Трохоидальная волна

Высота поверхности трохоидальной волны (темно-синего цвета), распространяющейся вправо. Траектории частиц свободной поверхности представлены тесными кругами (голубым цветом), а скорость потока показана красным для черных частиц. – Высота волны разница между высотой гребня и впадины – обозначается как $H$, длина волны как $\lambda$ и фазовая скорость как $c.$

В гидродинамике трохоидальная волна или волна Герстнера является точным решением уравнений Эйлера для периодических поверхностных гравитационных волн . Он описывает прогрессирующую волну постоянной формы на поверхности несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Свободная поверхность этого волнового решения представляет собой перевернутую (перевернутую) трохоиду с более острыми гребнями и плоскими впадинами. Это волновое решение было открыто Герстнером в 1802 году и независимо переоткрыто Ренкином в 1863 году.

Поле течения, связанное с трохоидальной волной, не является безвихревым : оно обладает завихренностью . Завихренность имеет настолько специфическую силу и вертикальное распределение, что траектории потоков жидкости представляют собой замкнутые круги. Это контрастирует с обычным экспериментальным наблюдением стоксова дрейфа, связанного с волновым движением. Кроме того, фазовая скорость трохоидальной волны не зависит от амплитуды , в отличие от других нелинейных волновых теорий (например, волн Стокса и кноидальной волны ) и наблюдений. По этим причинам, а также из-за того, что решения для конечной глубины жидкости отсутствуют, трохоидальные волны имеют ограниченное применение для инженерных приложений.

В компьютерной графике визуализация океанских реалистично выглядящих волн может быть выполнена с использованием так называемых волн Герстнера . Это многокомпонентное и разнонаправленное расширение традиционной волны Герстнера, часто использующее быстрые преобразования Фурье, (в реальном времени) чтобы сделать анимацию осуществимой.

Описание классической трохоидальной волны

Векторные вклады гравитационной силы (средне-серый) и градиента давления (черный) удивительным образом объединяются, создавая равномерное круговое движение частиц жидкости. Для равномерного кругового движения результирующая сила (светло-серый) имеет постоянную величину и всегда направлена ​​к центру круга. Частицы жидкости окрашены в зависимости от их $b$ ценности. Поскольку давление является функцией только $b$, анимация иллюстрирует, что векторы градиента давления всегда перпендикулярны цветным полосам, а их величина тем больше, чем ближе друг к другу цветные полосы.

Используя лагранжеву спецификацию поля потока , движение частиц жидкости представляет собой – для периодической волны на поверхности слоя жидкости бесконечной глубины: $${\begin{aligned}X(a,b,t)&=a+{\frac {e^{kb}}{k}}\sin \left(k(a+ct)\right),\\Y(a,b,t)&=b-{\frac {e^{kb}}{k}}\cos \left(k(a+ct)\right),\end{aligned}}$$где $x=X(a,b,t)$ и $y=Y(a,b,t)$ – это положения частиц жидкости в $(x,y)$ самолет во время $t$, с $x$ горизонтальная координата и $y$ вертикальная координата (положительная вверх, в направлении, противоположном силе тяжести). Лагранжевы координаты $(a,b)$ маркируйте пакеты с жидкостью, используя $(x,y)=(a,b)$ центры круговых орбит - вокруг которых соответствующий пакет жидкости движется с постоянной скоростью $c\,\exp(kb).$ Дальше ${\textstyle k=2\pi /\lambda }$ ( волновое число и $\lambda$ ) длина волны , в то время как $c$ фазовая скорость, с которой волна распространяется в $x$-направление. Фазовая скорость удовлетворяет дисперсионному соотношению: $$c^{2}={\frac {g}{k}},$$которая не зависит от нелинейности волны (т.е. не зависит от высоты волны $H$), и эта фазовая скорость $c$ то же, что и для линейных волн Эйри на глубокой воде.

Свободная поверхность представляет собой линию постоянного давления и соответствует линии $b=b_{s}$, где $b_{s}$ является (неположительной) константой. Для $b_{s}=0$ возникают самые высокие волны с гребнем в форме острия . Обратите внимание, что самая высокая (безвихревая) волна Стокса имеет угол гребня 120 ° вместо 0 ° для вращательной трохоидальной волны.

Высота волны трохоидальной волны равна ${\textstyle H={\frac {2}{k}}\exp(kb_{s}).}$ Волна периодична по $x$-направление, с длиной волны $\lambda ;$ а также периодический во времени с периодом ${\textstyle T=\lambda /c={\sqrt {2\pi \lambda /g}}.}$

Завихренность ​ $\varpi$ под трохоидальной волной: $$\varpi (a,b,t)=-{\frac {2kce^{2kb}}{1-e^{2kb}}},$$варьируется в зависимости от высоты Лагранжа $b$ и быстро уменьшается с глубиной под свободной поверхностью.

В компьютерной графике

Анимация (5 МБ) волн зыби с использованием разнонаправленных и многокомпонентных волн Герстнера для моделирования поверхности океана и POV-Ray для 3D-рендеринга . (Анимация периодична во времени; ее можно настроить на зацикливание после щелчка правой кнопкой мыши по ней во время воспроизведения).

Многокомпонентное и разнонаправленное расширение лагранжева описания движения свободной поверхности, используемого в трохоидальной волне Герстнера, используется в компьютерной графике для моделирования океанских волн. Для классической волны Герстнера движение жидкости точно удовлетворяет нелинейным уравнениям течения несжимаемой под и невязкой жидкости свободной поверхностью. Однако расширенные волны Герстнера, вообще говоря, не удовлетворяют этим уравнениям потока в точности (хотя они удовлетворяют им приближенно, т.е. для линеаризованного лагранжевого описания потенциальным потоком ). Такое описание океана можно очень эффективно запрограммировать с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Более того, возникающие в результате этого процесса океанские волны выглядят реалистично, в результате нелинейной деформации свободной поверхности (из-за лагранжевой спецификации движения): более острые гребни и более пологие впадины .

Математическое описание свободной поверхности в этих волнах Герстнера может быть следующим: горизонтальные координаты обозначаются как $x$ и $z$, а вертикальная координата $y$. Средний на уровень свободной поверхности находится $y=0$ и позитив $y$- направление вверх, противодействуя гравитации Земли . силе $g.$ Свободная поверхность описывается параметрически как функция параметров $\alpha$ и $\beta ,$ а также времени $t.$ Параметры связаны с точками средней поверхности $(x,y,z)=(\alpha ,0,\beta )$ вокруг которой вращаются пакеты жидкости на волнистой поверхности. Свободная поверхность задается через $x=\xi (\alpha ,\beta ,t),$ $y=\zeta (\alpha ,\beta ,t)$ и $z=\eta (\alpha ,\beta ,t)$ с: $${\begin{aligned}\xi &=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\eta &=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\zeta &=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(\theta _{m}\right),\\\theta _{m}&=k_{x,m}\,\alpha +k_{z,m}\,\beta -\omega _{m}\,t-\phi _{m},\end{aligned}}$$где $\tanh$ - функция гиперболического тангенса , $M$ – количество рассматриваемых волновых компонент, $a_{m}$ - амплитуда компонента ${m=1\dots M}$ и $\phi _{m}$ его фаза . Дальше ${\textstyle k_{m}={\sqrt {\scriptstyle k_{x,m}^{2}+k_{z,m}^{2}}}}$ это его волновое число и $\omega _{m}$ его угловая частота . Последние два, $k_{m}$ и $\omega _{m},$ не могут быть выбраны независимо, а связаны дисперсионным соотношением : $$\omega _{m}^{2}=g\,k_{m}\tanh \left(k_{m}\,h\right),$$с $h$ средняя глубина воды. В глубокой воде ( $h\to \infty$) гиперболический тангенс обращается в единицу: ${\tanh(k_{m}\,h)\to 1.}$ Компоненты $k_{x,m}$ и $k_{z,m}$ горизонтального волнового числа вектора ${\boldsymbol {k}}_{m}$ определить направление распространения волны компонента $m.$

Выбор различных параметров $a_{m},k_{x,m},k_{z,m}$ и $\phi _{m}$ для $m=1,\dots ,M,$ и некоторая средняя глубина $h$ определяет форму поверхности океана. Необходим разумный выбор, чтобы использовать возможность быстрых вычислений с помощью БПФ. См., например, Тессендорф (2001) для описания того, как это сделать. Чаще всего волновые числа выбираются на регулярной сетке в $(k_{x},k_{z})$-космос. После этого амплитуды $a_{m}$ и фазы $\phi _{m}$ выбираются случайным образом в соответствии со спектром плотности дисперсии определенного желаемого состояния моря . Наконец, с помощью БПФ поверхность океана можно построить таким образом, чтобы она была периодической как в пространстве, так и во времени, что позволяет использовать мозаику – создание периодичности во времени путем небольшого смещения частот. $\omega _{m}$ такой, что $\omega _{m}=m\,\Delta \omega$ для $m=1,\dots ,M.$

При рендеринге также вектор нормали ${\boldsymbol {n}}$ на поверхность часто требуется. Их можно вычислить с помощью векторного произведения ( $\times$) как: $${\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{with}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.$$

нормали равен Тогда единичный вектор ${\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\|{\boldsymbol {n}}\|,$ с $\|{\boldsymbol {n}}\|$ норма ​ ​ ${\boldsymbol {n}}.$

Ссылки

• Герстнер, Ф. Я. (1802), «Теория волн», трактат Королевского чешского общества наук , Прага . Перепечатано в: Annals of Physics 32 (8), стр. 412–445, 1809 г.
• Крейк, ADD (2004), «Истоки теории волн в воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode : 2004AnRFM..36....1C , doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802. 122118
• Лэмб, Х. (1994), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, §251, ISBN  978-0-521-45868-9 , OCLC   30070401 Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.
• Рэнкин, WJM (1863), «О точной форме волн у поверхности глубокой воды», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 : 127–138, Бибкод : 1863RSPT..153..127M , doi : 10.1098 /rstl.1863.0006
• Тессендорф, Дж. (2001), «Моделирование океанской воды» (PDF) , SIGGRAPH 2001.