Гамильтонова механика жидкости

Гамильтонова механика жидкости — это применение гамильтоновых методов к механике жидкости . Обратите внимание, что этот формализм применим только к недиссипативным жидкостям .

Безвихревой баротропный поток

Возьмем простой пример баротропной невязкой завихрений жидкости без .

Тогда сопряженными полями являются плотности массы поле ρ и потенциал скорости φ . Скобка Пуассона определяется выражением

$\{\rho ({\vec {y}}),\varphi ({\vec {x}})\}=\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

и гамильтониан:

$H=\int \mathrm {d} ^{d}x{\mathcal {H}}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left({\frac {1}{2}}\rho (\nabla \varphi )^{2}+e(\rho )\right),$

где e — плотность внутренней энергии как функция ρ . Для этого баротропного потока внутренняя энергия связана с давлением p соотношением:

$e''={\frac {1}{\rho }}p',$

где апостроф (') обозначает дифференцирование по ρ .

Эта гамильтонова структура приводит к следующим двум уравнениям движения :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \varphi }}=-\nabla \cdot (\rho {\vec {u}}),\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \rho }}=-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-e',\end{aligned}}$

где ${\vec {u}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla \varphi$ — скорость и не имеет завихренности . Второе уравнение приводит к уравнениям Эйлера :

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=-e''\nabla \rho =-{\frac {1}{\rho }}\nabla {p}$

после использования того факта, что завихренность равна нулю:

$\nabla \times {\vec {u}}={\vec {0}}.$

Поскольку гидродинамика описывается неканонической динамикой, которая обладает бесконечным количеством инвариантов Казимира, альтернативная формулировка гамильтоновой формулировки гидродинамики может быть введена с использованием механики Намбу.

См. также

• Вариационный принцип Люка
• Гамильтонова теория поля

Ссылки

• Бадин, Гуальтьеро; Кришиани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....B . дои : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN  978-3-319-59694-5 . S2CID   125902566 .
• Моррисон, Пи Джей (2006). «Гамильтонова механика жидкости» (PDF) . В Эльзевире (ред.). Энциклопедия математической физики . Том. 2. Амстердам. стр. 593–600. {{cite encyclopedia}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Моррисон, Пи Джей (апрель 1998 г.). «Гамильтоново описание идеальной жидкости» (PDF) . Обзоры современной физики . 70 (2). Остин, Техас: 467–521. Бибкод : 1998РвМП...70..467М . дои : 10.1103/RevModPhys.70.467 . hdl : 2152/61087 .
• Р. Салмон (1988). «Гамильтонова механика жидкости» . Ежегодный обзор механики жидкости . 20 : 225–256. Бибкод : 1988АнРФМ..20..225С . дои : 10.1146/annurev.fl.20.010188.001301 .
• Шеперд, Теодор Дж . (1990). «Симметрии, законы сохранения и гамильтонова структура в геофизической гидродинамике». Достижения геофизики Том 32 . Том. 32. С. 287–338. Бибкод : 1990AdGeo..32..287S . дои : 10.1016/S0065-2687(08)60429-X . ISBN  9780120188321 .
• Суотерс, Гордон Э. (2000). Введение в гамильтонову гидродинамику и теорию устойчивости . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. п. 274. ИСБН  1-58488-023-6 .
• Невир, П.; Блендер, Р. (1993). «Представление Намбу несжимаемой гидродинамики с использованием спиральности и энстрофии». Дж. Физ. А. ​ 26 (22): 1189–1193. Бибкод : 1993JPhA...26L1189N . дои : 10.1088/0305-4470/26/22/010 .
• Блендер, Р.; Бадин, Г. (2015). «Гидродинамическая механика Намбу, основанная на геометрических ограничениях». Дж. Физ. А. ​ 48 (10): 105501. arXiv : 1510.04832 . Бибкод : 2015JPhA...48j5501B . дои : 10.1088/1751-8113/48/10/105501 . S2CID   119661148 .