Вариационный принцип Люка

В гидродинамике вариационный принцип Люка представляет собой лагранжево вариационное описание движения поверхностных волн в жидкости со свободной поверхностью под действием силы тяжести . Этот принцип назван в честь Дж. К. Люка, опубликовавшего его в 1967 году. Этот вариационный принцип предназначен для несжимаемых и невязких потенциальных потоков и используется для получения приближенных волновых моделей, таких как уравнение умеренного наклона : или использовать усредненный лагранжев подход для распространения волн в неоднородных средах.

Лагранжева формулировка Люка также может быть преобразована в гамильтонову формулировку с точки зрения высоты поверхности и потенциала скорости на свободной поверхности. Это часто используется при моделировании эволюции спектральной плотности свободной поверхности в состоянии моря , которое иногда называют волновой турбулентностью .

Формулы Лагранжа и Гамильтона можно расширить, включив в них эффекты поверхностного натяжения , а с помощью потенциалов Клебша включить завихренность .

Лагранжиан Люка

формулировка Люка Лагранжева предназначена для нелинейных поверхностных гравитационных волн в несжимаемом , безвихревом и невязком потенциальном потоке .

Соответствующими ингредиентами, необходимыми для описания этого потока, являются:

• Φ( x , z , t ) — потенциал скорости ,
• ρ жидкости — плотность ,
• g — ускорение силы тяжести Земли ,
• x — вектор горизонтальных координат с компонентами x и y ,
• x и y — горизонтальные координаты,
• z — вертикальная координата,
• t — время, и
• ∇ — оператор горизонтального градиента , поэтому ∇Φ — скорость горизонтального потока, состоящая из ∂Φ/∂ x и ∂Φ/∂ y ,
• V ( t ) — зависящая от времени область жидкости со свободной поверхностью.

Лагранжиан ${\mathcal {L}}$по словам Люка, это: $${\mathcal {L}}=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\iiint _{V(t)}\rho \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+g\,z\right]\,\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z\right\}\mathrm {d} t.$$

Согласно принципу Бернулли , этот лагранжиан можно рассматривать как интеграл жидкости давления во всей зависящей от времени области жидкости V ( t ) . Это согласуется с вариационными принципами невязкого течения без свободной поверхности, обнаруженными Гарри Бейтманом .

Вариация относительно потенциала скорости Φ( x , z , t ) и свободно движущихся поверхностей, таких как z = η ( x , t ), приводит к уравнению Лапласа для потенциала внутри жидкости и всем необходимым граничным условиям : кинематическим граничным условиям на всех границах жидкости и динамических граничных условиях на свободных поверхностях. Это также может включать перемещение стенок волногенератора и движение корабля.

Для случая горизонтально неограниченной области со свободной поверхностью жидкости в точке z = η ( x , t ) и неподвижным слоем в точке z = - h ( x ) вариационный принцип Люка приводит к лагранжиану: $${\mathcal {L}}=-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;\mathrm {d} z\;+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.$$

Прикроватный член, пропорциональный h ² потенциальной энергией пренебрегли, так как она постоянна и не вносит вклада в изменения. Ниже вариационный принцип Люка используется для получения уравнений течения для нелинейных поверхностных гравитационных волн в потенциальном потоке.

Вывод уравнений потока, следующих из вариационного принципа Люка

Вариант $\delta {\mathcal {L}}=0$ в лагранжиане по отношению к изменениям потенциала скорости Φ( x , z , t ), а также по отношению к высоте поверхности η ( x , t ) должны быть равны нулю. Далее мы рассмотрим оба варианта.

Изменение относительно потенциала скорости

Рассмотрим небольшое изменение δ Φ потенциала скорости Φ . Тогда результирующая вариация лагранжиана будет: $${\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,&=\,{\mathcal {L}}(\Phi +\delta \Phi ,\eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )\\&=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left({\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial t}}+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}(\delta \Phi )+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial z}}\,\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.\end{aligned}}$$

Используя интегральное правило Лейбница , в случае постоянной плотности ρ это становится следующим : $${\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,=\,&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\mathrm {d} z\;+\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\=\,&0.\end{aligned}}$$

Первый интеграл в правой части интегрируется до границ по x и t области интегрирования и равен нулю, поскольку вариации δ Φ считаются равными нулю на этих границах. Для вариаций δ Φ, которые равны нулю на свободной поверхности и в дне, остается второй интеграл, который равен нулю только для произвольного δ Φ внутри жидкости, если там выполняется уравнение Лапласа : $$\Delta \Phi \,=\,0\qquad {\text{ for }}-h({\boldsymbol {x}})\,<\,z\,<\,\eta ({\boldsymbol {x}},t),$$ с Δ = ∇ ⋅ ∇ + ∂ ² /∂ z ² оператор Лапласа .

вариации δ Φ, Если рассматривать которые отличны от нуля только на свободной поверхности, остается только третий интеграл, что приводит к кинематическому граничному условию для свободной поверхности: $${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0.\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).$$

Аналогично, изменения δ Φ, отличные от нуля только внизу z = − h, приводят к кинематическому состоянию дна: $${\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,-h({\boldsymbol {x}}).$$

Изменение высоты поверхности

Учитывая изменение лагранжиана при небольших изменениях δη, получим: $$\delta _{\eta }{\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta +\delta \eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\rho \,\delta \eta \,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \right)\,\right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\,=\,0.$$

Оно должно быть равно нулю для произвольного δη , что приводит к динамическому граничному условию на свободной поверхности: $${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).$$

Это уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока, приложенного к свободной поверхности, причем давление над свободной поверхностью является постоянным, причем для простоты это постоянное давление принимается равным нулю.

гамильтонова формулировка

Гамильтонова в 1968 структура поверхностных гравитационных волн потенциального потока была открыта Владимиром Захаровым году и переоткрыта независимо Бертом Броером и Джоном Майлзом : $${\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}$$ где высота поверхности η и поверхностный потенциал φ — который представляет собой потенциал Φ на свободной поверхности z = η ( x , t ) — являются каноническими переменными . Гамильтониан ${\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )$ представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии жидкости: $${\mathcal {H}}\,=\,\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,\mathrm {d} z\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$$

Дополнительное ограничение состоит в том, что поток в области жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа с соответствующими граничными условиями внизу z = − h ( x ) и что потенциал на свободной поверхности z = η равен φ : $\delta {\mathcal {H}}/\delta \Phi \,=\,0.$

Связь с лагранжевой формулировкой

Гамильтонова формулировка может быть получена из лагранжевого описания Люка с помощью правила интеграла Лейбница для интеграла от ∂Φ/∂ t : $${\mathcal {L}}_{H}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\,{\frac {\partial \eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}\,-\,H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t,$$ с $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)=\Phi ({\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t)$ значение потенциала скорости на свободной поверхности, и $H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)$ плотность гамильтониана — сумма плотности кинетической и потенциальной энергии — связана с гамильтонианом следующим образом: $${\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )\,=\,\iint H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$$

Плотность гамильтониана выражается через поверхностный потенциал с использованием третьего тождества Грина для кинетической энергии:

$$H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,{\sqrt {1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}}}\;\;\varphi \,{\bigl (}D(\eta )\;\varphi {\bigr )}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},$$

где D ( η ) φ равна нормальной производной ∂Φ/∂ n на свободной поверхности. Ввиду линейности уравнения Лапласа, действующего внутри жидкости и зависящего от граничных условий в слое z = − h и свободной поверхности z = η , нормальная производная ∂Φ/∂ n является линейной функцией поверхностного потенциала. φ , но зависит нелинейно от высоты поверхности η . Это выражается оператором -Неймана Дирихле D ( η ) , действующим линейно на φ .

Плотность гамильтониана также можно записать как: $$H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\varphi \,{\Bigl [}w\,\left(1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}\right)-\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,\varphi {\Bigr ]}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},$$ где w ( x , t ) = ∂Φ/∂ z - вертикальная скорость на свободной поверхности z = η . Также w является линейной функцией поверхностного потенциала φ согласно уравнению Лапласа, но w нелинейно зависит от высоты поверхности η : $$w\,=\,W(\eta )\,\varphi ,$$ где W действует линейно по φ , но нелинейно по η . В результате гамильтониан является квадратичным функционалом поверхностного потенциала φ . Кроме того, часть потенциальной энергии гамильтониана квадратична. Источником нелинейности поверхностных гравитационных волн является кинетическая энергия, нелинейно зависящая от формы свободной поверхности η .

Далее, ∇ φ не следует путать с горизонтальной скоростью ∇Φ на свободной поверхности:

$${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \,=\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\bigl (}{\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t{\bigr )}\,=\,\left[{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,=\,{\Bigl [}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Bigr ]}_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,+\,w\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta .$$

Взяв вариации лагранжиана ${\mathcal {L}}_{H}$ относительно канонических переменных $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ и $\eta ({\boldsymbol {x}},t)$ дает: $${\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}$$ если во внутренней среде жидкости Φ удовлетворяет уравнению Лапласа, ΔΦ = 0 , а также нижнему граничному условию при z = − h и Φ = φ на свободной поверхности.