Уравнение Гамильтона – Якоби

В физике уравнение Гамильтона-Якоби , названное в честь Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Якоби Якоби , представляет собой альтернативную формулировку классической механики , эквивалентную другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и механика Гамильтона .

Уравнение Гамильтона-Якоби представляет собой формулировку механики, в которой движение частицы можно представить как волну. В этом смысле она выполнила давнюю цель теоретической физики (по крайней мере, Иоганна Бернулли в восемнадцатом веке) найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, которому следуют механические системы, похоже, но не идентично уравнению Шрёдингера , описанному ниже; по этой причине уравнение Гамильтона-Якоби считается «наиболее близким подходом» классической механики к квантовой механике . Качественная форма этой связи называется оптико-механической аналогией Гамильтона .

В математике уравнение Гамильтона–Якоби является необходимым условием, описывающим экстремальную геометрию в обобщениях задач вариационного исчисления . Его можно понимать как частный случай уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана из динамического программирования .

Обзор

Уравнение Гамильтона – Якоби представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка.

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\!\!\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).$

для системы частиц в координатах ⁠ $\mathbf {q}$⁠ . Функция $H$ системы, - гамильтониан задающий энергию системы. Решением уравнения является функционал действия , ⁠ $S$⁠ , называлась основной функцией Гамильтона в старых учебниках . Решение может быть связано с системой лагранжиана $\ {\mathcal {L}}\$ неопределенным интегралом вида, используемого в принципе наименьшего действия : $$\ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~$$Геометрические поверхности постоянного действия перпендикулярны траекториям системы, создавая вид динамики системы, подобный волновому фронту. Это свойство уравнения Гамильтона – Якоби связывает классическую механику с квантовой механикой.

Математическая формулировка

Обозначения

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как $\mathbf {q}$ представляют собой список $N$ обобщенные координаты , $$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})$$

Точка над переменной или списком означает производную по времени (см. обозначения Ньютона ). Например, $${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.$$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками с одинаковым количеством координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, например: $$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$$

Функционал действия (он же главная функция Гамильтона)

Определение

Пусть матрица Гессе ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ быть обратимым. Отношение $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,$$показывает, что уравнения Эйлера–Лагранжа образуют $n\times n$ система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Инвертирование матрицы $H_{\cal {L}}$ превращает эту систему в $${\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.$$

Пусть время мгновение $t_{0}$ и точка $\mathbf {q} _{0}\in M$ в пространстве конфигурации быть исправлено. Теоремы существования и единственности гарантируют, что для любого $\mathbf {v} _{0},$ задача начального значения с условиями $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ и ${\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}$ имеет локально единственное решение $\gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).$ Кроме того, пусть существует достаточно малый интервал времени $(t_{0},t_{1})$ такие, что экстремали с разными начальными скоростями $\mathbf {v} _{0}$ не пересекались бы в $M\times (t_{0},t_{1}).$ Последнее означает, что для любого $\mathbf {q} \in M$ и любой $t\in (t_{0},t_{1}),$ может быть не более одного экстремума $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ для чего $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}$ и $\gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .$ Замена $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ в функционал действия приводит к главной функции Гамильтона (HPF)

$S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,$

где

• $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),$
• $\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},$
• $\gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .$

Формула импульса

Импульсы величины определяются как ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ В этом разделе показано, что зависимость $p_{i}$ на $\mathbf {\dot {q}}$ исчезает, как только становится известен HPF.

Действительно, пусть время мгновение $t_{0}$ и точка $\mathbf {q} _{0}$ в пространстве конфигурации быть исправлено. На каждый момент времени $t$ и точка $\mathbf {q} ,$ позволять $\gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})$ быть (единственной) экстремалью из определения главной функции Гамильтона ⁠ $S$⁠ . Вызов $\mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}$ скорость в ⁠ $\tau =t$⁠ . Затем

${\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.$

Доказательство

Хотя приведенное ниже доказательство предполагает, что конфигурационное пространство является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n},$ лежащая в основе методика одинаково применима к произвольным пространствам . В контексте этого доказательства каллиграфическая буква ${\cal {S}}$ обозначает функционал действия, а курсив $S$ Основная функция Гамильтона.

Шаг 1. Пусть $\xi =\xi (t)$ быть путем в пространстве конфигурации и $\delta \xi =\delta \xi (t)$ векторное поле вдоль $\xi$. (Для каждого $t,$ вектор $\delta \xi (t)$ называется возмущением , бесконечно малым изменением или виртуальным перемещением механической системы в точке $\xi (t)$). Напомним, что вариация $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]$ действия ${\cal {S}}$ в точку $\xi$ в направлении $\delta \xi$ определяется формулой $$\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},$$где следует заменить $q^{i}=\xi ^{i}(t)$ и ${\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)$ после вычисления частных производных в правой части. (Эта формула следует из определения производной Гато путем интегрирования по частям).

Предположим, что $\xi$ является экстремалом. С $\xi$ теперь удовлетворяет уравнениям Эйлера–Лагранжа, интегральный член исчезает. Если $\xi$отправная точка $\mathbf {q} _{0}$ фиксируется, то по той же логике, которая использовалась для вывода уравнений Эйлера – Лагранжа, $\delta \xi (t_{0})=0.$ Таким образом, $$\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).$$

Шаг 2. Пусть $\gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ быть (единственным) экстремалом из определения HPF, $\delta \gamma =\delta \gamma (\tau )$ векторное поле вдоль $\gamma ,$ и $\gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ вариант $\gamma$ «совместим» с $\delta \gamma .$ Говоря точными словами, $\gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,$${\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,$ $\gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.$

По определению производной HPF и Гато, $$\delta {\cal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).$$

Здесь мы учли, что $\mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})$ и уронил $t_{0}$ для компактности.

Шаг 3. Теперь заменим $\xi =\gamma$ и $\delta \xi =\delta \gamma$ в выражение для $\delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]$ из шага 1 и сравните результат с формулой, полученной на шаге 2. Тот факт, что для $t>t_{0},$ векторное поле $\delta \gamma$ было выбрано произвольно, завершает доказательство.

Формула

Учитывая гамильтониан $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ В механической системе уравнение Гамильтона – Якоби представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка для главной функции Гамильтона. $S$,

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).$

Вывод

Для экстремала $\xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),$ где $\mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}$ - начальная скорость (см. обсуждение перед определением HPF), $${\cal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.$$

Из формулы для $p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)$ и координатное определение гамильтониана $$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),$$с $\mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ удовлетворяющее (однозначно решаемому для $\mathbf {\dot {q}} )$ уравнение ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}$ получать $${\frac {\partial S}{\partial t}}={\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right),$$где $\mathbf {q} =\xi (t)$ и $\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).$

Альтернативно, как описано ниже, уравнение Гамильтона – Якоби можно вывести из гамильтоновой механики путем рассмотрения $S$ как производящая функция классического канонического преобразования гамильтониана $$H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).$$

Сопряженные импульсы соответствуют первым производным $S$ относительно обобщенных координат $$p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.$$

В качестве решения уравнения Гамильтона–Якоби главная функция содержит $N+1$ неопределенные константы, первые $N$ из них обозначены как $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$, и последний, полученный в результате интеграции ${\frac {\partial S}{\partial t}}$.

Отношения между $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$ затем описывает орбиту в фазовом пространстве через эти константы движения . Кроме того, величины $$\beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N$$также являются константами движения, и эти уравнения можно обратить, чтобы найти $\mathbf {q}$ как функция всех $\alpha$ и $\beta$ константы и время.

Сравнение с другими формулировками механики.

Уравнение Гамильтона – Якоби представляет собой одно уравнение в частных производных первого порядка для функции $N$ обобщенные координаты $q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}$ и время $t$. Обобщенные импульсы не появляются, кроме как в виде производных $S$, классическое действие .

Для сравнения: в эквивалентных уравнениях движения Эйлера–Лагранжа лагранжевой механики сопряженные импульсы также не появляются; однако эти уравнения представляют систему собой $N$, обычно уравнения второго порядка для эволюции во времени обобщенных координат. Точно так же уравнения движения Гамильтона представляют собой еще одну систему 2 N уравнений первого порядка для эволюции во времени обобщенных координат и сопряженных им импульсов. $p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}$.

Поскольку HJE является эквивалентным выражением интегральной задачи минимизации, такой как принцип Гамильтона , HJE может быть полезен в других задачах вариационного исчисления и, в более общем смысле, в других разделах математики и физики , таких как динамические системы , симплектическая геометрия. и квантовый хаос . Например, уравнения Гамильтона-Якоби можно использовать для определения геодезических на римановом многообразии , что является важной вариационной задачей римановой геометрии . Однако как вычислительный инструмент уравнения в частных производных, как известно, сложны для решения, за исключением случаев, когда возможно разделить независимые переменные; в этом случае HJE становится полезным с вычислительной точки зрения.

Вывод с использованием канонического преобразования

Любое каноническое преобразование, типа 2. включающее производящую функцию $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ приводит к отношениям $$\mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}$$и уравнения Гамильтона в терминах новых переменных $\mathbf {P} ,\,\mathbf {Q}$ и новый гамильтониан $K$ иметь ту же форму: $${\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.$$

Для получения HJE используется производящая функция $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ выбирается таким образом, что он составит новый гамильтониан $K=0$. Следовательно, все его производные также равны нулю, и преобразованные уравнения Гамильтона становятся тривиальными. $${\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0$$поэтому новые обобщенные координаты и импульсы являются константами движения . Поскольку они являются константами, в этом контексте новые обобщенные импульсы $\mathbf {P}$ обычно обозначаются $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}$, то есть $P_{m}=\alpha _{m}$ и новые обобщенные координаты $\mathbf {Q}$ обычно обозначаются как $\beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}$, так $Q_{m}=\beta _{m}$.

Полагая производящую функцию равной главной функции Гамильтона плюс произвольная константа $A$: $$G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,$$HJE возникает автоматически $$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.$$

Когда решено для $S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$, это также дает нам полезные уравнения $$\mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},$$или написано в компонентах для ясности $$Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.$$

В идеале эти N уравнений можно инвертировать, чтобы найти исходные обобщенные координаты. $\mathbf {q}$ как функция констант ${\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},$ и $t$, тем самым решая исходную задачу.

Разделение переменных

Когда проблема допускает аддитивное разделение переменных , HJE приводит непосредственно к константам движения . Например, время t можно разделить, если гамильтониан не зависит от времени явно. В этом случае производная по времени ${\frac {\partial S}{\partial t}}$ в HJE должна быть константа, обычно обозначаемая ( $-E$), давая разделенное решение $$S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et$$где независимая от времени функция $W(\mathbf {q} )$ иногда называют сокращенным действием или характеристической функцией Гамильтона. и иногда написано $S_{0}$ (см. названия принципов действия ). Тогда сокращенное уравнение Гамильтона – Якоби можно записать $$H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.$$

Чтобы проиллюстрировать разделимость других переменных, используется некоторая обобщенная координата. $q_{k}$ и его производная ${\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}$ предполагается, что они появляются вместе как одна функция $$\psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)$$в гамильтониане $$H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).$$

В этом случае функцию S можно разбить на две функции: одну, зависящую только от q _k , и другую, зависящую только от остальных обобщенных координат. $$S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).$$

Подстановка этих формул в уравнение Гамильтона–Якоби показывает, что функция ψ должна быть константой (обозначаемой здесь как $\Gamma _{k}$ первого порядка ), что дает обыкновенное дифференциальное уравнение для $S_{k}(q_{k}),$

$$\psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.$$

В удачных случаях функция $S$ можно полностью разделить на $N$ функции $S_{m}(q_{m}),$$$S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.$$

В таком случае проблема сводится к $N$ обыкновенные дифференциальные уравнения .

Сепарабельность S зависит как от гамильтониана, так и от выбора обобщенных координат . Для ортогональных координат и гамильтонианов, не зависящих от времени и квадратичных по обобщенным импульсам, $S$ будет полностью разделимым, если потенциальная энергия аддитивно разделима в каждой координате, где член потенциальной энергии для каждой координаты умножается на зависящий от координаты коэффициент в соответствующем импульсном члене гамильтониана ( условия Стеккеля ). Для иллюстрации несколько примеров в ортогональных координатах в следующих разделах рассмотрено .

Примеры в различных системах координат

Дополнительная информация: Система координат , Ортогональные координаты и Криволинейные координаты.

Сферические координаты

В сферических координатах гамильтониан свободной частицы, движущейся в консервативном потенциале U, можно записать $$H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).$$

Уравнение Гамильтона–Якоби вполне разделимо в этих координатах, если существуют функции $U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )$ такой, что $U$ можно записать в аналогичной форме $$U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.$$

Замена полностью разделенного раствора $$S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et$$в доходность HJE $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.$$

Это уравнение можно решить путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений , начиная с уравнения для $\phi$$$\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }$$где $\Gamma _{\phi }$ – константа движения , исключающая $\phi$ зависимость от уравнения Гамильтона–Якоби $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E.$$

Следующее обыкновенное дифференциальное уравнение включает в себя $\theta$ обобщенная координата $$\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }$$где $\Gamma _{\theta }$ снова является константой движения , которая устраняет $\theta$ зависимости и сводит ГЭД к окончательному обыкновенному дифференциальному уравнению $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E$$чья интеграция завершает решение для $S$.

Эллиптические цилиндрические координаты

Гамильтониан в эллиптических цилиндрических координатах можно записать $$H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)$$где фокусы эллипсов точках расположены в $\pm a$ на $x$-ось. Уравнение Гамильтона–Якоби вполне разделимо в этих координатах при условии, что $U$ имеет аналогичный вид $$U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)$$где $U_{\mu }(\mu )$, $U_{\nu }(\nu )$ и $U_{z}(z)$ являются произвольными функциями. Замена полностью разделенного раствора $$S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et$$ в доходность HJE $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}$$дает сокращенное уравнение Гамильтона – Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель) $$\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)$$которое само можно разделить на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения $$\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }$$$$\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }$$которые, будучи решены, обеспечивают полное решение для $S$.

Параболические цилиндрические координаты

Гамильтониан в параболических цилиндрических координатах можно записать $$H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).$$

Уравнение Гамильтона–Якоби вполне разделимо в этих координатах при условии, что $U$ имеет аналогичный вид $$U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)$$где $U_{\sigma }(\sigma )$, $U_{\tau }(\tau )$, и $U_{z}(z)$ являются произвольными функциями. Замена полностью разделенного раствора $$S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}$$в доходность HJE $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}$$дает сокращенное уравнение Гамильтона – Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель) $$\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)$$которое само можно разделить на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения $$\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }$$$$\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }$$которые, будучи решены, обеспечивают полное решение для $S$.

Волны и частицы

Оптические волновые фронты и траектории

Основная статья: оптико-механическая аналогия Гамильтона

HJE устанавливает двойственность между траекториями и волновыми фронтами . Например, в геометрической оптике свет можно рассматривать либо как «лучи», либо как волны. Волновой фронт можно определить как поверхность ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$ что свет, излучаемый во времени ${\textstyle t=0}$ достиг вовремя ${\textstyle t}$. Лучи света и волновые фронты двойственны: если известен один, можно вывести другой.

Точнее, геометрическая оптика — это вариационная задача, где «действием» является время пробега. ${\textstyle T}$ по тропе, $$T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds$$ где ${\textstyle n}$ среды - показатель преломления и ${\textstyle ds}$ — бесконечно малая длина дуги. Из приведенной выше формулировки можно вычислить траектории лучей, используя формулировку Эйлера – Лагранжа; альтернативно, можно вычислить волновые фронты, решив уравнение Гамильтона – Якоби. Знание одного приводит к познанию другого.

Вышеупомянутая двойственность является очень общей и применима ко всем системам, основанным на вариационном принципе: либо вычисляйте траектории, используя уравнения Эйлера – Лагранжа, либо волновые фронты, используя уравнение Гамильтона – Якоби.

Волновой фронт во времени ${\textstyle t}$, для системы первоначально в ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ во время ${\textstyle t_{0}}$, определяется как совокупность точек ${\textstyle \mathbf {q} }$ такой, что ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$. Если ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ известен, моментально выводится импульс. $$\mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.$$

Один раз ${\textstyle \mathbf {p} }$ известны касательные к траекториям ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ вычисляются путем решения уравнения $${\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}$$для ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$, где ${\textstyle {\cal {L}}}$ является лагранжианом. Траектории затем восстанавливаются на основе знаний ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$.

Связь с уравнением Шредингера

Дополнительная информация: приближение Эйконала.

Изоповерхности ​ функции $S(\mathbf {q} ,t)$ может быть определена в любой момент времени t . Движение $S$-изоповерхность как функция времени определяется движениями частиц, начинающимися в точках $\mathbf {q}$ на изоповерхности. Движение такой изоповерхности можно представить как волну, движущуюся через $\mathbf {q}$-пространство, хотя оно не подчиняется в точности волновому уравнению . Чтобы показать это, пусть S представляет фазу волны $$\psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }$$где $\hbar$ — константа ( константа Планка ), введенная для того, чтобы сделать экспоненциальный аргумент безразмерным; Изменения амплитуды волны можно представить , имея $S$ быть комплексным числом . Тогда уравнение Гамильтона – Якоби переписывается в виде $${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$$что представляет собой уравнение Шрёдингера .

И наоборот, начиная с уравнения Шрёдингера и нашего анзаца для $\psi$, можно сделать вывод, что $${\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.$$

Классический предел ( $\hbar \rightarrow 0$) приведенного выше уравнения Шредингера становится идентичным следующему варианту уравнения Гамильтона – Якоби: $${\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$$

Приложения

ГЭД в гравитационном поле

Используя соотношение энергия-импульс в виде $$g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0$$для частицы массы покоя $m$ путешествуя в искривленном пространстве, где $g^{\alpha \beta }$ — контравариантные координаты метрического тензора (т.е. обратной метрики ), решенные из уравнений поля Эйнштейна , и $c$ это скорость света . Установка четырехимпульса $P_{\alpha }$ равен четырехградиенту действия $S$, $$P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}$$дает уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии, определяемой метрикой $g$: $$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,$$другими словами, в гравитационном поле .

HJE в электромагнитных полях

Для частицы массы покоя $m$ и электрический заряд $e$ движущийся в электромагнитном поле с четырехпотенциалом $A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )$ в вакууме уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии определяется метрическим тензором $g^{ik}=g_{ik}$ имеет форму $$g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}$$и может быть решено для функции главного действия Гамильтона $S$ чтобы получить дальнейшее решение для траектории и импульса частицы: $$x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,$$$$y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,$$$$z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,$$$$\xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,$$$$p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x},\quad p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},$$$$p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),$$$${\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),$$где $\xi =ct-z$ и $\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}$ с ${\overline {\mathbf {A} }}$ среднее значение цикла векторного потенциала.

Волна с круговой поляризацией

В случае круговой поляризации $$E_{x}=E_{0}\sin \omega \xi _{1},\quad E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},$$$$A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\quad A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.$$

Следовательно $$x=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$$$$y=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},$$$$p_{x}=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},$$$$p_{y}={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$$где $\xi _{1}=\xi /c$, подразумевая, что частица движется по круговой траектории с постоянным радиусом $ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}$ и неизменное значение импульса $eE_{0}/\omega ^{2}$ направлен вдоль вектора магнитного поля.

Монохроматическая линейно поляризованная плоская волна.

Для плоской монохроматической линейно поляризованной волны с полем $E$ направлен вдоль оси $y$$$E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},$$$$A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},$$следовательно $$x={\text{const}},$$$$y_{0}=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},$$$$y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},\quad z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},$$$$C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\quad \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},$$$$p_{x}=0,$$$$p_{y,0}={\frac {eE_{0}}{\omega }},$$$$p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},$$$$p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}$$подразумевая траекторию частицы в виде восьмерки с длинной осью, ориентированной вдоль электрического поля $E$ вектор.

Электромагнитная волна с соленоидальным магнитным полем

Для электромагнитной волны с осевым (соленоидальным) магнитным полем: $$E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},$$$$A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},$$следовательно $$x={\text{constant}},$$$$y_{0}=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},$$$$y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},$$$$z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},$$$$C_{z}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},$$$$\gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},$$$$p_{x}=0,$$$$p_{y,0}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},$$$$p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},$$$$p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},$$где $B_{0}$ - величина магнитного поля в соленоиде с эффективным радиусом $\rho _{0}$, индуктивность $L_{s}$, количество обмоток $N_{s}$, а величина электрического тока $I_{0}$ через обмотки соленоида. Движение частицы происходит по траектории восьмерки в $yz$ плоскость, установленная перпендикулярно оси соленоида с произвольным азимутальным углом $\varphi$ из-за осевой симметрии соленоидального магнитного поля.

См. также

• Каноническое преобразование
• Постоянная движения
• Гамильтоново векторное поле
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• Приближение ВКБ
• Координаты действия-угла

Дальнейшее чтение

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-96890-3 .
• Гамильтон, В. (1833). «Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции» (PDF) . Обзор Дублинского университета : 795–826.
• Гамильтон, В. (1834). «О применении к динамике общего математического метода, ранее применявшегося в оптике» (PDF) . Отчет Британской ассоциации : 513–518.
• Феттер А. и Валецка Дж. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дуврские книги. ISBN  978-0-486-43261-8 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975). Механика . Амстердам: Эльзевир.
• Сакураи, Джей-Джей (1985). Современная квантовая механика . Бенджамин/Каммингс Паблишинг. ISBN  978-0-8053-7501-5 .
• Якоби, CGJ (1884), Лекции по динамике , Собрание сочинений CGJ Якоби (на немецком языке), Берлин: Г. Раймер, OL   14009561M
• Накане, Мичиё; Фрейзер, Крейг Г. (2002). «Ранняя история динамики Гамильтона-Якоби». Центавр . 44 (3–4): 161–227. дои : 10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x . ПМИД   17357243 .