Модуль упругости

Модуль упругости (также известный как модуль упругости ) — это единица измерения сопротивления объекта или вещества упругой деформации (т. е. непостоянной), когда напряжение к нему прикладывается .

Определение

Модуль упругости объекта определяется как наклон его кривой растяжения в области упругой деформации: ^[1] Более жесткий материал будет иметь более высокий модуль упругости. Модуль упругости имеет вид:

\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}

где напряжение — это сила, вызывающая деформацию, деленная на площадь, к которой приложена сила, а деформация — это отношение изменения некоторого параметра, вызванного деформацией, к исходному значению параметра.

Поскольку деформация является безразмерной величиной, единицы измерения $\delta$ будут такими же, как единицы напряжения. ^[2]

Упругие константы и модули

Упругие константы — это особые параметры, которые количественно определяют жесткость материала в ответ на приложенные напряжения и имеют основополагающее значение для определения упругих свойств материалов. Эти константы образуют элементы матрицы жесткости в тензорной записи, которая связывает напряжение с деформацией посредством линейных уравнений в анизотропных материалах. Обычно обозначаемые как Cijkl _. , где i , j , k и l — направления координат, эти константы важны для понимания того, как материалы деформируются под различными нагрузками ^[3]

Виды модуля упругости

Указание способа измерения напряжения и деформации, включая направления, позволяет определить многие типы модулей упругости. Четыре основных из них:

Модуль Юнга ( E ) описывает упругость при растяжении и сжатии или тенденцию объекта деформироваться вдоль оси, когда вдоль этой оси действуют противоположные силы; оно определяется как отношение растягивающего напряжения к растягивающей деформации . Его часто называют просто модулем упругости .
Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или $\mu \,$ Второй параметр Ламе) описывает склонность объекта к сдвигу (деформация формы при постоянном объеме) под действием противодействующих сил; оно определяется как напряжение сдвига по сравнению с деформацией сдвига . Модуль сдвига является частью расчета вязкости .
Модуль объемного сжатия ( K ) описывает объемную эластичность или тенденцию объекта деформироваться во всех направлениях при равномерной нагрузке во всех направлениях; оно определяется как объемное напряжение по сравнению с объемной деформацией и является обратной величиной сжимаемости . Модуль объемного сжатия представляет собой расширение модуля Юнга на три измерения.
Модуль изгиба ( E _flex ) описывает склонность объекта изгибаться при кратковременном воздействии .

Двумя другими упругими модулями являются первый параметр Ламе , λ, и модуль P-волны , M , которые используются в таблице сравнения модулей, приведенной ниже. Однородные и изотропные (похожие во всех направлениях) материалы (твердые тела) имеют свои (линейные) упругие свойства, полностью описываемые двумя модулями упругости, и можно выбрать любую пару. Учитывая пару модулей упругости, все остальные модули упругости можно рассчитать по формулам, приведенным в таблице ниже в конце страницы.

Невязкие жидкости особенны тем, что они не могут выдерживать напряжение сдвига, а это означает, что модуль сдвига всегда равен нулю. Отсюда также следует, что модуль Юнга для этой группы всегда равен нулю.

В некоторых текстах модуль упругости называют константой упругости , а обратную величину называют модулем упругости .

Расчет по теории функционала плотности

Теория функционала плотности (ТПФ) предоставляет надежные методы для определения нескольких форм модулей упругости, которые характеризуют различные особенности реакции материала на механические напряжения. Используйте программное обеспечение ДПФ, такое как VASP , Quantum ESPRESSO или ABINIT . В целом, проведите тесты, чтобы гарантировать, что результаты не зависят от вычислительных параметров, таких как плотность сетки k-точки, энергия отсечки плоской волны и размер ячейки моделирования.

Модуль Юнга ( E ) — применяйте небольшие пошаговые изменения параметра решетки вдоль определенной оси и вычисляйте соответствующую реакцию напряжения с помощью ДПФ. Модуль Юнга затем рассчитывается как E = σ / ϵ , где σ — напряжение, а ϵ — деформация. ^[4]
1. Исходная структура: Начните с непринужденной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии (т. е. в состоянии минимальной энергии с нулевыми силами на атомах), прежде чем будут применены какие-либо деформации. ^[5]
2. Дополнительная одноосная деформация: примените небольшие дополнительные деформации к кристаллической решетке вдоль определенной оси. Эта деформация обычно одноосная , то есть она растягивает или сжимает решетку в одном направлении, сохраняя при этом другие размеры постоянными или периодическими.
3. Расчет напряжений. Для каждой напряженной конфигурации запустите расчет ДПФ, чтобы вычислить результирующий тензор напряжений. ^{[ необходимо уточнение ]}. Это включает в себя решение уравнений Кона-Шэма для определения плотности и энергии электронов в основном состоянии в напряженных условиях.
4. Кривая «напряжение-деформация» : постройте график зависимости расчетного напряжения от приложенной деформации, чтобы создать кривую «напряжение-деформация». Наклон начальной линейной части этой кривой дает модуль Юнга. Математически модуль Юнга E рассчитывается по формуле E = σ / ϵ , где σ — напряжение, а ϵ — деформация.
Модуль сдвига ( G )
1. Исходная структура: начните с непринужденной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии без остаточных сил . (т. е. состояние с минимальной энергией с нулевыми силами на атомах) до того, как будут применены какие-либо деформации.
2. Применение деформации сдвига: приложите к материалу небольшие приращения деформации сдвига. Сдвиговые деформации обычно представляют собой недиагональные компоненты тензора деформаций, влияющие на форму, но не на объем кристаллической ячейки. ^[6]
3. Расчет напряжения. Для каждой конфигурации с приложенной деформацией сдвига выполните расчет ДПФ, чтобы определить результирующий тензор напряжений.
4. Кривая зависимости напряжения сдвига от деформации сдвига : постройте график расчетного напряжения сдвига в зависимости от приложенной деформации сдвига для каждого приращения. Наклон кривой напряжения-деформации в ее линейной области дает модуль сдвига G = τ / γ , где τ — сдвиг. напряжение, а γ — приложенная деформация сдвига.
Объемный модуль ( К )
1. Исходная структура: начните с непринужденной структуры материала. Крайне важно, чтобы материал был полностью оптимизирован, гарантируя, что любые изменения в объеме происходят исключительно из-за приложенного давления.
2. Изменение объема: постепенно меняйте объем кристаллической ячейки , сжимая или расширяя ее. Обычно это делается путем равномерного масштабирования параметров решетки.
3. Расчет давления. Для каждого измененного объема выполните расчет ДПФ, чтобы определить давление, необходимое для поддержания этого объема. DFT позволяет рассчитывать тензоры напряжений, которые обеспечивают прямую меру внутреннего давления.
4. Кривая давление-объем : постройте график зависимости приложенного давления от результирующего изменения объема. Модуль объемного сжатия можно рассчитать по наклону этой кривой в линейно-упругой области. Модуль объемного сжатия определяется как K = − VdV / dP , где V — исходный объем, dP — изменение давления, а dV — изменение в объеме. ^[7]

См. также

Ссылки

^ Аскеланд, Дональд Р.; Пхуле, Прадип П. (2006). Наука и технология материалов (5-е изд.). Cengage Обучение. п. 198. ИСБН 978-0-534-55396-8 .
^ Пиво, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел; Девольф, Джон; Мазурек, Дэвид (2009). Механика материалов . МакГроу Хилл. п. 56 . ISBN 978-0-07-015389-9 .
^ Шрайбер, Эдвард; Андерсон, ОЛ; Сога, Наохиро (1974). Упругие константы и их измерение . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-055603-4 .
^ Аласфар, Рима Х.; Ази, Саид; Барт, Николас; Кочкодан, Виктор; Храйше, Марван; Коч, Муаммер (18 января 2022 г.). «Обзор моделирования модуля упругости и предела текучести полимеров и полимерных нанокомпозитов: влияние температуры, скорости нагружения и пористости» . Полимеры . 14 (3): 360. дои : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360 . ПМЦ 8838186 . ПМИД 35160350 .
^ Хади, Массачусетс; Христопулос, С.-РГ; Хронеос, А.; Накиб, Ш.; Ислам, АКМА (18.08.2022). «Точка зрения метода DFT на электронную структуру, механическое поведение, динамику решетки и дефектные процессы в первой MAX-фазе Sc2SnC на основе Sc» . Научные отчеты . 12 (1): 14037. doi : 10.1038/s41598-022-18336-z . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 9388654 . ПМИД 35982080 .
^ Ахмед, Разу; Махамудуджаман, Мэриленд; Афзал, штат Мэриленд Асиф; Ислам, г-н Саджидул; Ислам, РС; Накиб, Ш. (май 2023 г.). «Сравнительный анализ физических свойств некоторых бинарных карбидов переходных металлов XC (X = Nb, Ta, Ti) на основе метода DFT» . Журнал исследований материалов и технологий . 24 : 4808–4832. дои : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854 .
^ Чоудхари, Камаль; Чхон, Говун; Рид, Эван; Тавацца, Франческа (12 июля 2018 г.). «Упругие свойства объемных и низкоразмерных материалов с использованием функционала плотности Ван-дер-Ваальса» . Физический обзор B . 98 (1): 014107.arXiv : 1804.01033 . Бибкод : 2018PhRvB..98a4107C . дои : 10.1103/PhysRevB.98.014107 . ISSN 2469-9950 . ПМК 7067065 . ПМИД 32166206 .

Дальнейшее чтение

Харцуйкер, К.; Веллеман, Дж. В. (2001). Инженерная механика . Том 2. Спрингер. ISBN 978-1-4020-4123-5 .

Де Йонг, М.; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений» . Научные данные . 2 : 150009. Бибкод : 2013NatSD...2E0009D . дои : 10.1038/sdata.2015.9 . ПМЦ 4432655 . ПМИД 25984348 .

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейно-упругие материалы имеют упругие свойства, однозначно определяемые любыми двумя модулями из них; таким образом, учитывая любые два, любой другой из модулей упругости можно рассчитать по этим формулам, приведенным как для 3D-материалов (первая часть таблицы), так и для 2D-материалов (вторая часть).
3D-формулы	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс приводит к $\nu \geq 0$ . Знак минус приводит к $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D-формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] Аскеланд, Дональд Р.; Пхуле, Прадип П. (2006). Наука и технология материалов (5-е изд.). Cengage Обучение. п. 198. ИСБН 978-0-534-55396-8 .

[2] Пиво, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел; Девольф, Джон; Мазурек, Дэвид (2009). Механика материалов . МакГроу Хилл. п. 56 . ISBN 978-0-07-015389-9 .

[3] Шрайбер, Эдвард; Андерсон, ОЛ; Сога, Наохиро (1974). Упругие константы и их измерение . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-055603-4 .

[4] Аласфар, Рима Х.; Ази, Саид; Барт, Николас; Кочкодан, Виктор; Храйше, Марван; Коч, Муаммер (18 января 2022 г.). «Обзор моделирования модуля упругости и предела текучести полимеров и полимерных нанокомпозитов: влияние температуры, скорости нагружения и пористости» . Полимеры . 14 (3): 360. дои : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360 . ПМЦ 8838186 . ПМИД 35160350 .

[5] Хади, Массачусетс; Христопулос, С.-РГ; Хронеос, А.; Накиб, Ш.; Ислам, АКМА (18.08.2022). «Точка зрения метода DFT на электронную структуру, механическое поведение, динамику решетки и дефектные процессы в первой MAX-фазе Sc2SnC на основе Sc» . Научные отчеты . 12 (1): 14037. doi : 10.1038/s41598-022-18336-z . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 9388654 . ПМИД 35982080 .

[6] Ахмед, Разу; Махамудуджаман, Мэриленд; Афзал, штат Мэриленд Асиф; Ислам, г-н Саджидул; Ислам, РС; Накиб, Ш. (май 2023 г.). «Сравнительный анализ физических свойств некоторых бинарных карбидов переходных металлов XC (X = Nb, Ta, Ti) на основе метода DFT» . Журнал исследований материалов и технологий . 24 : 4808–4832. дои : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854 .

[7] Чоудхари, Камаль; Чхон, Говун; Рид, Эван; Тавацца, Франческа (12 июля 2018 г.). «Упругие свойства объемных и низкоразмерных материалов с использованием функционала плотности Ван-дер-Ваальса» . Физический обзор B . 98 (1): 014107.arXiv : 1804.01033 . Бибкод : 2018PhRvB..98a4107C . дои : 10.1103/PhysRevB.98.014107 . ISSN 2469-9950 . ПМК 7067065 . ПМИД 32166206 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]