напряжений, вызванных боковыми нагрузками:

• Касательное напряжение, параллельное боковой нагрузке, плюс дополнительное касательное напряжение в плоскостях, перпендикулярных направлению нагрузки;
• Прямое сжимающее напряжение в верхней части балки, применимое в основном к цементобетонным элементам и,
• Прямое растягивающее напряжение , применимое к стальным элементам, находится в нижней части балки.

Эти последние две силы образуют пару или момент , поскольку они равны по величине и противоположны по направлению. Этот изгибающий момент противостоит деформации провисания, характерной для балки, испытывающей изгиб. Распределение напряжений в балке можно спрогнозировать достаточно точно, если использовать некоторые упрощающие допущения.

Теория изгиба Эйлера – Бернулли

Основная статья: уравнение балки Эйлера – Бернулли

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.

Изгибающие моменты в балке

В теории тонких балок Эйлера-Бернулли основным предположением является то, что «плоские сечения остаются плоскими». Другими словами, любая деформация, вызванная сдвигом по сечению, не учитывается (нет деформации сдвига). Кроме того, это линейное распределение применимо только в том случае, если максимальное напряжение меньше предела текучести материала. Информацию о напряжениях, превышающих предел текучести, см. в статье «Пластический изгиб» . При текучести максимальное напряжение, испытываемое в сечении (в самых дальних точках от нейтральной оси балки), определяется как прочность на изгиб .

Рассмотрим балки, для которых выполняются следующие условия:

• Изначально балка прямая и тонкая, а любое сужение незначительно.
• Материал изотропен (или ортотропен ), линейно упруг и однороден в любом сечении (но не обязательно по длине).
• Учитываются только небольшие отклонения.

В этом случае уравнение, описывающее прогиб балки ( $w$) можно аппроксимировать как:

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}$

где вторая производная его отклоненной формы относительно $x$ интерпретируется как его кривизна, $E$ – модуль Юнга , $I$ - момент инерции площади поперечного сечения, а $M$ – внутренний изгибающий момент балки.

Если, кроме того, балка однородна и по длине, а не сужена (т.е. постоянного сечения), и прогибается под приложенной поперечной нагрузкой $q(x)$, можно показать, что:

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)$

Это уравнение Эйлера – Бернулли для изгиба балки.

После получения решения о перемещении балки изгибающий момент ( $M$) и поперечная сила ( $Q$) в балке можно рассчитать с помощью соотношений

$M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.$

Простой изгиб балки часто анализируется с помощью уравнения балки Эйлера – Бернулли. Условия использования простой теории изгиба:

1. Балка подвержена чистому изгибу . Это означает, что поперечная сила равна нулю и что скручивающие или осевые нагрузки отсутствуют.
2. Материал изотропен (или ортотропен ) и однороден .
3. Материал подчиняется закону Гука (он линейно упругий и не деформируется пластически).
4. Балка изначально прямая и имеет постоянное поперечное сечение по всей длине балки.
5. Балка имеет ось симметрии в плоскости изгиба.
6. Пропорции балки таковы, что она выйдет из строя из-за изгиба, а не из-за смятия, сморщивания или коробления вбок .
7. Сечения балки при изгибе остаются плоскими.

Прогиб симметрично отклоненной балки и принцип суперпозиции

При изгибающих нагрузках в направлении оси балки развиваются сжимающие и растягивающие силы. Эти силы вызывают напряжения в балке. Максимальное сжимающее напряжение наблюдается у самого верхнего края балки, а максимальное растягивающее напряжение — у нижнего края балки. Поскольку напряжения между этими двумя противоположными максимумами изменяются линейно , на линейном пути между ними существует точка, в которой нет изгибающего напряжения. Местом расположения этих точек является нейтральная ось. Из-за этой области без напряжения и прилегающих областей с низким напряжением использование балок с одинаковым поперечным сечением при изгибе не является особенно эффективным средством выдерживания нагрузки, поскольку при этом не используется полная мощность балки до тех пор, пока она не окажется на грани крах. Широкополочные балки ( двутавровые балки ) и ферменные балки эффективно устраняют эту неэффективность, поскольку минимизируют количество материала в этой недостаточно напряженной области.

Классическая формула для определения изгибающего напряжения в балке при простом изгибе:

$\sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}$

где

• ${\sigma _{x}}$ это изгибающее напряжение
• $M_{z}$ – момент относительно нейтральной оси
• $y$ – перпендикулярное расстояние к нейтральной оси
• $I_{z}$ – второй момент площади относительно нейтральной оси z .
• $W_{z}$ - Момент сопротивления относительно нейтральной оси z . $W_{z}=I_{z}/y$

Расширение теории изгиба балки Эйлера-Бернулли

Гибка пластика

Основная статья: Гибка пластика

Уравнение $\sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}$ действителен только тогда, когда напряжение в крайнем волокне (т. е. в части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси) ниже предела текучести материала, из которого оно изготовлено. При более высоких нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге перейдут в пластическое шарнирное состояние, в котором величина напряжения равна пределу текучести повсюду в балке, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение изменяется от от растяжения до сжатия. Это пластическое шарнирное состояние обычно используется в качестве предельного состояния при проектировании стальных конструкций.

Сложный или асимметричный изгиб

Приведенное выше уравнение справедливо только в том случае, если поперечное сечение симметрично. Для однородных балок с несимметричными сечениями максимальное напряжение изгиба в балке определяется выражением

$\sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z$

где $y,z$ — координаты точки поперечного сечения, в которой должно быть определено напряжение, как показано справа, $M_{y}$ и $M_{z}$ - изгибающие моменты вокруг осей центроидов y и z , $I_{y}$ и $I_{z}$ - вторые моменты площади (отличные от моментов инерции) относительно осей y и z, и $I_{yz}$ является произведением моментов площади . Используя это уравнение, можно рассчитать напряжение изгиба в любой точке поперечного сечения балки независимо от ориентации момента или формы поперечного сечения. Обратите внимание, что $M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}$ не переходят от одной точки сечения к другой.

Большая деформация изгиба

При больших деформациях тела напряжение в поперечном сечении рассчитывают по расширенному варианту этой формулы. Прежде всего необходимо сделать следующие предположения:

1. Допущение плоских сечений – до и после деформации рассматриваемое сечение тела остается плоским (т.е. не закрученным).
2. Касательные и нормальные напряжения в этом сечении, перпендикулярные вектору нормали поперечного сечения, не влияют на нормальные напряжения, параллельные этому сечению.

Учет больших изгибов следует учитывать, когда радиус изгиба $\rho$ меньше десяти высот сечения h:

$\rho <10h.$

С учетом этих допущений напряжение при большом изгибе рассчитывается как:

$\sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}$

где

$F$ это нормальная сила

$A$ сечения это площадь

$M$ это изгибающий момент

$\rho$ — местный радиус изгиба (радиус изгиба на текущем участке)

${{I_{x}}'}$ - момент инерции площади вдоль x оси в точке $y$ место (см. теорему Штейнера )

$y$ - положение по оси y на площади сечения, в котором напряжение $\sigma$ рассчитывается.

При радиусе изгиба $\rho$ приближается к бесконечности и $y\ll \rho$, исходная формула возвращается:

$\sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}$.

Timoshenko bending theory

Main article: Timoshenko beam theory

Деформация балки Тимошенко. Нормаль поворачивается на величину $\theta$ что не равно $dw/dx$.

В 1921 году Тимошенко усовершенствовала теорию балок Эйлера-Бернулли, добавив в уравнение балки эффект сдвига. Кинематические предположения теории Тимошенко таковы:

• нормали к оси балки после деформации остаются прямыми
• толщина балки после деформации не изменяется

Однако нормали к оси не обязаны оставаться перпендикулярными оси после деформации.

Уравнение квазистатического изгиба линейно-упругой изотропной однородной балки постоянного сечения при этих предположениях имеет вид

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}$

где $I$ - площадь момента инерции поперечного сечения, $A$ - площадь поперечного сечения, $G$ модуль сдвига , $k$ – поправочный коэффициент сдвига , и $q(x)$ – приложенная поперечная нагрузка. Для материалов с коэффициентами Пуассона ( $\nu$) близко к 0,3, поправочный коэффициент сдвига для прямоугольного сечения составляет примерно

$k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}$

Вращение ( $\varphi (x)$) нормали описывается уравнением

${\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}$

Изгибающий момент ( $M$) и поперечная сила ( $Q$) даны

$M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}$

Балки на упругом фундаменте

Балки на упругих основаниях можно объяснить согласно теориям Эйлера-Бернулли, Тимошенко или другим теориям изгиба. В некоторых применениях, таких как железнодорожные пути, фундаменты зданий и машин, корабли на воде, корни растений и т. д., балка, подвергающаяся нагрузкам, поддерживается на непрерывных упругих основаниях (т.е. непрерывные реакции, возникающие из-за внешней нагрузки, распределяются по длине луч)

Автомобиль пересекает мост (балка частично опирается на упругий фундамент, распределение изгибающего момента)

Динамический изгиб балок

Динамический изгиб балок, также известная как изгибные колебания балок, была впервые исследована Даниэлем Бернулли в конце 18 века. Уравнение движения колеблющейся балки Бернулли имело тенденцию переоценивать собственные частоты балок и было незначительно улучшено Рэлеем в 1877 году путем добавления вращения в средней плоскости. В 1921 году Стивен Тимошенко еще больше усовершенствовал теорию, включив влияние сдвига на динамическую реакцию изгибающихся балок. Это позволило использовать теорию для решения задач, связанных с высокими частотами вибрации, где динамическая теория Эйлера – Бернулли неадекватна. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко о динамическом изгибе балок продолжают широко использоваться инженерами.

Теория Эйлера – Бернулли

Основная статья: уравнение балки Эйлера – Бернулли

Уравнение Эйлера–Бернулли для динамического изгиба тонких изотропных однородных балок постоянного поперечного сечения под действием приложенной поперечной нагрузки. $q(x,t)$ является

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)$

где $E$ – модуль Юнга, $I$ - площадь момента инерции поперечного сечения, $w(x,t)$ – отклонение нейтральной оси балки, а $m$ — масса единицы длины балки.

Бесплатные вибрации

Для ситуации, когда поперечная нагрузка на балку отсутствует, уравнение изгиба принимает вид

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0$

Тогда свободные гармонические колебания балки можно выразить как

$w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)$

и уравнение изгиба можно записать как

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0$

Общее решение приведенного выше уравнения есть

${\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)$

где $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ являются константами и $\beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}$

Формы колебаний двутавра консольного
1-й боковой изгиб	1-й крутильный	1-й вертикальный изгиб
2-й боковой изгиб	2-й крутильный	2-й вертикальный изгиб

Timoshenko–Rayleigh theory

Main article: Timoshenko beam theory

В 1877 году Рэлей предложил улучшение динамической теории балки Эйлера-Бернулли, включив в нее эффект инерции вращения поперечного сечения балки. Тимошенко усовершенствовала эту теорию в 1922 году, добавив в уравнение пучка эффект сдвига. Сдвиговые деформации нормали к средней поверхности балки допускаются в теории Тимошенко – Рэлея.

Уравнение изгиба линейно-упругой изотропной однородной балки постоянного поперечного сечения при этих предположениях имеет вид

${\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

где $J={\tfrac {mI}{A}}$ – полярный момент инерции поперечного сечения, $m=\rho A$ - масса единицы длины балки, $\rho$ - плотность пучка, $A$ - площадь поперечного сечения, $G$ - модуль сдвига, а $k$ – поправочный коэффициент сдвига . Для материалов с коэффициентами Пуассона ( $\nu$) близко к 0,3, коэффициент поправки на сдвиг примерно равен

${\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}$

Бесплатные вибрации

Для свободных, гармонических колебаний уравнения Тимошенко–Рэлея принимают вид

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0$

Это уравнение можно решить, заметив, что все производные $w$ должен иметь одинаковую форму для сокращения и, следовательно, как решение формы $e^{kx}$ можно ожидать. Это наблюдение приводит к характеристическому уравнению

$\alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)$

Решения этого уравнения четвертой степени :

$k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}$

где

$z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}$

Тогда общее решение уравнения балки Тимошенко-Рэлея для свободных колебаний можно записать как

${\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}$

Квазистатический изгиб пластин.

Основная статья: Теория пластин

Деформация тонкой пластины с выделением смещения средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

Отличительной особенностью балок является то, что один из размеров намного больше двух других. Конструкция называется пластиной, если она плоская и один из ее размеров значительно меньше двух других. Существует несколько теорий, пытающихся описать деформацию и напряжение в пластине под действием приложенных нагрузок, две из которых широко используются. Это

• теория пластин Кирхгофа – Лява (также называемая классической теорией пластин)
• теория пластин Миндлина – Рейснера (также называемая теорией сдвига пластин первого порядка)

Теория пластин Кирхгофа – Лява.

Предположения теории Кирхгофа – Лява таковы.

• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются прямыми
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются нормальными к срединной поверхности
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Эти предположения подразумевают, что

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

где $\mathbf {u}$ – смещение точки пластины и $w^{0}$ - смещение средней поверхности.

Соотношения деформации-перемещения:

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Уравнения равновесия:

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$

где $q(x)$ – приложенная нагрузка, нормальная к поверхности пластины.

В терминах перемещений уравнения равновесия изотропной линейно-упругой пластины в отсутствие внешней нагрузки можно записать в виде

$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0$

В прямой тензорной записи

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Специальное предположение этой теории состоит в том, что нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми, но не обязательно нормальны к срединной поверхности после деформации. Перемещения пластины определяются выражением

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

где $\varphi _{\alpha }$ являются вращениями нормали.

Соотношения деформации-перемещения, вытекающие из этих предположений, имеют вид

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

где $\kappa$ – поправочный коэффициент сдвига.

Уравнения равновесия:

${\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}$

где

$Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}$

Динамический изгиб пластин

Основная статья: Теория пластин

Динамика тонких пластинок Кирхгофа

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, исследование стоячих волн и режимов колебаний. Уравнения, управляющие динамическим изгибом пластин Кирхгофа:

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}$

где для пластины с плотностью $\rho =\rho (x)$,

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}$

и

${\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 0, р = 2
• 
  режим к = 1, р = 2

См. также

• Изгибающий момент
• Гибочный станок (гибка плоского металла)
• Тормоз (гибка листового металла)
• Эффект жаровни
• Гибка пластин
• Гибка (металлообработка)
• Механика сплошных сред
• Контрафлексура
• Прогиб (инженерия)
• Гибкий подшипник
• Список моментов инерции площади
• Гибка труб

• Диаграмма сдвига и момента
• Прочность на сдвиг
• Теория сэндвича
• Вибрация
• Вибрация пластин

Внешние ссылки

• Формулы изгиба
• Напряжения и прогиб балки, таблицы прогиба балки