Фазор

Чтобы узнать о других значениях, см. Фазор (значения) .

Не путать с фазером .

«Комплексная амплитуда» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о квантово-механической концепции, см. Комплексную амплитуду вероятности .

Пример последовательной схемы RLC и соответствующей векторной диаграммы для конкретного ω . Стрелки на верхней диаграмме представляют собой векторы, нарисованные на векторной диаграмме ( показана комплексная плоскость без оси), которые не следует путать со стрелками на нижней диаграмме, которые являются опорной полярностью для напряжений и опорным направлением тока . .

В физике и технике вектор ) ( сумма фазового вектора ) — комплексное число, синусоидальную функцию , амплитуда ( ( A ) и начальная фаза ( θ ) не зависят от времени и угловая частота представляющее ω ) фиксирована. Это связано с более общей концепцией, называемой аналитическим представлением . который разлагает синусоиду на произведение комплексной константы и коэффициента, зависящего от времени и частоты. Комплексная константа, которая зависит от амплитуды и фазы, известна как вектор или комплексная амплитуда . и (в старых текстах) синор или даже комплексор .

Обычное применение - анализ установившегося состояния электрической сети, питаемой изменяющимся во времени током , где все сигналы считаются синусоидальными с общей частотой. Векторное представление позволяет аналитику представлять амплитуду и фазу сигнала, используя одно комплексное число. Единственная разница в их аналитических представлениях — это комплексная амплитуда (вектор). Линейную комбинацию таких функций можно представить как линейную комбинацию векторов (известную как векторная арифметика или векторная алгебра). ) и фактор, зависящий от времени/частоты, который у них всех общий.

Происхождение термина «фазор» по праву предполагает, что (диаграмматическое) исчисление, несколько похожее на то, которое возможно для векторов , возможно и для векторов. Важной дополнительной особенностью векторного преобразования является то, что дифференцирование и интегрирование синусоидальных сигналов (имеющих постоянную амплитуду, период и фазу) соответствует простым алгебраическим операциям над векторами; Таким образом, векторное преобразование позволяет анализировать (рассчитывать) установившееся тока состояние переменного цепей RLC путем решения простых алгебраических уравнений (хотя и с комплексными коэффициентами) в векторной области вместо решения дифференциальных уравнений (с действительными коэффициентами) во временной области. Создателем векторного преобразования был Чарльз Протеус Стейнмец, работавший в General Electric в конце 19 века. Его вдохновил Оливер Хевисайд . Операционное исчисление Хевисайда было изменено так, что переменная p стала jω. Комплексное число j имеет простой смысл: фазовый сдвиг.

Опуская некоторые математические детали, векторное преобразование также можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа (ограниченного одной частотой), которое, в отличие от векторного представления, можно использовать для (одновременного) получения переходного отклика RLC-схема. Однако преобразование Лапласа математически сложнее применить, и усилия могут быть неоправданными, если требуется только анализ устойчивого состояния.

Рис. 2. Когда функция $A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}$ изображается на комплексной плоскости, вектор, образованный его мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его величина равна A , и он совершает один цикл каждые 2 π /ω. θ — это угол, который он образует с положительной действительной осью в момент t = 0 (и в момент t = n 2 π / ω для всех целых значений n ).

Обозначения

См. также: Векторные обозначения

Фазорная нотация (также известная как угловая нотация ) — математическая нотация, используемая в электронике и электротехнике . Вектор, полярные координаты которого равны величине. $A$ и угол $\theta$ написано $A\angle \theta .$ $1\angle \theta$ может представлять либо вектор $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ или комплексное число $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$, по формуле Эйлера с $i^{2}=-1$, оба из которых имеют величину 1.

Угол может быть указан в градусах с подразумеваемым преобразованием градусов в радианы . Например $1\angle 90$ предполагается, что это $1\angle 90^{\circ },$ что такое вектор $(0,\,1)$ или номер $e^{i\pi /2}=i.$

Определение

Действительная синусоида с постоянной амплитудой, частотой и фазой имеет форму:

$A\cos(\omega t+\theta ),$

где только параметр $t$ является изменяющимся во времени. Включение мнимой составляющей :

$i\cdot A\sin(\omega t+\theta )$

придает ему в соответствии с формулой Эйлера факторинговое свойство, описанное в первом абзаце:

$A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},$

действительной частью которого является исходная синусоида. Преимущество комплексного представления состоит в том, что линейные операции с другими комплексными представлениями дают комплексный результат, действительная часть которого отражает те же линейные операции с действительными частями других комплексных синусоид. Более того, всю математику можно выполнить, используя только векторы. $Ae^{i\theta },$ и общий фактор $e^{i\omega t}$ вставляется повторно перед действительной частью результата.

Функция $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ является аналитическим представлением $A\cos(\omega t+\theta ).$ На рисунке 2 он изображен как вращающийся вектор в комплексной плоскости. Иногда удобно называть всю функцию вектором . как мы делаем в следующем разделе.

Арифметика

См. Также: Комплексное число § Отношения и операции.

Умножение на константу (скаляр)

Умножение вектора $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ комплексной константой, $Be^{i\phi }$, создает другой вектор. Это означает, что его единственный эффект — изменить амплитуду и фазу основной синусоиды: $${\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}$$

В электронике, $Be^{i\phi }$ будет представлять импеданс , который не зависит от времени. В частности, это не сокращенное обозначение другого вектора. Умножение векторного тока на импеданс дает векторное напряжение. Но произведение двух векторов (или возведение вектора в квадрат) будет представлять собой произведение двух синусоид, что представляет собой нелинейную операцию, создающую новые частотные компоненты. Векторные обозначения могут представлять только системы с одной частотой, такие как линейная система, стимулируемая синусоидой.

Добавление

Сумма векторов как сложение вращающихся векторов

Сумма нескольких векторов создает еще один вектор. Это связано с тем, что сумма синусоидов одной и той же частоты также является синусоидой этой частоты: $${\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}$$где: $$A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},$$

и, если мы возьмем ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$, затем $\theta _{3}$ является:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ если $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ с $\operatorname {sgn}$ функция Signum ;
• $\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),$ если $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0$;
• $\pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),$ если $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0$.

или, посредством закона косинусов на комплексной плоскости (или тригонометрического тождества для разностей углов ): $$A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),$$где $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.$

Ключевым моментом является то, что A ₃ и θ ₃ не зависят от ω или t , что делает возможной векторную запись. Зависимость от времени и частоты можно подавить и снова включить в результат, если между ними используются только те операции, которые создают другой вектор. В угловых обозначениях показанная выше операция записывается: $$A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.$$

Другой способ рассмотрения сложения состоит в том, что два вектора с координатами [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] и [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] для векторно добавляются получения результирующего вектора с координатами [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (см. анимацию).

Векторная диаграмма трех волн в условиях идеальной деструктивной интерференции

В физике такое сложение происходит, когда синусоиды конструктивно или деструктивно мешают друг другу. Концепция статического вектора дает полезную информацию для решения таких вопросов: «Какая разность фаз потребуется между тремя одинаковыми синусоидами для идеального подавления?» В этом случае просто представьте, что вы берете три вектора одинаковой длины и размещаете их лицом к хвосту так, чтобы последняя голова совпадала с первым хвостом. Очевидно, что фигура, удовлетворяющая этим условиям, представляет собой равносторонний треугольник , поэтому угол между каждым вектором к следующему равен 120° ( 2 π ⁄ 3 радиан), или одна треть длины волны. λ ⁄ 3 . Таким образом, разность фаз между каждой волной также должна составлять 120°, как и в случае трехфазной мощности .

Другими словами, это показывает, что: $$\cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.$$

В примере с тремя волнами разность фаз между первой и последней волной составила 240°, а для двух волн деструктивная интерференция происходит при 180°. В пределе многих волн векторы должны образовывать круг деструктивной интерференции, так чтобы первый вектор был почти параллелен последнему. Это означает, что для многих источников деструктивная интерференция возникает, когда первая и последняя волны отличаются на 360 градусов, то есть на полную длину волны. $\lambda$. Вот почему при дифракции на одной щели минимумы возникают, когда свет от дальнего края проходит на полную длину волны дальше, чем свет от ближнего края.

Поскольку одиночный вектор вращается против часовой стрелки, его кончик в точке A повернется на один полный оборот на 360 ° или 2 π радиан, что соответствует одному полному циклу. Если длину его движущегося кончика перенести на график с разными угловыми интервалами во времени, как показано выше, будет нарисован синусоидальный сигнал, начиная слева с нулевым временем. Каждая позиция по горизонтальной оси указывает время, прошедшее с нулевого времени, t = 0 . Когда вектор горизонтален, кончик вектора представляет углы 0°, 180° и 360°.

Аналогично, когда вершина вектора вертикальна, она представляет положительное пиковое значение ( + A _max ) при 90° или π ⁄ 2 и отрицательное пиковое значение ( − A _max ) при 270° или 3 π ⁄ 2 . Тогда ось времени сигнала представляет угол в градусах или радианах, на который переместился вектор. Таким образом, мы можем сказать, что вектор представляет собой масштабированное значение напряжения или тока вращающегося вектора, который «заморожен» в какой-то момент времени ( t ), а в нашем примере выше он находится под углом 30 °.

Иногда, когда мы анализируем переменные сигналы, нам может потребоваться знать положение вектора, представляющего переменную величину в определенный момент времени, особенно когда мы хотим сравнить два разных сигнала на одной оси. Например, напряжение и ток. В приведенной выше форме сигнала мы предположили, что сигнал начинается в момент времени t = 0 с соответствующим фазовым углом в градусах или радианах.

Но если второй сигнал начинается слева или справа от этой нулевой точки, или если мы хотим представить в векторной форме связь между двумя формами сигнала, тогда нам нужно будет принять во внимание эту разность фаз Φ сигнала. . Рассмотрим диаграмму ниже из предыдущего урока «Разница фаз».

Дифференциация и интеграция

по времени Производная или интеграл вектора создает другой вектор. Например: $${\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$$

Следовательно, в векторном представлении производная синусоиды по времени становится просто умножением на константу. ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$.

Аналогично, интегрирование вектора соответствует умножению на ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ Фактор, зависящий от времени, $e^{i\omega t},$ не затронуто.

Когда мы решаем линейное дифференциальное уравнение с помощью векторной арифметики, мы просто факторизуем $e^{i\omega t}$ из всех членов уравнения и повторно вставить его в ответ. Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе в RC-цепи : $${\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).$$

Когда источник напряжения в этой цепи синусоидальный: $$v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),$$

мы можем заменить $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$

$$v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),$$где вектор $V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },$ и вектор $V_{\text{c}}$ – неизвестная величина, которую необходимо определить.

В сокращенной векторной записи дифференциальное уравнение сводится к: $$i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.$$

Вывод

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} (V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t})={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right)$ ( Уравнение 1 )

Поскольку это должно справедливо для всех $t$, конкретно: ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ отсюда следует, что:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ ( Уравнение 2 )

Также легко заметить, что: $${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}$$

Подставив их в уравнения 1 и 2 , умножив уравнение 2 на $i,$ и добавление обоих уравнений дает: $${\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}$$

Решение векторного напряжения конденсатора дает: $$V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.$$

Как мы видели, множитель $V_{\text{s}}$ представляет собой разницу амплитуды и фазы $v_{\text{C}}(t)$ относительно $V_{\text{P}}$ и $\theta .$

В форме полярных координат первый член последнего выражения имеет вид: $${\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},$$где $\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)$.

Поэтому: $$v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).$$

Соотношение векторов

Величина, называемая комплексным импедансом, представляет собой отношение двух векторов, которое не является вектором, поскольку не соответствует синусоидально изменяющейся функции.

Приложения

Окружные законы

С помощью векторов методы решения цепей постоянного тока можно применять для решения линейных цепей переменного тока.

Закон Ома для резисторов

Резистор V не имеет временных задержек и, следовательно, не меняет фазу сигнала, поэтому = IR остается действительным.

Закон Ома для резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов.

V = IZ , где Z — комплексный импеданс .

Законы цепи Кирхгофа

Работайте с напряжениями и токами как с комплексными векторами.

В цепи переменного тока у нас есть активная мощность ( P ), которая представляет собой среднюю мощность в цепи, и реактивную мощность ( Q ), которая указывает на мощность, текущую туда и обратно. Мы также можем определить комплексную мощность S = P + jQ которая является величиной S. и полную мощность , Тогда степенной закон для цепи переменного тока, выраженный в векторах, будет S = VI. ^* (где я ^* является комплексно-сопряженным , I а величины векторов напряжения и тока V и I являются среднеквадратичными значениями напряжения и тока соответственно).

Учитывая это, мы можем применять методы анализа резистивных цепей с векторами для анализа одночастотных линейных цепей переменного тока, содержащих резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности . Многочастотные линейные цепи переменного тока и цепи переменного тока с различными формами сигналов можно анализировать для определения напряжений и токов путем преобразования всех форм сигналов в компоненты синусоидальной волны (с использованием ряда Фурье ) с величиной и фазой, а затем анализируя каждую частоту отдельно, как это разрешено теоремой суперпозиции . Этот метод решения применим только к синусоидальным входным сигналам и к решениям, находящимся в установившемся состоянии, т. е. после того, как все переходные процессы затухли.

Эта концепция часто используется для представления электрического импеданса . В этом случае фазовый угол представляет собой разность фаз между напряжением, приложенным к импедансу, и током, протекающим через него.

Энергетика

При анализе трехфазных систем переменного тока обычно набор векторов определяется как три комплексных кубических корня из единицы , графически представленных в виде единичных величин под углами 0, 120 и 240 градусов. Рассматривая величины многофазной цепи переменного тока как векторы, можно упростить симметричные схемы, а несимметричные схемы можно рассматривать как алгебраическую комбинацию симметричных компонентов . Этот подход значительно упрощает работу, необходимую для электрических расчетов падения напряжения, потока мощности и токов короткого замыкания. В контексте анализа энергосистем фазовый угол часто указывается в градусах , а величина - в среднеквадратичном значении, а не в пиковой амплитуде синусоиды.

Метод синхрофазоров использует цифровые инструменты для измерения векторов, представляющих напряжения системы передачи в широко распространенных точках сети передачи. Различия между векторами указывают на поток мощности и стабильность системы.

Телекоммуникации: аналоговые модуляции

A: векторное представление амплитудной модуляции, B: альтернативное представление амплитудной модуляции, C: векторное представление частотной модуляции, D: альтернативное представление частотной модуляции

Изображение вращающегося кадра с использованием вектора может быть мощным инструментом для понимания аналоговых модуляций, таких как амплитудная модуляция (и ее варианты). ) и частотная модуляция .

$$x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),$$где член в скобках рассматривается как вращающийся вектор в комплексной плоскости.

Вектор имеет длину $A$, вращается против часовой стрелки со скоростью $f_{0}$ оборотов в секунду и во времени $t=0$ образует угол $\theta$ относительно положительной вещественной оси.

Форма волны $x(t)$ тогда можно рассматривать как проекцию этого вектора на действительную ось. Модулированный сигнал представлен этим вектором (несущая) и двумя дополнительными векторами (векторами модуляции). Если модулирующий сигнал представляет собой один тон вида $Am\cos {2\pi f_{m}t}$, где $m$ это глубина модуляции и $f_{m}$ - частота модулирующего сигнала, тогда для амплитудной модуляции два вектора модуляции имеют вид:

$${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},$$$${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.$$

Два вектора модуляции фазированы так, что их векторная сумма всегда находится в фазе с вектором несущей. Альтернативное представление - это два вектора, вращающиеся навстречу друг другу вокруг конца вектора несущей со скоростью $f_{m}$ относительно вектора несущей. То есть,

$${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},$$$${1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.$$

Частотная модуляция представляет собой аналогичное представление, за исключением того, что модулирующие векторы не находятся в фазе с несущей. В этом случае векторная сумма модулирующих векторов смещается на 90° от фазы несущей. Строго говоря, представление частотной модуляции требует дополнительных небольших векторов модуляции на $2f_{m},3f_{m}$ и т. д., но для большинства практических целей они игнорируются, поскольку их эффект очень мал.

См. также

• Синфазные и квадратурные составляющие
  • Диаграмма созвездия
• Аналитический сигнал — обобщение векторов для изменяющихся во времени амплитуды, фазы и частоты.
  • Сложный конверт
• Фазовый коэффициент , вектор единичной величины

Дальнейшее чтение

• Дуглас К. Джанколи (1989). Физика для ученых и инженеров . Прентис Холл. ISBN  0-13-666322-2 .
• Дорф, Ричард К.; Талларида, Рональд Дж. (15 июля 1993 г.). Карманный справочник формул по электротехнике (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 152–155. ISBN  0849344735 .

Внешние ссылки

• Фактор Фактори
• Визуальное представление векторов
• Полярные и прямоугольные обозначения
• Фазор в сфере телекоммуникаций