Виртуальное перемещение

Одна степень свободы.

Две степени свободы.

Сдерживающая сила C и виртуальное смещение δ r для частицы массы m, удерживаемой кривой. Результирующая несдерживающая сила N. равна Компоненты виртуального перемещения связаны уравнением связи.

В аналитической механике , разделе прикладной математики и физики , виртуальное перемещение (или бесконечно малая вариация ). $\delta \gamma$ показывает, как траектория механической системы может гипотетически (отсюда и термин виртуальная ) очень незначительно отклоняться от фактической траектории. $\gamma$ системы, не нарушая системных ограничений. ^[1]^[2]^[3]^: 263 На каждый момент времени $t,$ $\delta \gamma (t)$ – вектор, касательный к конфигурационному пространству в точке $\gamma (t).$ Векторы $\delta \gamma (t)$ показать направления, в которых $\gamma (t)$ может «идти», не нарушая ограничений.

Например, виртуальные смещения системы, состоящей из одной частицы на двумерной поверхности, заполняют всю касательную плоскость в предположении отсутствия дополнительных ограничений.

Однако если ограничения требуют, чтобы все траектории $\gamma$ пройти через заданную точку $\mathbf {q}$ в данный момент $\tau ,$ т.е. $\gamma (\tau )=\mathbf {q} ,$ затем $\delta \gamma (\tau )=0.$

Обозначения

Позволять $M$ быть конфигурационным пространством механической системы, $t_{0},t_{1}\in \mathbb {R}$ быть мгновениями времени, $q_{0},q_{1}\in M,$ $C^{\infty }[t_{0},t_{1}]$ состоит из гладких функций на $[t_{0},t_{1}]$ , и

$P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.$

Ограничения $\gamma (t_{0})=q_{0},$ $\gamma (t_{1})=q_{1}$ здесь только для иллюстрации. На практике для каждой отдельной системы требуется индивидуальный набор ограничений.

Определение

Для каждого пути $\gamma \in P(M)$ и $\epsilon _{0}>0,$ вариант $\gamma$ это функция $\Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M$ такой, что для каждого $\epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],$ $\Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)$ и $\Gamma (t,0)=\gamma (t).$ Виртуальное перемещение $\delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM$ $(TM$ являющееся касательным расслоением $M)$ соответствующий варианту $\Gamma$ назначает ^[1] каждому $t\in [t_{0},t_{1}]$ касательный вектор

$\delta \gamma (t)={\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.$

С точки зрения касательной карты ,

$\delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\right).$

Здесь $\Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M$ это касательная карта $\Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,$ где $\Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),$ и $\textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].$

Характеристики

Координационное представительство. Если $\{q_{i}\}_{i=1}^{n}$ — это координаты на произвольной карте на $M$ и $n=\mathop {\rm {dim}} M,$ затем

\delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.

Если в течение какого-то мгновения $\tau$ и каждый $\gamma \in P(M),$ $\gamma (\tau )={\text{const}},$ тогда для каждого $\gamma \in P(M),$ $\delta \gamma (\tau )=0.$

Если $\textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),$ затем $\delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .$

Примеры

Свободная частица в R ³

Одна частица, свободно движущаяся $\mathbb {R} ^{3}$ имеет 3 степени свободы. Конфигурационное пространство $M=\mathbb {R} ^{3},$ и $P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).$ Для каждого пути $\gamma \in P(M)$ и вариация $\Gamma (t,\epsilon )$ из $\gamma ,$ существует уникальный $\sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}$ такой, что $\Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),$ как $\epsilon \to 0.$ По определению,

$\delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}$

что приводит к

$\delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.$

Свободные частицы на поверхности

$N$ частицы свободно движутся по двумерной поверхности $S\subset \mathbb {R} ^{3}$ иметь $2N$ степень свободы. Пространство конфигурации здесь

$M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},$

где $\mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}$ — радиус-вектор $i^{\text{th}}$ частица. Отсюда следует, что

$T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,$

и каждый путь $\gamma \in P(M)$ можно описать с помощью радиус-векторов $\mathbf {r} _{i}$ каждой отдельной частицы, т.е.

$\gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).$

Это означает, что для каждого $\delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,$

$\delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),$

где $\delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.$ Некоторые авторы выражают это как

$\delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).$

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки

, Твердое тело вращающееся вокруг неподвижной точки без дополнительных ограничений, имеет 3 степени свободы. Пространство конфигурации здесь $M=SO(3),$ специальная ортогональная группа размерности 3 (также известная как группа трехмерного вращения ) и $P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).$ Мы используем стандартные обозначения ${\mathfrak {so}}(3)$ для обозначения трехмерного линейного пространства всех кососимметричных трехмерных матриц. Экспоненциальная карта $\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)$ гарантирует существование $\epsilon _{0}>0$ такой, что для каждого пути $\gamma \in P(M),$ его вариация $\Gamma (t,\epsilon ),$ и $t\in [t_{0},t_{1}],$ есть уникальный путь $\Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))$ такой, что $\Theta ^{t}(0)=0$ и для каждого $\epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],$ $\Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).$ По определению,

$\delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}=\gamma (t){\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}.$

Поскольку для некоторой функции $\sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),$ $\Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )$ , как $\epsilon \to 0$ ,

$\delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}SO(3).$

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Тахтаджан, Леон А. (2017). «Часть 1. Классическая механика». Классическая теория поля (PDF) . Департамент математики Университета Стоуни-Брук, Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк.
^ Гольдштейн, Х .; Пул, Коннектикут ; Сафко, Дж. Л. (2001). Классическая механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 16. ISBN 978-0-201-65702-9 .
^ Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .

[TakhtajanClassicalFieldTheory2017-1] Jump up to: ^а ^б Тахтаджан, Леон А. (2017). «Часть 1. Классическая механика». Классическая теория поля (PDF) . Департамент математики Университета Стоуни-Брук, Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк.

[Goldstein2001-2] Гольдштейн, Х .; Пул, Коннектикут ; Сафко, Дж. Л. (2001). Классическая механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 16. ISBN 978-0-201-65702-9 .

[Torby1984-3] Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .

[1]

[2]

[3]