Индексный эллипсоид

В кристаллооптике индексный эллипсоид (также известный как оптическая индикатриса) или иногда как диэлектрический эллипсоид ) представляет собой геометрическую конструкцию, которая кратко представляет показатели преломления и связанные с ними поляризации света в зависимости от ориентации волнового фронта в с двойным преломлением кристалле (при условии, что кристалл не демонстрирует оптического вращения ). Когда этот эллипсоид пересекается через его центр плоскостью, параллельной волновому фронту, полученное пересечение (называемое центральным сечением или диаметральным сечением ) представляет собой эллипс, большая и малая полуоси которого имеют длины, равные двум показателям преломления для этой ориентации волнового фронта. , и имеют направления соответствующих поляризаций, выраженные вектором смещения электрического D . Главные полуоси эллипсоида показателя преломления называются главными показателями преломления .

Из процедуры сечения следует, что каждая главная полуось эллипсоида обычно представляет собой не показатель преломления для распространения в направлении этой полуоси, а скорее показатель преломления для распространения, перпендикулярного этой полуоси, с вектором D , параллельным этой полуоси (и параллельно волновому фронту). Таким образом, направление распространения (нормальное к волновому фронту), к которому применяется каждый главный показатель преломления, находится в плоскости, перпендикулярной соответствующей главной полуоси.

Терминология

Эллипсоид показателя преломления не следует путать с поверхностью показателя преломления , радиус-вектор которого (от начала координат) в любом направлении действительно является показателем преломления для распространения в этом направлении; для двулучепреломляющей среды индексная поверхность представляет собой двулистную поверхность, два радиуса-вектора которой в любом направлении имеют длины, равные большой и малой полуосям диаметрального сечения индексного эллипсоида плоскостью, нормальной к этому направлению.

Если мы позволим $n_{a},n_{b},n_{c}$ обозначим главные полуоси эллипсоида индекса и выберем декартову систему координат, в которой эти полуоси находятся соответственно в $x$, $y$, и $z$ направлениях, уравнение эллипсоида индекса имеет вид

${\frac {x^{2}}{n_{a}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{b}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{c}^{2}}}=1\,.$ ( 1 )

Если эллипсоид индекса трехосный (то есть все его главные полуоси неравны), существуют две секущие плоскости, для которых диаметральное сечение сводится к кругу. Для волновых фронтов, параллельных этим плоскостям, разрешены все поляризации и они имеют одинаковый показатель преломления, следовательно, одинаковую скорость волны. Направления, нормальные к этим двум плоскостям, т. е. направления единой скорости волны для всех поляризаций, называются осями бинормали. или оптические оси , поэтому среду называют двуосной . Таким образом, как ни парадоксально, если эллипсоид индекса среды трехосный , то сама среда называется двухосной .

Если две главные полуоси индексного эллипсоида равны (в этом случае их общая длина называется обыкновенным индексом, а третья — необыкновенным индексом), эллипсоид сводится к сфероиду (эллипсоиду вращения), а две оптические оси сливаются, поэтому среду называют одноосной . Когда индексный эллипсоид сводится к сфероиду, построенная из него двухлистная индексная поверхность сводится к сфере и сфероиду, соприкасающимся на противоположных концах их общей оси, которая параллельна оси индексного эллипсоида; но главные оси сфероидального индексного эллипсоида и сфероидального листа индексной поверхности поменяны местами. в хорошо известном случае кальцита Например, указательный эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид , так что один лист указательной поверхности представляет собой сферу, касающуюся этого сплющенного сфероида на экваторе, в то время как другой лист указательной поверхности представляет собой вытянутую форму. сфероид, касающийся сферы в полюсах, с экваториальным радиусом (необыкновенным индексом), равным полярному радиусу сплюснутого сфероидального эллипсоида индекса.

Если все три главные полуоси индексного эллипсоида равны, он превращается в сферу: все диаметральные сечения индексного эллипсоида круглые, следовательно, все поляризации разрешены для всех направлений распространения с одинаковым показателем преломления для всех направлений. и индексная поверхность сливается с (сферическим) индексным эллипсоидом; Короче говоря, среда оптически изотропна . Кубические кристаллы обладают этим свойством. а также аморфные прозрачные среды, такие как стекло и вода.

История

Поверхность, аналогичная эллипсоиду преломления, может быть определена для скорости волны (нормальной к волновому фронту) вместо показателя преломления. Обозначим через n длину радиуса-вектора от начала координат до общей точки эллипсоида индекса. Тогда разделив уравнение ( 1 ) на n ² дает

${\frac {\cos ^{2}\xi }{n_{a}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\eta }{n_{b}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\zeta }{n_{c}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,,$ ( 2 )

где $\cos \xi$, $\cos \eta$, и $\cos \zeta$ - направляющие косинусы радиус-вектора. Но n также является показателем преломления волнового фронта, параллельного диаметральному сечению, радиус-вектор которого является большой или малой полуосью. Если этот волновой фронт имеет скорость $v$, у нас есть $n=c_{0}/v$, где $c_{0}$ это скорость света в вакууме. Для главных полуосей индексного эллипсоида, для которых n принимает значения $n_{a},n_{b},n_{c},$ позволять $v$ возьмем значения a,b,c соответственно так, чтобы $n_{a}=c_{0}/a,$  $n_{b}=c_{0}/b,$ и $n_{c}=c_{0}/c$. Сделав эти замены в ( 2 ) и сократив общий делитель $c_{0}^{2}$, мы получаем

$v^{2}=a^{2}\cos ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\eta +c^{2}\cos ^{2}\zeta \,.$ ( 3 )

Это уравнение было выведено Огюстеном-Жаном Френелем в январе 1822 года. Если $v$ - длина радиус-вектора, уравнение описывает поверхность, свойство которой состоит в том, что большая и малая полуоси любого диаметрального сечения имеют длины, равные волновым нормальным скоростям волновых фронтов, параллельных этому сечению, и направлениям того, что Френель назвал «колебания» (которые мы теперь называем колебаниями D ).

В то время как поверхность, описываемая ( 1 ), находится в индексном пространстве (в котором координаты являются безразмерными числами), поверхность, описываемая ( 3 ), находится в пространстве скоростей (в котором координаты имеют единицы скорости). Если первая поверхность имеет 2-ю степень, то вторая — 4-ю степень, в чем можно убедиться, переопределив $x,y,z$ как компоненты скорости и положив $\cos \xi =x/v$, и т. д.; таким образом, последняя поверхность ( 3 ) обычно представляет собой не эллипсоид, а овал другого типа . И как эллипсоид индекса порождает поверхность индекса, так и поверхность ( 3 ) посредством того же процесса генерирует то, что мы называем поверхностью нормальной скорости . Следовательно, поверхность ( 3 ) можно было бы разумно назвать «овалоидом нормальной скорости». Френель, однако, назвал ее поверхностью упругости , поскольку он получил ее, предположив, что световые волны представляют собой поперечные упругие волны, что среда имеет три перпендикулярных направления, в которых смещение молекулы создает восстанавливающую силу в точно противоположном направлении, и что восстанавливающая сила, возникающая из-за векторной суммы смещений, была векторной суммой восстанавливающих сил, возникающих из-за отдельных перемещений.

Френель вскоре понял, что эллипсоид, построенный на тех же главных полуосях, что и поверхность упругости, имеет такое же отношение к лучевым скоростям, какое поверхность упругости имеет к нормальным волновым скоростям. Эллипсоид Френеля теперь называют лучевым эллипсоидом . Таким образом, говоря современным языком, лучевой эллипсоид генерирует лучевые скорости, так же как индексный эллипсоид генерирует показатели преломления. Большая и малая полуоси диаметрального сечения лучевого эллипсоида находятся в разрешенных направлениях поля вектора E. электрического

Термин «индексная поверхность» был введен Джеймсом МакКаллахом в 1837 году. В предыдущей статье, прочитанной в 1833 году, МакКуллах назвал эту поверхность «поверхностью преломления» и показал, что она образована большой и малой полуосями диаметрального сечения эллипсоида, главные полуоси которого обратно пропорциональны таковым у эллипсоида Френеля. , и который МакКалла позже назвал «эллипсоидом индексов». В 1891 году Лазарус Флетчер назвал этот эллипсоид оптической индикатрисой .

Электромагнитная интерпретация

Вывод эллипсоида индекса и его порождающего свойства из теории электромагнетизма нетривиален. Однако, зная эллипсоид индекса, мы можем легко связать его параметры с электромагнитными свойствами среды.

Скорость света в вакууме равна $$c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,$$где $\mu _{0}$ и $\epsilon _{0}$ — соответственно магнитная проницаемость и электрическая проницаемость вакуума. Для прозрачной материальной среды мы все же можем обоснованно предположить, что магнитная проницаемость равна $\mu _{0}$ (особенно на оптических частотах), но $\epsilon _{0}$ должен быть заменен на $\epsilon _{r}\epsilon _{0}\;\!,$ где $\epsilon _{r}$— относительная диэлектрическая проницаемость (также называемая диэлектрической проницаемостью ), так что скорость волны становится $$v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}\,.$$Разделение $c_{0}$ к $v$, получим показатель преломления: $$n={\sqrt {\epsilon _{r}}}\,.$$Этот вывод относится $\epsilon _{r}$ как скаляр, справедливый в изотропной среде. В анизотропной среде результат справедлив только для тех комбинаций направления распространения и поляризации, которые избегают анизотропии, т. е. для тех случаев, когда вектор электрического смещения D параллелен вектору электрического поля E , как в изотропной среде. Ввиду симметрии эллипсоида индекса это должны быть случаи, когда D находится в направлении одной из осей. Итак, обозначая относительные диэлектрические проницаемости в $x$, $y$, и $z$ направления по $\epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}$ (так называемые главные диэлектрические проницаемости ), и напоминая, что $n_{a},n_{b},n_{c}$ обозначим показатели преломления для этих направлений D , мы должны иметь $$n_{a}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{b}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{c}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,$$что указывает на то, что полуоси эллипсоида индекса являются квадратными корнями из главных диэлектрических проницаемостей. Подставив эти выражения в ( 1 ), получим уравнение эллипсоида индекса в альтернативном виде $${\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,$$что объясняет, почему его также называют диэлектрическим эллипсоидом.

См. также

• Двойное лучепреломление
• Комплексный показатель преломления
• Кристаллическая оптика
• ДЕНЬ Д
• Математическое описание непрозрачности

Библиография

• М. Борн и Э. Вольф, 2002, Принципы оптики , 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 (перепечатано с исправлениями, 2002 г.), ISBN   978-0-521-64222-4 .
• А. Френель (изд. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), 1868, Полное собрание сочинений Огюстена Френеля , Париж: Imprimerie Ipériale (3 тома, 1866–70), том. 2 (1868 г.) .
• Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN   0-07-032330-5 .
• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц (тр. Дж. Б. Сайкс и Дж. С. Белл), 1960, Электродинамика сплошных сред (том 8 курса теоретической физики ), Лондон: Pergamon Press.
• А. Ярив и П. Йе, 1984, Оптические волны в кристаллах: распространение и контроль лазерного излучения , Нью-Йорк: Wiley, ISBN   0-471-09142-1 .
• Ф. Зернике и Дж. Э. Мидуинтер, 1973, Прикладная нелинейная оптика , Нью-Йорк: Wiley (перепечатано Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 2006).