Теория Дондера-Вейля

В математической физике теория Де Дондера-Вейля представляет собой обобщение гамильтонова формализма и вариационного исчисления классической теории поля в пространстве-времени , которое рассматривает координаты пространства и времени на равных. В этой рамках гамильтонов формализм в механике обобщается на теорию поля таким образом, что поле представляется как система, изменяющаяся как в пространстве, так и во времени. Это обобщение отличается от канонического гамильтонова формализма в теории поля, который по-разному рассматривает переменные пространства и времени и описывает классические поля как бесконечномерные системы, развивающиеся во времени.

Уравнения Дондера – Вейля:

\partial p_{a}^{i}/\partial x^{i}=-\partial H/\partial y^{a}

\partial y^{a}/\partial x^{i}=\partial H/\partial p_{a}^{i}

Формулировка теории поля Де Дондера – Вейля

Теория Де Дондера-Вейля основана на замене переменных, известной как преобразование Лежандра . Пусть х ^я быть координатами пространства-времени , для i = 1 до n (где n = 4 представляет 3 + 1 измерения пространства и времени), а y ^а полевые переменные, для a = 1 до m и L плотность лагранжиана

L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})

С полиимпульсами p ^я_{определяется} как

p_{a}^{i}=\partial L/\partial (\partial _{i}y^{a})

и функция Гамильтона Де Дондера–Вейля H, определенная как

H=p_{a}^{i}\partial _{i}y^{a}-L

уравнения Де Дондера – Вейля : ^{[ 1 ]}

\partial p_{a}^{i}/\partial x^{i}=-\partial H/\partial y^{a}\,,\,\partial y^{a}/\partial x^{i}=\partial H/\partial p_{a}^{i}

Эта гамильтонова форма уравнений поля Де Дондера-Вейля является ковариантной и эквивалентна уравнениям Эйлера-Лагранжа, когда преобразование Лежандра к переменным p ^я_a и H не являются сингулярными. Теория представляет собой формулировку ковариантной гамильтоновой теории поля , которая отличается от канонического гамильтонова формализма и при n = 1 сводится к гамильтоновой механике (см. также принцип действия в вариационном исчислении ).

Герман Вейль в 1935 году разработал теорию Гамильтона-Якоби для теории Де Дондера-Вейля. ^{[ 2 ]}

Аналогично гамильтонову формализму в механике, сформулированному с использованием симплектической геометрии фазового пространства Теорию Де Дондера-Вейля можно сформулировать с использованием мультисимплектической геометрии или полисимплектической геометрии и геометрии реактивных пучков .

Обобщение скобок Пуассона на теорию Де Дондера – Вейля. и представление уравнений Де Дондера–Вейля в терминах обобщенных скобок Пуассона, удовлетворяющих алгебре Герстенхабера был найден Канатчиковым в 1993 году. ^{[ 3 ]}

История

Формализм, ныне известный как теория Де Дондера – Вейля (ДВ), был разработан Теофилем Де Дондером. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} и Герман Вейль . Герман Вейль сделал свое предложение в 1934 году, вдохновленный работой Константина Каратеодори , которая, в свою очередь, была основана на работах Вито Вольтерры . С другой стороны, работа Де Дондера началась с теории интегральных инвариантов Эли Картана . ^{[ 6 ]} Теория Де Дондера-Вейля была частью вариационного исчисления с 1930-х годов и первоначально нашла очень мало применений в физике. Недавно он был применен в теоретической физике в контексте квантовой теории поля. ^{[ 7 ]} и квантовая гравитация . ^{[ 8 ]}

В 1970 году Енджей Снятицкий, автор книги «Геометрическое квантование и квантовая механика» , разработал инвариантную геометрическую формулировку струйных пучков , основываясь на работах Де Дондера и Вейля. ^{[ 9 ]} В 1999 году Игорь Канатчиков показал, что ковариантные гамильтоновы поля Де Дондера – Вейля могут быть сформулированы в терминах матриц Даффина – Кеммера – Петио . ^{[ 10 ]}

См. также

Дальнейшее чтение

Избранные статьи о ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОЛЯХ, переведенные и отредактированные Д. Х. Дельфенихом. Часть 1 [2] Архивировано 21 октября 2016 г. в Wayback Machine , Часть 2 [3] Архивировано 20 октября 2016 г. в Wayback Machine.
Х. А. Каструп, Канонические теории лагранжевых динамических систем в физике, Physics Reports, Volume 101, Issues 1–2, Pages 1–167 (1983).
Марк Дж. Готей, Джеймс Айзенберг, Джерролд Э. Марсден, Ричард Монтгомери: «Карты импульса и классические релятивистские поля. Часть I: Ковариантная теория поля» arXiv : Physics/9801019
Корнелиус Пауфлер, Хартманн Ремер: уравнения Де Дондера – Вейля и мультисимплектическая геометрия. Архивировано 15 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Reports on Mathematical Physics, vol. 49 (2002), вып. 2–3, стр. 325–334.
Кшиштоф Маурин: Наследие Римана: римановы идеи в математике и физике , Часть II, Глава 7.16 Теории поля для вариационного исчисления кратных интегралов , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-4636-X , 1997, с. 482 и далее.

Ссылки

^ Ханно Рунд, «Теория Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении: ее роль в математике и физике», Ван Ностранд, Рейнхольд, 1966.
^ Герман Вейль, «Геодезические поля в вариационном исчислении кратных интегралов», Ann. Математика. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
^ Игорь В. Канатчиков: О канонической структуре ковариантной гамильтоновой формулировки Де Дондера – Вейля теории поля I. Градуированные скобки Пуассона и уравнения движения , arXiv: hep-th/9312162 (подано 20 декабря 1993 г.).
^ Теофиль Де Дондер, «Инвариантная теория вариационного исчисления», Готье-Виллар, 1930. [1]
^ Фредерик Элейн: гамильтоновы формализмы для многомерного вариационного исчисления и теории возмущений В книге Хаим Брезис, Феликс Э. Браудер, Аббас Бахри, Серджиу Кляйнерман, Майкл Фогелиус (реклама): Некомпактные проблемы на стыке геометрии, анализа и топологии , Американское математическое общество, 2004, стр. 127–148, стр. 131 , ISBN 0-8218-3635-8 ,
^ Роджер Белявски, Кевин Хьюстон , Мартин Спейт: Вариационные задачи в дифференциальной геометрии , Серия конспектов лекций Лондонского математического общества, вып. 394, Университет Лидса, 2009 г., ISBN 978-0-521-28274-1 , с. 104 ф.
^ Игорь В. Канатчиков: Теория Де Дондера – Вейля и гиперкомплексное расширение квантовой механики до теории поля , arXiv: hep-th/9810165 (отправлено 21 октября 1998 г.)
^ Игорь В. Канатчиков: Доканоническая квантовая гравитация: квантование без пространственно-временного разложения , arXiv:gr-qc/0012074 (отправлено 20 декабря 2000 г.)
^ Еджей Снятицкий, 1970. Цитируется по: Иветт Косманн-Шварцбах : Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в 20 веке , Springer, 2011, ISBN 978-0-387-87867-6 , с. 111
^ Игорь В. Канатчиков: О формулировке Даффина-Кеммера-Петио ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля , arXiv:hep-th/9911175 (отправлено 23 ноября 1999 г.)

[1] Ханно Рунд, «Теория Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении: ее роль в математике и физике», Ван Ностранд, Рейнхольд, 1966.

[2] Герман Вейль, «Геодезические поля в вариационном исчислении кратных интегралов», Ann. Математика. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645

[3] Игорь В. Канатчиков: О канонической структуре ковариантной гамильтоновой формулировки Де Дондера – Вейля теории поля I. Градуированные скобки Пуассона и уравнения движения , arXiv: hep-th/9312162 (подано 20 декабря 1993 г.).

[4] Теофиль Де Дондер, «Инвариантная теория вариационного исчисления», Готье-Виллар, 1930. [1]

[5] Фредерик Элейн: гамильтоновы формализмы для многомерного вариационного исчисления и теории возмущений В книге Хаим Брезис, Феликс Э. Браудер, Аббас Бахри, Серджиу Кляйнерман, Майкл Фогелиус (реклама): Некомпактные проблемы на стыке геометрии, анализа и топологии , Американское математическое общество, 2004, стр. 127–148, стр. 131 , ISBN 0-8218-3635-8 ,

[6] Роджер Белявски, Кевин Хьюстон , Мартин Спейт: Вариационные задачи в дифференциальной геометрии , Серия конспектов лекций Лондонского математического общества, вып. 394, Университет Лидса, 2009 г., ISBN 978-0-521-28274-1 , с. 104 ф.

[7] Игорь В. Канатчиков: Теория Де Дондера – Вейля и гиперкомплексное расширение квантовой механики до теории поля , arXiv: hep-th/9810165 (отправлено 21 октября 1998 г.)

[8] Игорь В. Канатчиков: Доканоническая квантовая гравитация: квантование без пространственно-временного разложения , arXiv:gr-qc/0012074 (отправлено 20 декабря 2000 г.)

[9] Еджей Снятицкий, 1970. Цитируется по: Иветт Косманн-Шварцбах : Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в 20 веке , Springer, 2011, ISBN 978-0-387-87867-6 , с. 111

[10] Игорь В. Канатчиков: О формулировке Даффина-Кеммера-Петио ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля , arXiv:hep-th/9911175 (отправлено 23 ноября 1999 г.)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]