Уравнение с мягким наклоном

Моделирование проникновения волн, включая дифракцию и преломление , в Тедиус-Крик, штат Мэриленд, с использованием CGWAVE (который решает уравнение умеренного уклона)

В гидродинамике уравнение мягкого наклона описывает комбинированные эффекты дифракции и преломления водных волн , распространяющихся по батиметрии и из-за боковых границ, таких как волнорезы и береговые линии . Это приблизительная модель, получившая свое название от того, что изначально она была разработана для распространения волн по пологим склонам морского дна. Уравнение умеренного уклона часто используется в прибрежной инженерии для расчета изменений волнового поля вблизи гаваней и побережий .

Уравнение плавного уклона моделирует распространение и трансформацию водных волн, когда они проходят через воды различной глубины и взаимодействуют с боковыми границами, такими как скалы , пляжи , дамбы и волнорезы. В результате он описывает изменения амплитуды волны или, что то же самое, высоты волны . По амплитуде волны также можно рассчитать амплитуду колебаний скорости потока под поверхностью воды. Эти величины — амплитуда волны и амплитуда скорости потока — могут впоследствии использоваться для определения воздействия волн на прибрежные и морские сооружения, корабли и другие плавучие объекты, переноса наносов и связанных с этим батиметрических изменений морского дна и береговой линии, средних полей потока и массы. перенос растворенных и плавающих материалов. Чаще всего уравнение плавного наклона решается на компьютере с использованием методов численного анализа .

Первая форма уравнения плавного уклона была разработана Эккартом в 1952 году, а улучшенная версия — уравнение плавного уклона в его классической формулировке — была независимо выведена Юрием Беркхоффом в 1972 году. После этого было предложено множество модифицированных и расширенных форм, включающих, например, эффекты: взаимодействия волн и течений , нелинейности волн , более крутых уклонов морского дна, трения дна и разрушения волн . Также часто используются параболические аппроксимации уравнения плавного наклона, чтобы снизить вычислительные затраты.

В случае постоянной глубины уравнение плавного наклона сводится к уравнению Гельмгольца для дифракции волн.

Формулировка монохроматического волнового движения

Для монохроматических волн по линейной теории — с возвышением свободной поверхности , заданным как $\zeta (x,y,t)=\Re \left\{\eta (x,y)\,e^{-i\omega t}\right\}$ и волны, распространяющиеся в слое жидкости средней глубины воды $h(x,y)$— уравнение плавного уклона: $$\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0,$$где:

• $\eta (x,y)$ - комплексная амплитуда возвышения свободной поверхности. $\zeta (x,y,t);$
• $(x,y)$ – горизонтальное положение;
• $\omega$ – угловая частота монохроматического волнового движения;
• $i$ – мнимая единица ;
• $\Re \{\cdot \}$ означает взятие реальной части количества в фигурных скобках;
• $\nabla$ – оператор горизонтального градиента ;
• $\nabla \cdot$ – оператор дивергенции ;
• $k$ – волновое число ;
• $c_{p}$ - фазовая скорость волн и
• $c_{g}$ – групповая скорость волн.

Фазовая и групповая скорость зависят от дисперсионного соотношения и выводятся из теории волн Эйри как:

$${\begin{aligned}\omega ^{2}&=\,g\,k\,\tanh \,(kh),\\c_{p}&=\,{\frac {\omega }{k}}\quad {\text{and}}\\c_{g}&=\,{\frac {1}{2}}\,c_{p}\,\left[1\,+\,kh\,{\frac {1-\tanh ^{2}(kh)}{\tanh \,(kh)}}\right]\end{aligned}}$$где

• $g$ гравитация Земли и
• $\tanh$ – гиперболический тангенс .

Для заданной угловой частоты $\omega$, волновое число $k$ необходимо решать из дисперсионного уравнения, которое связывает эти две величины с глубиной воды. $h$.

Преобразование к неоднородному уравнению Гельмгольца

Через трансформацию $$\psi \,=\,\eta \,{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}},$$уравнение мягкого наклона можно представить в виде неоднородного уравнения Гельмгольца : $$\Delta \psi \,+\,k_{c}^{2}\,\psi \,=\,0\qquad {\text{with}}\qquad k_{c}^{2}\,=\,k^{2}\,-\,{\frac {\Delta \left({\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}\right)}{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}},$$где $\Delta$ — оператор Лапласа .

Распространяющиеся волны

В пространственно -когерентных полях распространяющихся волн полезно разделить комплексную амплитуду $\eta (x,y)$ по амплитуде и фазе, оба вещественные : $$\eta (x,y)\,=\,a(x,y)\,e^{i\,\theta (x,y)},$$где

• $a=|\eta |\,$ это амплитуда или абсолютное значение $\eta \,$ и
• $\theta =\arg\{\eta \}\,$ – фаза волны, которая аргументом является $\eta .$

Это преобразует уравнение пологого уклона в следующий набор уравнений (кроме мест, для которых $\nabla \theta$ имеет единственное число):

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \kappa _{y}}{\partial {x}}}\,-\,{\frac {\partial \kappa _{x}}{\partial {y}}}\,=\,0\qquad &{\text{ with }}\kappa _{x}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {x}}}{\text{ and }}\kappa _{y}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {y}}},\\\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\right)}{c_{p}\,c_{g}\,a}}\qquad &{\text{ with }}\kappa \,=\,{\sqrt {\kappa _{x}^{2}\,+\,\kappa _{y}^{2}}}\quad {\text{ and}}\\\nabla \cdot \left({\boldsymbol {v}}_{g}\,E\right)\,=\,0\qquad &{\text{ with }}E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,a^{2}\quad {\text{and}}\quad {\boldsymbol {v}}_{g}\,=\,c_{g}\,{\frac {\boldsymbol {\kappa }}{k}},\end{aligned}}$$где

• $E$ - средняя плотность волновой энергии на единицу горизонтальной площади (сумма плотностей кинетической и потенциальной энергии ),
• ${\boldsymbol {\kappa }}$ - вектор эффективного волнового числа с компонентами $(\kappa _{x},\kappa _{y}),$
• ${\boldsymbol {v}}_{g}$ – эффективный вектор групповой скорости ,
• $\rho$ жидкости плотность , а
• $g$ - ускорение силы тяжести Земли .

Последнее уравнение показывает, что энергия волны сохраняется в уравнении плавного наклона и что энергия волны $E$ транспортируется в ${\boldsymbol {\kappa }}$-направление, нормальное к гребням волн ( в данном случае чисто волновое движение без средних течений). Эффективная групповая скорость $|{\boldsymbol {v}}_{g}|$ отличается от групповой скорости $c_{g}.$

Первое уравнение утверждает, что эффективное волновое число ${\boldsymbol {\kappa }}$ является безвихревым , что является прямым следствием того факта, что оно является производной фазы волны $\theta$, скалярное поле . Второе уравнение — это уравнение эйконала . Он показывает влияние дифракции на эффективное волновое число: только для более или менее прогрессивных волн, с $\left|\nabla \cdot (c_{p}\,c_{g}\,\nabla a)\right|\ll k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a,$ расщепление по амплитуде $a$ и фаза $\theta$ приводит к последовательно меняющимся и значимым полям $a$ и ${\boldsymbol {\kappa }}$. В противном случае κ ² может даже стать отрицательным. При полном пренебрежении дифракционными эффектами эффективное волновое число κ равно $k$, и приближение геометрической оптики для преломления волн. можно использовать

показывать

Подробности вывода приведенных выше уравнений

When $\eta =a\,\exp(i\theta )$ is used in the mild-slope equation, the result is, apart from a factor $\exp(i\theta )$:

$$c_{p}\,c_{g}\,\left(\Delta a\,+\,2i\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,-\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,i\,a\,\Delta \theta \right)\,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(\nabla a\,+\,i\,a\,\nabla \theta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0.$$

Now both the real part and the imaginary part of this equation have to be equal to zero:$${\begin{aligned}&c_{p}\,c_{g}\,\Delta a\,-\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \nabla a\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0\quad {\text{and}}\\&2\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,+\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\Delta \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(a\,\nabla \theta \right)\,=\,0.\end{aligned}}$$

The effective wavenumber vector ${\boldsymbol {\kappa }}$ is defined as the gradient of the wave phase:$${\boldsymbol {\kappa }}=\nabla \theta$$ and its vector length is $$\kappa =|{\boldsymbol {\kappa }}|.$$

Note that ${\boldsymbol {\kappa }}$ is an irrotational field, since the curl of the gradient is zero:$$\nabla \times {\boldsymbol {\kappa }}=0.$$

Now the real and imaginary parts of the transformed mild-slope equation become, first multiplying the imaginary part by $a$:$${\begin{aligned}&\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla (c_{p}\,c_{g})}{c_{p}\,c_{g}}}\cdot {\frac {\nabla a}{a}}\,+\,{\frac {\Delta a}{a}}\quad {\text{and}}\\&c_{p}\,c_{g}\,\nabla \left(a^{2}\right)\cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla \cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,a^{2}\,{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\,=\,0.\end{aligned}}$$

The first equation directly leads to the eikonal equation above for $\kappa \,$, while the second gives:$$\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\kappa }}\,c_{p}\,c_{g}\,a^{2}\right)\,=\,0,$$

which—by noting that $c_{p}=\omega /k$ in which the angular frequency $\omega$ is a constant for time-harmonic motion—leads to the wave-energy conservation equation.

Вывод уравнения плавного уклона

Уравнение плавного наклона можно получить с помощью нескольких методов. Здесь мы будем использовать вариационный подход. Жидкость предполагается невязкой и несжимаемой , а течение – безвихревым . Эти предположения справедливы для поверхностных гравитационных волн, поскольку эффекты завихренности и вязкости существенны только в стоксовских пограничных слоях (для колебательной части течения). Поскольку течение является безвихревым, волновое движение можно описать с помощью теории потенциального потока .

показывать

Подробности вывода уравнения плавного уклона

Luke's variational principle

Main article: Luke's variational principle

Luke's Lagrangian formulation gives a variational formulation for non-linear surface gravity waves.For the case of a horizontally unbounded domain with a constant density $\rho$, a free fluid surface at $z=\zeta (x,y,t)$ and a fixed sea bed at $z=-h(x,y),$ Luke's variational principle $\delta {\mathcal {L}}=0$ uses the Lagrangian$${\mathcal {L}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint L\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}t,$$where $L$ is the horizontal Lagrangian density, given by:$$L=-\rho \,\left\{\int _{-h(x,y)}^{\zeta (x,y,t)}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,(\zeta ^{2}\,-\,h^{2})\right\},$$

where $\Phi (x,y,z,t)$ is the velocity potential, with the flow velocity components being $\partial \Phi /\partial {x},$ $\partial \Phi /\partial {y}$ and $\partial \Phi /\partial {z}$ in the $x$, $y$ and $z$ directions, respectively.Luke's Lagrangian formulation can also be recast into a Hamiltonian formulation in terms of the surface elevation and velocity potential at the free surface.Taking the variations of ${\mathcal {L}}(\Phi ,\zeta )$ with respect to the potential $\Phi (x,y,z,t)$ and surface elevation $\zeta (x,y,t)$ leads to the Laplace equation for $\Phi$ in the fluid interior, as well as all the boundary conditions both on the free surface $z=\zeta (x,y,t)$ as at the bed at $z=-h(x,y).$

Linear wave theory

In case of linear wave theory, the vertical integral in the Lagrangian density $L$ is split into a part from the bed $z=-h$ to the mean surface at $z=0,$ and a second part from $z=0$ to the free surface $z=\zeta$. Using a Taylor series expansion for the second integral around the mean free-surface elevation $z=0,$ and only retaining quadratic terms in $\Phi$ and $\zeta ,$ the Lagrangian density $L_{0}$ for linear wave motion becomes$$L_{0}=-\rho \,\left\{\zeta \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right]_{z=0}\,+\,\int _{-h}^{0}{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}\,\right\}.$$

The term $\partial \Phi /\partial {t}$ in the vertical integral is dropped since it has become dynamically uninteresting: it gives a zero contribution to the Euler–Lagrange equations, with the upper integration limit now fixed. The same is true for the neglected bottom term proportional to $h^{2}$ in the potential energy.

The waves propagate in the horizontal $(x,y)$ plane, while the structure of the potential $\Phi$ is not wave-like in the vertical $z$-direction. This suggests the use of the following assumption on the form of the potential $\Phi :$$$\Phi (x,y,z,t)=f(z;x,y)\,\varphi (x,y,t)$$ with normalisation $$f(0;x,y)=1$$ at the mean free-surface elevation $z=0.$

Here $\varphi (x,y,t)$ is the velocity potential at the mean free-surface level $z=0.$ Next, the mild-slope assumption is made, in that the vertical shape function $f$ changes slowly in the $(x,y)$-plane, and horizontal derivatives of $f$ can be neglected in the flow velocity. So:$${\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {x}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {z}}}\end{pmatrix}}\,\approx \,{\begin{pmatrix}f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\\[2ex]f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial {f}}{\partial {z}}}\,\varphi \end{pmatrix}}.$$

As a result:$$L_{0}=-\rho \left\{\zeta {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}\,F\left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\right)^{2}\right]\,+{\frac {1}{2}}\,G\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\,g\zeta ^{2}\right\},$$ with $${\begin{aligned}F&=\int _{-h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z\\G&=\int _{-h}^{0}\left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}z}}\right)^{2}{\text{d}}z.\end{aligned}}$$

The Euler–Lagrange equations for this Lagrangian density $L_{0}$ are, with $\xi (x,y,t)$ representing either $\varphi$ or $\zeta :$$${\frac {\partial {L_{0}}}{\partial \xi }}-{\frac {\partial }{\partial {t}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {t})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {x})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {y})}}\right)=0.$$

Now $\xi$ is first taken equal to $\varphi$ and then to $\zeta .$ As a result, the evolution equations for the wave motion become:$${\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\,&+\nabla \cdot \left(F\,\nabla \varphi \right)-G\varphi =0\quad {\text{and}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,g\zeta =0,\end{aligned}}$$with ∇ the horizontal gradient operator: ∇ ≡ (∂/∂x, ∂/∂y)^T where superscript T denotes the transpose.

The next step is to choose the shape function $f$ and to determine $F$ and $G.$

Vertical shape function from Airy wave theory

Since the objective is the description of waves over mildly sloping beds, the shape function $f(z)$ is chosen according to Airy wave theory. This is the linear theory of waves propagating in constant depth $h.$ The form of the shape function is:$$f={\frac {\cosh \left(k\left(z+h\right)\right)}{\cosh(kh)}},$$with $k(x,y)$ now in general not a constant, but chosen to vary with $x$ and $y$ according to the local depth $h(x,y)$ and the linear dispersion relation:$$\omega _{0}^{2}=gk\tanh(kh).$$

Here $\omega _{0}$ a constant angular frequency, chosen in accordance with the characteristics of the wave field under study. Consequently, the integrals $F$ and $G$ become:$${\begin{aligned}F&=\int _{h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z={\frac {1}{g}}c_{p}c_{g}\quad {\text{and}}\\G&=\int _{h}^{0}\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}{\text{d}}z={\frac {1}{g}}\left(\omega _{0}^{2}-k^{2}c_{p}c_{g}\right).\end{aligned}}$$

Следующие зависящие от времени уравнения дают эволюцию возвышения свободной поверхности. $\zeta (x,y,t)$ и потенциал свободной поверхности $\phi (x,y,t):$$${\begin{aligned}g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial {t}}}&+\nabla \cdot \left(c_{p}c_{g}\,\nabla \varphi \right)+\left(k^{2}c_{p}c_{g}-\omega _{0}^{2}\right)\varphi =0,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial {t}}}&+g\zeta =0,\quad {\text{with}}\quad \omega _{0}^{2}=gk\tanh(kh).\end{aligned}}$$

В двух эволюционных уравнениях одна из переменных $\varphi$ или $\zeta$ можно исключить, чтобы получить зависящую от времени форму уравнения плавного наклона: $$-{\frac {\partial ^{2}\zeta }{\partial t^{2}}}+\nabla \cdot \left(c_{p}c_{g}\,\nabla \zeta \right)+\left(k^{2}c_{p}c_{g}-\omega _{0}^{2}\right)\zeta =0,$$и соответствующее уравнение для потенциала свободной поверхности идентично: $\zeta$ заменен на $\varphi .$ Зависимое от времени уравнение умеренного наклона можно использовать для моделирования волн в узком диапазоне частот около $\omega _{0}.$

Монохроматические волны

Рассмотрим монохроматические волны с комплексной амплитудой $\eta (x,y)$ и угловая частота $\omega$: $$\zeta (x,y,t)=\Re \left\{\eta (x,y)\,e^{-i\omega it}\right\},$$с $\omega$ и $\omega _{0}$ выбраны равными друг другу, $\omega =\omega _{0}.$ Используя это в зависящей от времени форме уравнения плавного наклона, восстанавливается классическое уравнение плавного наклона для гармонического во времени волнового движения: $$\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0.$$

Применимость и обоснованность уравнения плавного наклона

Стандартное уравнение мягкого уклона без дополнительных членов, касающихся уклона и кривизны пласта, дает точные результаты для волнового поля над уклонами пласта в диапазоне от 0 до примерно 1/3. Однако некоторые тонкие аспекты, такие как амплитуда отраженных волн, могут быть совершенно неправильными даже при нулевом наклоне. Эта математическая диковинка вообще не имеет практического значения, поскольку это отражение становится исчезающе малым при небольших уклонах дна.

Ссылки

• Дингеманс, М.В. (1997), Распространение водных волн по неровному дну , Расширенная серия по океанической инженерии, том. 13, World Scientific, Сингапур, ISBN  981-02-0427-2 , OCLC   36126836 , 2 части, 967 страниц.
• Лю, PL-F. (1990), «Волновая трансформация», в Б. Ле Мехоте и Д.М. Ханесе (редактор), Ocean Engineering Science , The Sea, vol. 9A, Wiley Interscience, стр. 27–63, ISBN.  0-471-52856-0
• Мэй, Чианг К. (1994), Прикладная динамика поверхностных волн океана , Расширенная серия по океанской инженерии, том. 1, Всемирный научный, ISBN  9971-5-0789-7 , 740 страниц.
• Портер, Д.; Чемберлен, П.Г. (1997), «Линейное рассеяние волн двумерной топографией», в Дж. Н. Ханте (ред.), Гравитационные волны в воде конечной глубины , Достижения в механике жидкости, том. 10, Публикации по вычислительной механике, стр. 13–53, ISBN.  1-85312-351-Х
• Портер, Д. (2003), «Уравнения с мягким наклоном», Journal of Fluid Mechanics , 494 : 51–63, Bibcode : 2003JFM...494...51P , doi : 10.1017/S0022112003005846 , S2CID   121112316