Математическое описание непрозрачности

Когда электромагнитная волна проходит через среду, в которой она затухает (это называется « непрозрачной » или « затухающей » средой), она подвергается экспоненциальному затуханию, как описано законом Бера-Ламберта . Однако существует множество возможных способов охарактеризовать волну и определить, насколько быстро она затухает. В этой статье описываются математические взаимосвязи между:

Обратите внимание, что во многих из этих случаев обычно используется множество противоречивых определений и соглашений. Эта статья не обязательно является всеобъемлющей или универсальной.

Фон: незатухающая волна

Описание

Электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении + z, условно описывается уравнением: $\mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,$ где

E ₀ — вектор в плоскости x — y в единицах электрического поля (в общем, вектор представляет собой комплексный вектор , позволяющий учитывать все возможные поляризации и фазы);
ω – угловая частота волны;
k — угловое волновое число волны;
Re указывает действительную часть ;
— е число Эйлера .

Длина волны по определению $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$ Для данной частоты длина волны электромагнитной волны зависит от материала, в котором она распространяется. Длина волны в вакууме (длина волны, которую имела бы волна этой частоты, если бы она распространялась в вакууме) равна $\lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},$ где с — скорость света в вакууме.

При отсутствии затухания показатель преломления (также называемый показателем преломления ) представляет собой отношение этих двух длин волн, т. е. $n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.$ Интенсивность : волны пропорциональна квадрату амплитуды, усредненной по времени за множество колебаний волны, что составляет $I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.$

Обратите внимание, что эта интенсивность не зависит от местоположения z , что является признаком того, что эта волна не затухает с расстоянием. Мы определяем I ₀ равным этой постоянной интенсивности: $I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.$

Комплексно-сопряженная неоднозначность

Потому что $\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,$ любое выражение можно использовать взаимозаменяемо. ^[1] Обычно физики и химики используют соглашение слева (с e ^{− iωt}), а инженеры-электрики используют обозначение справа (с e ^{+ iωt}, например см. электрический импеданс ). Это различие не имеет значения для незатухающей волны, но становится актуальным в некоторых случаях, описанных ниже. Например, существует два определения комплексного показателя преломления : одно с положительной мнимой частью и одно с отрицательной мнимой частью, полученные из двух разных соглашений. ^[2] Эти два определения являются комплексно сопряженными друг с другом.

Коэффициент затухания

Один из способов включить затухание в математическое описание волны — использовать коэффициент затухания : ^[3] $\mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,$ где α — коэффициент затухания.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет: $I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},$ т.е. $I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.$

Коэффициент затухания, в свою очередь, просто связан с несколькими другими величинами:

коэффициент поглощения по существу (но не всегда) является синонимом коэффициента ослабления; см. в коэффициенте затухания ; подробности
коэффициент молярного поглощения или коэффициент молярного поглощения , также называемый молярным коэффициентом поглощения , представляет собой коэффициент ослабления, разделенный на молярность (и обычно умноженный на ln(10), т.е. десятичный); см . в законе Бера-Ламберта и молярной поглощательной способности ; подробности
коэффициент массового затухания , также называемый коэффициентом массового затухания , представляет собой коэффициент ослабления, разделенный на плотность; см. в коэффициенте массового затухания ; Подробности
сечение поглощения и сечение рассеяния количественно связаны с коэффициентом ослабления; см. в сечениях поглощения и сечения рассеяния ; Подробности
Коэффициент ослабления также иногда называют непрозрачностью ; см . непрозрачность (оптика) .

Глубина проникновения и глубина кожи

Глубина проникновения

Очень похожий подход использует глубину проникновения : ^[4] ${\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},\end{aligned}}$ где δ _pen – глубина проникновения.

Глубина кожи

Глубина скин-слоя определяется так, чтобы волна удовлетворяла следующим условиям: ^[5]^[6] ${\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},\end{aligned}}$ где δ _скин — глубина скин-слоя.

Физически глубина проникновения — это расстояние, которое может пройти волна, прежде чем ее интенсивность уменьшится в $1/ e \approx 0,37$ раза . Глубина скин-слоя — это расстояние, которое волна может преодолеть, прежде чем ее амплитуда уменьшится в тот же самый раз.

Коэффициент поглощения связан с глубиной проникновения и глубиной кожи соотношением $\alpha =1/\delta _{\mathrm {pen} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.$

Комплексное угловое волновое число и постоянная распространения

Комплексное угловое волновое число

Другой способ учета затухания — использовать комплексное угловое волновое число : ^[5]^[7] $\mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,$ где k - комплексное угловое волновое число.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет: $I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},$ т.е. $I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.$

Следовательно, сравнивая это с подходом коэффициента поглощения, ^[3] ${\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=\alpha /2.\end{aligned}}$

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью некоторые авторы используют определение комплексного сопряжения : ^[8] ${\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=-\alpha /2.\end{aligned}}$

Константа распространения

Близко связанный подход, особенно распространенный в теории линий передачи , использует константу распространения : ^[9]^[10] $\mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,$ где γ — постоянная распространения.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет: $I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},$ т.е. $I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.$

При сравнении двух уравнений константа распространения и комплексное угловое волновое число связаны соотношением: $\gamma =i{\underline {k}}^{*},$ где * обозначает комплексное сопряжение. $\operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.$ Эту величину еще называют константой затухания , ^[8]^[11] иногда обозначается α . $\operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.$ Эта величина также называется фазовой постоянной , иногда обозначаемой β . ^[11]

К сожалению, обозначения не всегда совпадают. Например, ${\underline {k}}$ иногда называют «константой распространения» вместо γ , которая меняет местами действительную и мнимую части. ^[12]

Комплексный показатель преломления

Напомним, что в неослабляющих средах показатель преломления и угловое волновое число связаны соотношением: $n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},$ где

n – показатель преломления среды;
с — скорость света в вакууме;
v — скорость света в среде.

Таким образом, комплексный показатель преломления можно определить через комплексное угловое волновое число, определенное выше: ${\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.$ где n — показатель преломления среды.

Другими словами, волна должна удовлетворять $\mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.$

Тогда интенсивность волны удовлетворяет: $I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },$ т.е. $I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.$

По сравнению с предыдущим разделом мы имеем $\operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.$ Эту величину часто (неоднозначно) называют просто показателем преломления . $\operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.$ Эта величина называется коэффициентом экстинкции и обозначается κ .

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение, где (пока положительный) коэффициент экстинкции равен минус мнимой части ${\underline {n}}$ . ^[2]^[13]

Комплексная электрическая проницаемость

В неослабляющих средах электрическая проницаемость и показатель преломления связаны соотношением: $n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},$ где

ц — магнитная проницаемость среды;
ε — электрическая проницаемость среды.
«СИ» относится к системе единиц СИ , а «СГС» относится к гауссовским единицам СГС .

В ослабляющих средах используется то же соотношение, но диэлектрическая проницаемость может быть комплексным числом , называемым комплексной электрической диэлектрической проницаемостью : ^[3] ${\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},$ где ε — комплексная электрическая проницаемость среды.

Возведение обеих сторон в квадрат и использование результатов предыдущего раздела дает: ^[7] ${\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{aligned}}$

проводимость переменного тока

Другой способ учета затухания заключается в использовании электропроводности следующим образом. ^[14]

Одним из уравнений, управляющих распространением электромагнитных волн, является закон Максвелла-Ампера : $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},$ где $\mathbf {D}$ – поле смещения .

Включение закона Ома и определение (реальной) диэлектрической проницаемости $\nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},$ где σ — (реальная, но зависящая от частоты) электропроводность, называемая переменного тока проводимостью .

При синусоидальной зависимости от времени всех величин, т.е. ${\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}$ результат $\nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.$

Если текущий $\mathbf {J_{f}}$ не были включены явно (через закон Ома), а только неявно (через комплексную диэлектрическую проницаемость), величина в скобках была бы просто комплексной электрической диэлектрической проницаемостью. Поэтому, ${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.$ По сравнению с предыдущим разделом, проводимость переменного тока удовлетворяет $\sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.$

Примечания

^ MIT OpenCourseWare 6.007 Дополнительные примечания: Соглашения о знаках в электромагнитных (ЭМ) волнах
^ Перейти обратно: ^а ^б Определение комплексного показателя преломления с положительной мнимой частью см. в разделе « Оптические свойства твердых тел » Марка Фокса, с. 6 . Определение комплексного показателя преломления с отрицательной мнимой частью см. в Справочнике по инфракрасным оптическим материалам Пола Клочека, стр. 588 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гриффитс, раздел 9.4.3.
^ Сборник химической терминологии ИЮПАК
^ Перейти обратно: ^а ^б Гриффитс, раздел 9.4.1.
^ Джексон, Раздел 5.18A
^ Перейти обратно: ^а ^б Джексон, раздел 7.5.B
^ Перейти обратно: ^а ^б Лифанте, Хинес (2003). Интегрированная фотоника . п. 35. ISBN 978-0-470-84868-5 .
^ «Константа распространения», в глоссарии ATIS Telecom, 2007 г.
^ П. У. Хоукс; Б. Казань (27 марта 1995 г.). Adv Imaging и электронная физика . Том. 92. с. 93. ИСБН 978-0-08-057758-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б С. Шиванагараджу (1 сентября 2008 г.). Передача и распределение электроэнергии . п. 132. ИСБН 9788131707913 .
^ См., например, Энциклопедию лазерной физики и техники.
^ Панкове, с. 87–89
^ Джексон, раздел 7.5C

Ссылки

Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х .
Гриффитс, Дэвид Дж . (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х .
Дж. И. Панькове (1971). Оптические процессы в полупроводниках . Нью-Йорк: Dover Publications Inc.

[signconventions-1] MIT OpenCourseWare 6.007 Дополнительные примечания: Соглашения о знаках в электромагнитных (ЭМ) волнах

[refractiveindexconjugate-2] Перейти обратно: ^а ^б Определение комплексного показателя преломления с положительной мнимой частью см. в разделе « Оптические свойства твердых тел » Марка Фокса, с. 6 . Определение комплексного показателя преломления с отрицательной мнимой частью см. в Справочнике по инфракрасным оптическим материалам Пола Клочека, стр. 588 .

[Griffiths9.4.3-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гриффитс, раздел 9.4.3.

[4] Сборник химической терминологии ИЮПАК

[Griffiths9.4.1-5] Перейти обратно: ^а ^б Гриффитс, раздел 9.4.1.

[Jackson5.18A-6] Джексон, Раздел 5.18A

[Jackson7.5B-7] Перейти обратно: ^а ^б Джексон, раздел 7.5.B

[Lifante35-8] Перейти обратно: ^а ^б Лифанте, Хинес (2003). Интегрированная фотоника . п. 35. ISBN 978-0-470-84868-5 .

[9] «Константа распространения», в глоссарии ATIS Telecom, 2007 г.

[10] П. У. Хоукс; Б. Казань (27 марта 1995 г.). Adv Imaging и электронная физика . Том. 92. с. 93. ИСБН 978-0-08-057758-6 .

[Sivanagaraju132-11] Перейти обратно: ^а ^б С. Шиванагараджу (1 сентября 2008 г.). Передача и распределение электроэнергии . п. 132. ИСБН 9788131707913 .

[12] См., например, Энциклопедию лазерной физики и техники.

[13] Панкове, с. 87–89

[Jackson7.5C-14] Джексон, раздел 7.5C

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]