Массовый поток

В физике и технике — поток массы это скорость массового потока на единицу площади. Единицы СИ — кг·м. ⁻² с ⁻¹ . Распространенными символами являются j , J , q , Q , φ или Φ ( греческая строчная или заглавная фи ), иногда с индексом m, указывающим, что масса является текущей величиной. Массовый поток может также относиться к альтернативной форме потока в законе Фика , который включает молекулярную массу , или в законе Дарси , который включает массовую плотность .

Реже определяющее уравнение для массового расхода в этой статье используется взаимозаменяемо с определяющим уравнением для массового расхода . Например, Fluid Mechanics, Schaum's et al. использует определение массового потока как уравнение из статьи о массовом расходе.

Определение

Математически поток массы определяется как предел

$$j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},$$

где

$$I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}$$

— ток массы (поток массы m в единицу времени t ), а A — площадь, через которую протекает масса.

Для потока массы в виде вектора j _m поверхности S его поверхностный интеграл по , за которым следует интеграл по времени от t ₁ до t ₂ , дает общее количество массы, протекающей через поверхность за это время ( t ₂ − т ₁ ):

$$m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.$$

Площадь , необходимая для расчета потока, является реальной или мнимой, плоской или изогнутой, либо в виде площади поперечного сечения, либо в виде поверхности.

Например, для веществ, проходящих через фильтр или мембрану , реальная поверхность — это (обычно изогнутая) площадь поверхности фильтра, макроскопически — без учета площади, охватываемой отверстиями в фильтре/мембране. Пространства будут представлять собой площади поперечного сечения. Для жидкостей, проходящих через трубу, площадь представляет собой поперечное сечение трубы в рассматриваемом сечении.

Площадь вектора представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходит масса, A и единичного вектора, нормального к площади, $\mathbf {\hat {n}}$. Отношение $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$.

Если поток массы j _m проходит через область под углом θ к нормали площади $\mathbf {\hat {n}}$, затем

$$\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta$$

где · — скалярное произведение единичных векторов. То есть составляющая потока массы, проходящая через поверхность (т.е. нормаль к ней), равна j _m cos θ . Хотя составляющая потока массы, проходящая по касательной к площади, определяется выражением j _m sin θ отсутствует через , фактически поток массы, проходящий область в тангенциальном направлении, . Единственной составляющей потока массы , проходящей нормально к площади, является косинусная составляющая.

Пример

Рассмотрим трубу с текущей водой . Предположим, что труба имеет постоянное поперечное сечение, и мы рассматриваем ее прямой участок (без каких-либо изгибов/стыков), и вода течет равномерно с постоянной скоростью в стандартных условиях . Площадь А – это площадь поперечного сечения трубы. Предположим, что труба имеет радиус r = 2 см = 2 × 10. ⁻² м . Тогда эта территория

$$A=\pi r^{2}.$$

Для расчета потока массы j _м (величины) нам также необходимо количество массы воды, перенесенной через площадь, и затраченное время. Предположим объем V = 1,5 L = 1,5 × 10 ⁻³ м ³ проходит за время t = 2 с. Считая воды ρ плотность = 1000 кг·м. ⁻³ , у нас есть:

$${\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}$$

(поскольку начальный объем, проходящий через область, был равен нулю, конечный объем равен V , поэтому соответствующая масса равна m ), поэтому поток массы равен

$$j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.$$

Замена чисел дает:

$$j_{m}={\frac {1000\times \left(1.5\times 10^{-3}\right)}{\pi \times \left(2\times 10^{-2}\right)^{2}\times 2}}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},$$

что составляет примерно 596,8 кгс ⁻¹ м ⁻² .

Уравнения для жидкостей

уравнение

Используя векторное определение, массовый поток также равен:

$$\mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u}$$

где:

• ρ = массовая плотность,
• u = поле скоростей движущихся элементов массы (т.е. в каждой точке пространства скорость элемента материи равна некоторому вектору скорости u ).

Иногда это уравнение можно использовать для определения j _m как вектора.

Массовый и молярный потоки для композитных жидкостей

Массовые потоки

В случае, если жидкость не является чистой, т.е. представляет собой смесь веществ (технически содержит ряд составляющих веществ), массовые потоки необходимо учитывать отдельно для каждого компонента смеси.

При описании потока жидкости (т.е. потока вещества) уместно использовать поток массы. При описании переноса частиц (движения большого количества частиц) полезно использовать аналогичную величину, называемую молярным потоком .

Используя массу, массовый поток компонента i равен

$$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.$$

Барицентрический массовый поток компонента i равен

$$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),$$

где $\langle \mathbf {u} \rangle$ - средняя массовая скорость всех компонентов смеси, определяемая выражением

$$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$$

где

• ρ = массовая плотность всей смеси,
• ρ _i = массовая плотность компонента i ,
• ты _я = скорость компонента i .

Среднее значение берется по скоростям компонентов.

Молярные потоки

Если мы заменим плотность ρ на «молярную плотность», концентрацию c , мы получим аналоги молярного потока .

Молярный поток — это количество молей в единицу времени на единицу площади, обычно:

$$\mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .$$

Таким образом, молярный поток компонента i равен (количество молей в единицу времени на единицу площади):

$$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}$$

а барицентрический молярный поток компонента i равен

$$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),$$

где $\langle \mathbf {u} \rangle$ это время представляет собой среднюю молярную скорость всех компонентов смеси, определяемую выражением:

$$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.$$

Использование

Поток массы появляется в некоторых уравнениях гидродинамики , в частности в уравнении неразрывности :

$$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,$$

что является утверждением о сохранении массы жидкости. В гидродинамике масса может перетекать только из одного места в другое.

Молярный поток возникает в соответствии с Фика законом диффузии первым :

$$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n$$

где D – коэффициент диффузии .

См. также

• Массовый поток
• Поток
• Закон Фика
• Закон Дарси
• Волновой поток массы и волновой импульс
• Определяющее уравнение (физическая химия)