Радиационный стресс

Прибойные волны на пляжах вызывают изменения радиационного стресса, вызывая прибрежные течения. Возникающий в результате перенос наносов вдоль берега формирует пляжи и может привести к их эрозии или нарастанию.

В гидродинамике радиационное напряжение представляет собой интегрированный по глубине, а затем фазе по усредненный избыточного , поток импульса , вызванный наличием поверхностных гравитационных волн , который воздействует на средний поток . Радиационные напряжения ведут себя как тензор второго порядка .

Тензор радиационного напряжения описывает дополнительное воздействие, возникающее из-за присутствия волн, которое изменяет средний интегрированный по глубине горизонтальный импульс в слое жидкости. В результате различные радиационные нагрузки вызывают изменения средней высоты поверхности ( волновая установка ) и среднего потока (волновые токи).

Для средней плотности энергии в колебательной части движения жидкости тензор радиационных напряжений важен для ее динамики в случае неоднородного среднего течения поля .

Тензор радиационного напряжения, а также некоторые его последствия для физики поверхностных гравитационных волн и средних течений были сформулированы в серии статей Лонге-Хиггинса и Стюарта в 1960–1964 годах.

Радиационный стресс получил свое название от аналогичного эффекта радиационного давления на электромагнитное излучение .

Физическое значение

Радиационный стресс – средний избыточный поток импульса из-за присутствия волн – играет важную роль в объяснении и моделировании различных прибрежных процессов:

• волны Установка и посадка – радиационное напряжение состоит из части радиационного давления , оказываемого на высоту свободной поверхности среднего потока. Если радиационная нагрузка изменяется в пространстве, как это происходит в зоне прибоя , где высота волны уменьшается из-за обрушения волны , это приводит к изменениям средней высоты поверхности, называемой волновой установкой (в случае повышенного уровня) и посадкой (при пониженном уровне воды). уровень);
• Волновое течение , особенно прибрежное течение в зоне прибоя - при наклонном падении волн на пляж уменьшение высоты волн внутри зоны прибоя (путем обрушения) приводит к изменению компонента напряжения сдвига S _xy излучения. напряжение по ширине зоны прибоя. Это обеспечивает возникновение волнового вдольберегового течения, которое имеет важное значение для переноса наносов ( берегового дрейфа побережья ) и, как следствие, морфологии ;
• Связанные длинные волны или вынужденные длинные волны , часть инфрагравитационных волн – для групп волн радиационная нагрузка варьируется вдоль группы. В результате вместе с группой распространяется нелинейная длинная волна с групповой скоростью модулированных коротких волн внутри группы. В то время как, согласно дисперсионному уравнению , длинная волна такой длины должна распространяться со своей — большей — фазовой скоростью . Амплитуда высоты волны и имеет этой связанной длинной волны варьируется в зависимости от квадрата значение только на мелководье;
• Взаимодействие волны с током - в изменяющихся среднего потока полях обмен энергией между волнами и средним потоком, а также воздействие среднего потока можно смоделировать с помощью радиационного стресса.

Определения и значения, полученные из теории линейных волн

Одномерное распространение волн

Для однонаправленного распространения волны – скажем, в направлении координаты x – компонент тензора радиационного напряжения, имеющий динамическую значимость, равен S _xx . Он определяется как:

$S_{xx}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},$

где p ( x , z , t жидкости ) — давление , ${\tilde {u}}(x,z,t)$ — горизонтальная x -компонента колебательной части вектора скорости потока ) , z — вертикальная координата, t — время, z = − h ( x — высота слоя слоя жидкости, z = η ( x , t ) — высота поверхности. Далее ρ жидкости — плотность , а g — ускорение свободного падения , а черная черта означает фазы усреднение . Последнее слагаемое в правой части, ⁠ 1 / 2 ⁠ ρg ( час + η ) ² , – интеграл гидростатического давления по глубине стоячей воды.

В низшем (втором) порядке радиационное напряжение S _xx для бегущих периодических волн можно определить из свойств поверхностных гравитационных волн в соответствии с теорией волн Эйри :

$S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E,$

где c _p — фазовая скорость , c _g — групповая скорость волн. Далее E — средняя плотность волновой энергии, интегрированная по глубине (сумма кинетической и потенциальной энергии ) на единицу горизонтальной площади. По результатам волновой теории Эйри во втором порядке средняя плотность энергии E равна:

$E={\frac {1}{2}}\rho ga^{2}={\frac {1}{8}}\rho gH^{2},$

с амплитудой волны = и H 2 a волны высотой . что это уравнение относится к периодическим волнам: в случайных волнах среднеквадратическую Обратите внимание , высоту волны H _rms следует использовать с H _rms = H _m0 / √ 2 , где H _m0 — значительная высота волны . Тогда Е = 1 ⁄ 16 ρgH _m0 ² .

Двумерное распространение волн

При распространении волн в двух горизонтальных измерениях радиационное напряжение $\mathbf {S}$ второго порядка является тензором с компонентами:

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}.$

В декартовой системе координат ( x , y , z ):

${\begin{aligned}S_{xx}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\\S_{xy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(\rho {\tilde {u}}{\tilde {v}}\right)\;{\text{d}}z}}=S_{yx},\\S_{yy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {v}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\end{aligned}}$

где ${\tilde {u}}$ и ${\tilde {v}}$ – горизонтальные x- и y -составляющие колебательной части ${\tilde {u}}(x,y,z,t)$ вектора скорости потока.

Во втором порядке – по амплитуде волны a – компоненты тензора радиационных напряжений для прогрессивных периодических волн имеют вид:

${\begin{aligned}S_{xx}&=\left[{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\\S_{xy}&=\left({\frac {k_{x}k_{y}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}\right)E=S_{yx},\quad {\text{and}}\\S_{yy}&=\left[{\frac {k_{y}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\end{aligned}}$

где k _x и k _y — x- и y -компоненты вектора числа волнового k длины k = | к | = √ к _х ² + к _й ² и вектор k, перпендикулярный гребням волн . Фазовая и групповая скорости c _p и c _g соответственно представляют собой длины векторов фазовой и групповой скорости: c _p = | с _п | и c _г = | с _г |.

Динамическая значимость

Тензор радиационных напряжений является важной величиной при описании усредненного по фазе динамического взаимодействия волн и средних потоков. Здесь даны интегрированные по глубине динамические уравнения сохранения, но для моделирования трехмерных средних потоков, вызываемых поверхностными волнами или взаимодействующих с ними, необходимо трехмерное описание радиационного напряжения в слое жидкости.

Скорость массового транспорта

Распространяющиеся волны вызывают относительно небольшой средний перенос массы в направлении распространения волны, также называемый волновым (псевдо) импульсом . В низшем порядке импульс волны M _w на единицу горизонтальной площади составляет:

${\boldsymbol {M}}_{w}={\frac {\boldsymbol {k}}{k}}{\frac {E}{c_{p}}},$

что точно для прогрессивных волн постоянной формы в безвихревом потоке . Выше c _p — фазовая скорость относительно среднего потока:

$c_{p}={\frac {\sigma }{k}}\qquad {\text{with}}\qquad \sigma =\omega -{\boldsymbol {k}}\cdot {\overline {\boldsymbol {v}}},$

где σ - собственная угловая частота , которую видит наблюдатель, движущийся со средней горизонтальной скоростью потока v , а ω - кажущаяся угловая частота наблюдателя, находящегося в состоянии покоя (относительно «Земли»). Разность k ⋅ v представляет собой доплеровский сдвиг .

Средний горизонтальный импульс M , также на единицу горизонтальной площади, представляет собой среднее значение интеграла импульса по глубине:

${\boldsymbol {M}}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,{\boldsymbol {v}}\;{\text{d}}z}}=\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {v}}}+{\boldsymbol {M}}_{w},$

с v ( x , y , z , t ) полная скорость потока в любой точке ниже свободной поверхности z = η ( x , y , t ). Средний горизонтальный импульс M также является средним значением интегрированного по глубине горизонтального потока массы и состоит из двух вкладов: один от среднего тока, а другой ( M _w ) от волн.

Теперь скорость массопереноса u определяется как:

${\overline {\boldsymbol {u}}}={\frac {\boldsymbol {M}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}={\overline {\boldsymbol {v}}}+{\frac {{\boldsymbol {M}}_{w}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}.$

деление на среднюю глубину воды ( h + η Обратите внимание, что сначала усредняется горизонтальный импульс, интегрированный по глубине, а затем производится ).

Сохранение массы и импульса

Векторные обозначения

Уравнение сохранения средней массы в векторных обозначениях имеет вид :

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]=0,$

где u включает вклад волнового импульса M _w .

Уравнение сохранения горизонтального среднего импульса:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b},$

где u ⊗ u обозначает тензорное произведение u τ на себя, а w _— среднее напряжение сдвига ветра на свободной поверхности, а τ _b — напряжение сдвига дна. Кроме того, I - тождественный тензор с компонентами, заданными дельтой Кронекера δ _ij . Обратите внимание, что правая часть уравнения количества движения дает неконсервативный вклад уклона дна ∇ h , а также воздействие ветра и трение о дно.

С точки зрения горизонтального импульса M приведенные выше уравнения принимают вид:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=0,\\&{\frac {\partial {\boldsymbol {M}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[{\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\boldsymbol {M}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}.\end{aligned}}$

Форма компонента в декартовых координатах

В декартовой системе координат уравнение сохранения массы принимает вид:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]=0,$

где u _x и u _y соответственно x и y компоненты скорости массопереноса u .

Уравнения горизонтального импульса:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{x}+S_{xx}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{y}+S_{xy}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial x}}h+\tau _{w,x}-\tau _{b,x},\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{x}+S_{yx}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{y}+S_{yy}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial y}}h+\tau _{w,y}-\tau _{b,y}.\end{aligned}}$

Энергосбережение

Для невязкого течения сохраняется средняя механическая энергия полного потока, то есть сумма энергии среднего потока и пульсационного движения. Однако средняя энергия самого пульсирующего движения не сохраняется, как и энергия среднего потока. Средняя энергия E колебательного движения (сумма кинетической и потенциальной энергий удовлетворяет:

${\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left({\overline {\boldsymbol {u}}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right)E\right]+\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)={\boldsymbol {\tau }}_{w}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-\varepsilon ,$

где «:» обозначает произведение двойных точек , а ε обозначает диссипацию средней механической энергии (например, при обрушении волны ). Термин $\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)$ - это обмен энергией со средним движением за счет взаимодействия волны с током . Средний горизонтальный перенос энергии волн ( u + c _g ) E состоит из двух вкладов:

• u   E : перенос волновой энергии средним потоком и
• c _g   E : средний перенос энергии самими волнами, с групповой скоростью c _g в качестве скорости переноса волновой энергии.

В декартовой системе координат приведенное выше уравнение для средней энергии E колебаний потока принимает вид:

${\begin{aligned}{\frac {\partial E}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left({\overline {u}}_{x}+c_{g,x}\right)E\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left({\overline {u}}_{y}+c_{g,y}\right)E\right]\\&+S_{xx}{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial x}}+S_{xy}\left({\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial y}}\right)+S_{yy}{\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial y}}\\&=\left(\tau _{w,x}-\tau _{b,x}\right){\overline {u}}_{x}+\left(\tau _{w,y}-\tau _{b,y}\right){\overline {u}}_{y}-\varepsilon .\end{aligned}}$

Таким образом, радиационное напряжение изменяет энергию волны E только в случае пространственно- неоднородного поля тока ( u _x , u _y ).

Ссылки

Первоисточники

• Лонге-Хиггинс, MS; Стюарт, Р.В. (1960), «Изменения формы коротких гравитационных волн на длинных волнах и приливных течениях», Журнал механики жидкости , 8 (4): 565–583, Бибкод : 1960JFM.....8..565L , doi : 10.1017/S0022112060000803 , S2CID   124628167
• Лонге-Хиггинс, MS; Стюарт, Р.В. (1961), «Изменения амплитуды коротких гравитационных волн при устойчивых неоднородных течениях», Журнал механики жидкости , 10 (4): 529–549, Бибкод : 1961JFM....10..529L , doi : 10.1017/S0022112061000342 , S2CID   120585538
• Лонге-Хиггинс, MS; Стюарт, Р.В. (1962), «Радиационный стресс и массоперенос в гравитационных волнах с применением к «прибою» », Journal of Fluid Mechanics , 13 (4): 481–504, Бибкод : 1962JFM....13.. 481Л , дои : 10.1017/S0022112062000877 , S2CID   117932573
• Лонге-Хиггинс, MS; Стюарт, Р.В. (1964), «Радиационные напряжения в водных волнах; физическое обсуждение с приложениями», Deep-Sea Research , 11 (4): 529–562, Бибкод : 1964DSRA...11..529L , doi : 10.1016 /0011-7471(64)90001-4

Дальнейшее чтение

• Мэй, Чианг К. (2003), Прикладная динамика поверхностных волн океана , Расширенная серия по океанской инженерии, том. 1, Всемирный научный, ISBN  9971-5-0789-7
• Филлипс, О.М. (1977), Динамика верхних слоев океана (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-29801-6