Стокса дрейф

Стокс дрейфует на глубоких волнах , длина волны примерно в два раза превышает глубину воды.

Стоки дрейфуют на мелководных волнах, длина волны которых намного превышает глубину воды.

Красные кружки — это нынешние положения безмассовых частиц, движущихся со скоростью потока . Голубая линия показывает путь этих частиц, а голубая линия обводит положение частиц после каждого периода волны . Белые точки — это жидкие частицы, также сопровождаемые во времени. В показанных здесь случаях средняя волны эйлерова горизонтальная скорость ниже впадины равна нулю.
Обратите внимание, что период волны , испытываемый частицей жидкости вблизи свободной поверхности , отличается от периода волны в фиксированном горизонтальном положении (как показано голубыми кружками). Это происходит из-за доплеровского сдвига .

Простор коряг вдоль северного побережья штата Вашингтон . Дрейф Стокса – помимо, например, дрейфа Экмана и геострофических течений – является одним из важных процессов переноса морского мусора .

Для чистого волнового движения в гидродинамике скорость стоксова дрейфа представляет собой среднюю скорость при следовании за конкретным пакетом жидкости , когда он движется с потоком жидкости . Например, частица, плавающая на свободной поверхности водных волн , испытывает результирующую скорость стоксова дрейфа в направлении распространения волны .

В более общем смысле, скорость стоксова дрейфа представляет собой разницу между средней лагранжевой скоростью потока жидкости и средней в фиксированном положении эйлеровой скоростью потока жидкости . Это нелинейное явление названо в честь Джорджа Габриэля Стоукса , который вывел выражения для этого дрейфа в своем исследовании в волн на воде 1847 году .

Дрейф Стокса — это разница в конечных положениях после заранее определенного периода времени (обычно одного периода волны ), полученная из описания в лагранжевых и эйлеровых координатах . Конечное положение в лагранжевом описании получается путем отслеживания конкретного участка жидкости в течение интервала времени. Соответствующее конечное положение в эйлеровом описании получается путем интегрирования скорости потока в фиксированном положении, равном начальному положению в лагранжевом описании, за тот же интервал времени.

Скорость стоксова дрейфа равна стоксову дрейфу, деленному на рассматриваемый интервал времени.Часто скорость стоксова дрейфа условно называют дрейфом Стокса.Стоксов дрейф может возникнуть во всех случаях колебательного течения, неоднородного в пространстве. Например, в водных волнах , приливах и атмосферных волнах .

В лагранжевом описании пакеты жидкости могут отклоняться далеко от своих первоначальных положений. В результате однозначное определение средней лагранжевой скорости и скорости стоксова дрейфа, которые можно приписать определенному фиксированному положению, является далеко не тривиальной задачей. Однако такое однозначное описание даёт теория обобщенного лагранжева среднего (GLM) Эндрюса и Макинтайра в 1978 году .

Дрейф Стокса важен для массопереноса различного рода веществ и организмов колебательными потоками. Он играет решающую роль в формировании ленгмюровских циркуляций . Для нелинейных и периодических волн на воде точные результаты дрейфа Стокса были рассчитаны и сведены в таблицы.

Математическое описание

Лагранжево движение жидкого пакета с вектором положения x = ξ ( α , t) в эйлеровых координатах определяется выражением

${\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial t}}=\mathbf {u} {\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )},$

где

∂ ξ /∂ t — производная ξ α ( t , частная ) по t ,

ξ ( α , t ) — лагранжев вектор положения жидкого участка,

u ( x , t ) — эйлерова скорость ,

x — вектор положения в эйлеровой системе координат ,

α — вектор положения в лагранжевой системе координат ,

т это время .

Часто лагранжевы координаты α выбирают так, чтобы они совпадали с эйлеровыми координатами x в начальный момент времени t = t ₀ :

${\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t_{0})={\boldsymbol {\alpha }}.$

Если среднее значение величины обозначено чертой, то средний вектор эйлеровой скорости ū _E и средний вектор лагранжевой скорости ū _L равны

${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}&={\overline {\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}},\\{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}&={\overline {{\dot {\boldsymbol {\xi }}}({\boldsymbol {\alpha }},t)}}={\overline {\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial t}}\right)}}={\overline {{\boldsymbol {u}}{\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )}}}.\end{aligned}}$

разные определения среднего ( В зависимости от предмета исследования могут использоваться см. эргодическую теорию ):

• среднее время ,
• космическое среднее,
• средний ансамбль ,
• фазовое среднее.

Скорость стоксова дрейфа ū _S определяется как разность между средней эйлеровой скоростью и средней лагранжевой скоростью:

${\bar {\mathbf {u} }}_{\text{S}}={\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}-{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}.$

Во многих ситуациях отображение средних величин из некоторой эйлеровой позиции x в соответствующую лагранжеву позицию α образует проблему. Поскольку жидкий пакет с меткой α проходит по пути множества различных эйлеровых позиций x , невозможно присвоить α уникальному x .Математически обоснованную основу для однозначного сопоставления средних лагранжевых и эйлеровых величин обеспечивает теория обобщенного лагранжева среднего (GLM) Эндрюса и Макинтайра (1978) .

Пример: одномерный сжимаемый поток.

Для эйлеровой скорости как монохроматической волны любой природы в сплошной среде: $u={\hat {u}}\sin(kx-\omega t),$ легко получить по теории возмущений – с $k{\hat {u}}/\omega$ как малый параметр – для положения частицы $x=\xi (\xi _{0},t)$:

${\dot {\xi }}=u(\xi ,t)={\hat {u}}\sin(k\xi -\omega t),$

$\xi (\xi _{0},t)\approx \xi _{0}+{\frac {\hat {u}}{\omega }}\cos(k\xi _{0}-\omega t)-{\frac {1}{4}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega ^{2}}}\sin 2(k\xi _{0}-\omega t)+{\frac {1}{2}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega }}t.$

Здесь последний член описывает скорость стоксова дрейфа ${\tfrac {1}{2}}k{\hat {u}}^{2}/\omega .$

Пример: Глубоководные волны.

Стокс дрейфует под периодическими волнами на глубокой воде в течение периода T = 5 с и средней глубины воды 25 м. Слева : мгновенные скорости горизонтального потока . Справа : средние скорости потока. Черная сплошная линия: средняя эйлерова скорость; красная пунктирная линия: средняя лагранжева скорость, полученная на основе обобщенного лагранжевого среднего (GLM).

Смотрите также: теория волн Эйри и волна Стокса.

Дрейф Стокса для волн на воде был сформулирован Джорджем Габриэлем Стоксом случай бесконечно Для простоты рассмотрен глубокой воды с линейным распространением синусоидальной в 1847 году . волны на свободной поверхности слоя жидкости:

$\eta =a\cos(kx-\omega t),$

где

η — высота свободной поверхности в направлении z (метры),

а волны – амплитуда (метры),

k — волновое число : k = 2 π / λ ( радиан на метр),

ω — угловая частота : ω = 2 π / T ( радиан в секунду ),

x — горизонтальная координата и направление распространения волны (метры),

z — вертикальная координата с положительным направлением z, направленным из слоя жидкости (в метрах),

λ – длина волны (метры),

Т — период волны ( секунды ).

Как показано ниже, горизонтальная составляющая ū _S ( z ) скорости стоксова дрейфа для глубоководных волн приблизительно равна:

${\bar {u}}_{\text{S}}\approx \omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}}{\lambda T}}{\text{e}}^{4\pi z/\lambda }.$

Как видно, скорость стоксова дрейфа ū _S является нелинейной величиной относительно амплитуды волны a . Далее скорость стоксова дрейфа экспоненциально затухает с глубиной: на глубине четверти длины волны z = − λ /4 она составляет около 4% от ее значения на средней свободной поверхности z = 0.

Вывод

Предполагается, что волны имеют бесконечно малую амплитуду и свободная поверхность колеблется вокруг среднего уровня z = 0. Волны распространяются под действием силы тяжести с постоянным ускорения вектором ( силы тяжести направленным вниз в отрицательном направлении z ). Далее предполагается, что жидкость невязкая. и несжимаемый , с постоянной массовой плотностью . жидкости Течение безвихревое ​ . На бесконечной глубине жидкость считается покоящейся .

Теперь поток может быть представлен потенциалом скорости φ , удовлетворяющим уравнению Лапласа и

$\varphi ={\frac {\omega }{k}}a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t).$

Чтобы иметь нетривиальные решения этой проблемы собственных значений , длина волны и период волны не могут выбираться произвольно, но должны удовлетворять глубоководному дисперсионному уравнению:

$\omega ^{2}=gk$

с g ускорение падения свободного с в (м/ ² ). В рамках линейной теории горизонтальная и вертикальная компоненты , ξ _x и ξ _z лагранжевой позиции ξ соответственно, равны

${\begin{aligned}\xi _{x}&=x+\int {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\,{\text{d}}t=x-a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t),\\\xi _{z}&=z+\int {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\,{\text{d}}t=z+a{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t).\end{aligned}}$

Горизонтальная составляющая ū _S скорости стоксова дрейфа оценивается с использованием разложения Тейлора вокруг x эйлеровой горизонтальной компоненты скорости u _x = ∂ ξ _x / ∂ t в позиции ξ :

${\begin{aligned}{\bar {u}}_{\text{S}}&={\overline {u_{x}({\boldsymbol {\xi }},t)}}-{\overline {u_{x}(\mathbf {x} ,t)}}\\&={\overline {\left[u_{x}(\mathbf {x} ,t)+(\xi _{x}-x){\frac {\partial u_{x}(\mathbf {x} ,t)}{\partial x}}+(\xi _{z}-z){\frac {\partial u_{x}(\mathbf {x} ,t)}{\partial z}}+\cdots \right]}}-{\overline {u_{x}(\mathbf {x} ,t)}}\\&\approx {\overline {(\xi _{x}-x){\frac {\partial ^{2}\xi _{x}}{\partial x\,\partial t}}}}+{\overline {(\xi _{z}-z){\frac {\partial ^{2}\xi _{x}}{\partial z\,\partial t}}}}\\&={\overline {\left[-a{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t)\right]\left[-\omega ka{\text{e}}^{kz}\sin(kx-\omega t)\right]}}\\&+{\overline {\left[a{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t)\right]\left[\omega ka{\text{e}}^{kz}\cos(kx-\omega t)\right]}}\\&={\overline {\omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}\left[\sin ^{2}(kx-\omega t)+\cos ^{2}(kx-\omega t)\right]}}\\&=\omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}.\end{aligned}}$

См. также

• Сила Кориолиса – Стокса
• Дарвиновский дрейф
• Лагранжевы и эйлеровы координаты
• Производная материала

Ссылки

Исторический

• ДОБАВИТЬ Крейк (2005). «Джордж Габриэль Стоукс о теории волн на воде». Ежегодный обзор механики жидкости . 37 (1): 23–42. Бибкод : 2005АнРФМ..37...23С . doi : 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175836 .
• Г. Г. Стоукс (1847). «К теории колебательных волн». Труды Кембриджского философского общества . 8 : 441–455.
  Перепечатано в: Г. Г. Стоукс (1880). Математические и физические статьи, том I. Издательство Кембриджского университета. стр. 197–229.

Другой

• Д. Г. Эндрюс и М. Е. Макинтайр (1978). «Точная теория нелинейных волн в лагранжевом среднем потоке». Журнал механики жидкости . 89 (4): 609–646. Бибкод : 1978JFM....89..609A . дои : 10.1017/S0022112078002773 . S2CID   4988274 .
• ДОБАВИТЬ Крейк (1985). Волновые взаимодействия и потоки жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-36829-2 .
• М. С. Лонге-Хиггинс (1953). «Массовый транспорт на водных волнах». Философские труды Королевского общества А. 245 (903): 535–581. Бибкод : 1953RSPTA.245..535L . дои : 10.1098/rsta.1953.0006 . S2CID   120420719 .
• Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхних слоев океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29801-8 .
• Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков) . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-00575-4 .
• Кубота, М. (1994). «Механизм накопления плавучего морского мусора к северу от Гавайев». Журнал физической океанографии . 24 (5): 1059–1064. Бибкод : 1994JPO....24.1059K . doi : 10.1175/1520-0485(1994)024<1059:AMFTAO>2.0.CO;2 .