Сетевой анализ (электрические цепи)

Линейный сетевой анализ
Элементы

Компоненты

Последовательные и параллельные цепи

Преобразование импеданса

Теоремы о генераторе	Сетевые теоремы

Методы сетевого анализа

Двухпортовые параметры

	вид разговаривать редактировать

В электротехнике и электронике сеть представляет собой совокупность взаимосвязанных компонентов . Анализ сети — это процесс определения напряжений и токов во всех компонентах сети. Существует множество методов расчета этих значений; однако по большей части методы предполагают линейные компоненты. Если не указано иное, методы, описанные в этой статье, применимы только к линейному сетевому анализу.

Определения

Компонент	Устройство с двумя или более клеммами , в которые или из которых может течь ток.
Узел	Точка, в которой соединяются клеммы более двух компонентов. В целях анализа узлом считается проводник с практически нулевым сопротивлением.
Ветвь	Компонент(ы), соединяющий два узла.
сетка	Группа ветвей внутри сети объединилась так, чтобы образовать полную петлю, внутри которой нет других петель.
Порт	Две клеммы, ток в одну из которых идентичен току из другой.
Схема	Ток от одной клеммы генератора через компоненты нагрузки и обратно в другую клемму. В этом смысле схема представляет собой однопортовую сеть, и ее анализ представляет собой тривиальный случай. Если есть какое-либо соединение с какими-либо другими цепями, то сформирована нетривиальная сеть и должно существовать как минимум два порта. Часто понятия «схема» и «сеть» используются как синонимы, но многие аналитики оставляют термин «сеть» для обозначения идеализированной модели, состоящей из идеальных компонентов. ^[1]
Передаточная функция	Соотношение токов и/или напряжений между двумя портами. Чаще всего обсуждаются входной порт и выходной порт, а передаточная функция описывается как усиление или затухание.
Функция передачи компонентов	Для компонента с двумя выводами (т. е. компонента с одним портом) ток и напряжение принимаются в качестве входных и выходных значений, а передаточная функция будет иметь единицы измерения импеданса или адмиттанса (обычно это вопрос произвольного удобства, является ли напряжение или ток считается входом). Компонент с тремя (или более) выводами фактически имеет два (или более) порта, и передаточная функция не может быть выражена как один импеданс. Обычный подход состоит в том, чтобы выразить передаточную функцию как матрицу параметров. Этими параметрами могут быть импедансы, но существует большое количество других подходов (см. двухполюсную сеть ).

Эквивалентные схемы

Полезной процедурой сетевого анализа является упрощение сети за счет уменьшения количества компонентов. Это можно сделать путем замены физических компонентов другими условными компонентами, имеющими тот же эффект. Конкретный метод может напрямую уменьшить количество компонентов, например, путем последовательного объединения импедансов. С другой стороны, он может просто изменить форму на такую, в которую компоненты можно будет свести в последующей операции. Например, можно преобразовать генератор напряжения в генератор тока, используя теорему Нортона, чтобы иметь возможность позже объединить внутреннее сопротивление генератора с параллельной импедансной нагрузкой.

Резистивная цепь — это цепь, содержащая только резисторы , идеальные источники тока и идеальные источники напряжения . Если источники являются источниками постоянного тока , в результате получается цепь постоянного тока . Анализ цепи состоит из определения напряжений и токов, присутствующих в цепи. Изложенные здесь принципы решения также применимы к векторному анализу цепей переменного тока .

Две цепи называются эквивалентными по отношению к паре клемм, если напряжение на клеммах и ток через клеммы одной сети имеют такое же соотношение, как напряжение и ток на клеммах другой сети.

Если $V_{2}=V_{1}$ подразумевает $I_{2}=I_{1}$ для всех (действительных) значений $V 1$ тогда относительно клемм $ab$ и $xy$ схема 1 и схема 2 эквивалентны.

Вышеприведенное является достаточным определением однопортовой сети . Для более чем одного порта необходимо определить, что токи и напряжения между всеми парами соответствующих портов должны иметь одинаковое соотношение. Например, сети «звезда» и «треугольник» фактически представляют собой сети с тремя портами и, следовательно, требуют трех одновременных уравнений, чтобы полностью определить их эквивалентность.

Сопротивления последовательно и параллельно

Некоторые двухполюсные сети импедансов могут в конечном итоге быть сведены к одному импедансу путем последовательного применения импедансов последовательно или параллельно.

Сопротивления последовательно : $Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.$
Сопротивления параллельно : ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$ ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\ ,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$
- Вышеупомянутое упрощено только для двух параллельных импедансов: $Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.$

Преобразование «дельта-звезда»

Сеть импедансов с более чем двумя терминалами не может быть сведена к эквивалентной схеме с одним импедансом. Сеть $с n$ -терминалами в лучшем случае может быть уменьшена до $n$ импедансов (в худшем случае ${\tbinom {n}{2}}$ ). Для сети с тремя терминалами три импеданса могут быть выражены как сеть с тремя узлами треугольника (Δ) или сетью с четырьмя узлами звезды (Y). Эти две сети эквивалентны, и преобразования между ними приведены ниже. Общая сеть с произвольным количеством узлов не может быть сведена к минимальному числу импедансов, используя только последовательные и параллельные комбинации. В общем, также необходимо использовать преобразования Y-Δ и Δ-Y. расширение Y-Δ до преобразований звезда-многоугольник Для некоторых сетей также может потребоваться .

Для эквивалентности импедансы между любой парой терминалов должны быть одинаковыми для обеих сетей, что приводит к набору из трех одновременных уравнений. Приведенные ниже уравнения выражены как сопротивления, но в равной степени применимы и к общему случаю импедансов.

Уравнения преобразования дельта-звезда

{\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{b}&={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{aligned}}

Уравнения преобразования звезда в треугольник

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}

Общая форма ликвидации узла сети

Преобразования звезда-треугольник и последовательный резистор являются частными случаями алгоритма исключения общего узла резисторной сети. Любой узел, подключенный $N$ резисторами $(R 1 \dots R Н)$ к узлам $1 \dots N$ , можно заменить на ${\tbinom {N}{2}}$ резисторы, соединяющие между собой оставшиеся $N$ узлов. Сопротивление между любыми двумя узлами $x, y$ определяется выражением:

R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}

Для схемы звезда-треугольник ( $N = 3$ ) это сводится к:

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}

Для последовательного сокращения ( $N = 2$ ) это сводится к:

R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}

Для висячего резистора ( $N = 1$ ) это приводит к исключению резистора, потому что ${\tbinom {1}{2}}=0$ .

Преобразование источника

Генератор с внутренним сопротивлением (т.е. неидеальный генератор) можно представить либо как идеальный генератор напряжения, либо как идеальный генератор тока плюс импеданс. Эти две формы эквивалентны, и преобразования приведены ниже. Если две сети эквивалентны относительно терминалов ab, то $V$ и $I$ должны быть идентичны для обеих сетей. Таким образом,

V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!

или

I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}

Теорема Нортона утверждает, что любую двухполюсную линейную сеть можно свести к идеальному генератору тока и параллельному импедансу.
Теорема Тевенена утверждает, что любую линейную сеть с двумя выводами можно свести к идеальному генератору напряжения плюс последовательное сопротивление.

Простые сети

Некоторые очень простые сети можно анализировать без необходимости применения более систематических подходов.

Разделение напряжения последовательных компонентов

Рассмотрим n импедансов, соединенных последовательно . Напряжение $V_{i}$ при любом сопротивлении $Z_{i}$ является

V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V

Текущее разделение параллельных компонентов

Рассмотрим n проходов, соединенных параллельно . Электрический ток $I_{i}$ через любой вход $Y_{i}$ является

I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I

для $i=1,2,...,n.$

Особый случай: Текущее разделение двух параллельных компонентов.

I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

Узловой анализ

Узловой анализ использует концепцию напряжения узла и считает напряжения узла неизвестными переменными. ^[2]^{: 2-8 - 2-9} Для всех узлов, кроме выбранного опорного узла, напряжение узла определяется как падение напряжения от узла до опорного узла. Следовательно, для цепи с N узлами существует N-1 узловое напряжение. ^[2]^: 2-10

В принципе, узловой анализ использует закон тока Кирхгофа (KCL) в узлах N-1, чтобы получить N-1 независимых уравнений. Поскольку уравнения, созданные с помощью KCL, основаны на токах, входящих и выходящих из узлов, эти токи, если их значения неизвестны, должны быть представлены неизвестными переменными (напряжениями узлов). Для некоторых элементов (таких как резисторы и конденсаторы) получение токов элементов в терминах узловых напряжений является тривиальной задачей.

Для некоторых общих элементов, где это невозможно, разрабатываются специализированные методы. Например, концепция суперузла используется для цепей с независимыми источниками напряжения. ^[2]^{: 2-12 - 2-13}

Подпишите все узлы схемы. Произвольно выберите любой узел в качестве ссылки.
Определите переменную напряжения от каждого оставшегося узла до ссылки. Эти переменные напряжения должны определяться как повышение напряжения относительно опорного узла.
Напишите уравнение KCL для каждого узла, кроме ссылки.
Решите полученную систему уравнений.

Анализ сетки

Сетка — цикл, не содержащий внутреннего цикла.

Подсчитайте количество «оконных стекол» в схеме. Назначьте ток сетки для каждой оконной панели.
Напишите уравнение КВЛ для каждой сетки, ток которой неизвестен.
Решите полученные уравнения

Суперпозиция

В этом методе поочередно рассчитывается эффект каждого генератора. Все генераторы, кроме рассматриваемого, удаляются и либо закорачиваются в случае генераторов напряжения, либо размыкаются в случае генераторов тока. Затем общий ток или общее напряжение на определенной ветви рассчитывается путем суммирования всех отдельных токов или напряжений.

В основе этого метода лежит предположение, что общий ток или напряжение представляет собой линейную суперпозицию своих частей. Следовательно, метод нельзя использовать при наличии нелинейных составляющих. ^[2]^: 6–14 Суперпозицию мощностей нельзя использовать для определения полной мощности, потребляемой элементами даже в линейных цепях. Мощность варьируется в зависимости от квадрата общего напряжения или тока, и квадрат суммы обычно не равен сумме квадратов. Полную мощность в элементе можно найти, применяя суперпозицию к напряжениям и току независимо, а затем вычисляя мощность на основе общего напряжения и тока.

Выбор метода

Выбор метода ^[3]^{: 112–113} в какой-то степени дело вкуса. Если сеть особенно проста или требуется только определенный ток или напряжение, тогда специальное применение некоторых простых эквивалентных схем может дать ответ, не прибегая к более систематическим методам.

Узловой анализ : количество переменных напряжения и, следовательно, уравнений, которые необходимо решить одновременно, равно количеству узлов минус один. Каждый источник напряжения, подключенный к опорному узлу, уменьшает количество неизвестных и уравнений на единицу.
Анализ сетки : количество текущих переменных и, следовательно, одновременно решаемых уравнений, равно количеству сеток. Каждый источник тока в сетке уменьшает количество неизвестных на единицу. Анализ сетки можно использовать только с сетями, которые можно нарисовать как плоскую сеть, то есть без пересекающихся компонентов. ^[3]^: 94
Суперпозиция , возможно, является наиболее концептуально простым методом, но по мере увеличения сети быстро приводит к большому количеству уравнений и беспорядочным комбинациям импедансов.
Приближения эффективной среды : для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. Вместо этого эффективное сопротивление и свойства распределения тока можно смоделировать с точки зрения графических мер и геометрических свойств сетей. ^[4]

Передаточная функция

Передаточная функция выражает связь между входом и выходом сети. Для резистивных сетей это всегда будет простое действительное число или выражение, которое сводится к действительному числу. Резистивные сети представляют собой систему одновременных алгебраических уравнений. Однако в общем случае линейных сетей сеть представляется системой одновременных линейных дифференциальных уравнений. В сетевом анализе вместо того, чтобы напрямую использовать дифференциальные уравнения, обычно сначала выполняют над ними преобразование Лапласа , а затем выражают результат через параметр Лапласа s, который, как правило, является комплексным . Это описывается как работа в s-домене . Работа с уравнениями напрямую будет описываться как работа во временной (или t) области, поскольку результаты будут выражаться как изменяющиеся во времени величины. Преобразование Лапласа — это математический метод преобразования между s-доменом и t-доменом.

Этот подход является стандартным в теории управления и полезен для определения устойчивости системы, например, усилителя с обратной связью.

Две функции передачи компонентов терминала

Для двух клеммных компонентов передаточная функция или, в более общем смысле, для нелинейных элементов, материальное уравнение , представляет собой соотношение между входным током устройства и результирующим напряжением на нем. Таким образом, передаточная функция Z(s) будет иметь единицы сопротивления – омы. Для трех пассивных компонентов электрических сетей передаточные функции:

Резистор	$Z(s)=R\,\!$
Индуктор	$Z(s)=sL\,\!$
Конденсатор	$Z(s)={\frac {1}{sC}}$

Для сети, к которой подаются только устойчивые сигналы переменного тока, s заменяется на jω , и получаются более знакомые значения из теории сетей переменного тока.

Резистор	$Z(j\omega )=R\,\!$
Индуктор	$Z(j\omega )=j\omega L\,\!$
Конденсатор	$Z(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}$

Наконец, для сети, к которой применяется только постоянный постоянный ток, s заменяется на ноль и применяется теория сети постоянного тока.

Резистор	$Z=R\,\!$
Индуктор	$Z=0\,\!$
Конденсатор	$Z=\infty \,\!$

Функция передачи по сети с двумя портами

Передаточные функции вообще в теории управления обозначаются символом H(s). Чаще всего в электронике передаточная функция определяется как отношение выходного напряжения к входному напряжению и обозначается символом A(s) или, чаще всего (поскольку анализ всегда выполняется с точки зрения синусоидального отклика), A ( jω ), поэтому что; $A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

Буква А означает ослабление или усиление, в зависимости от контекста. В общем, это будет сложная функция jω , которую можно получить из анализа импедансов в сети и их отдельных передаточных функций. Иногда аналитика интересует только величина усиления, а не фазовый угол. В этом случае комплексные числа можно исключить из передаточной функции и записать ее как: $A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|$

Два параметра порта

Концепция двухпортовой сети может быть полезна при сетевом анализе как метод «черного ящика» . Поведение двухпортовой сети в более крупной сети можно полностью охарактеризовать, не обязательно указывая что-либо о внутренней структуре. Однако для этого необходимо иметь больше информации, чем только описанная выше A(jω). Можно показать, что для полной характеристики двухпортовой сети необходимы четыре таких параметра. Это могут быть прямая передаточная функция, входное сопротивление, обратная передаточная функция (т. е. напряжение, появляющееся на входе при подаче напряжения на выход) и выходное сопротивление. Есть много других (полный список см. в основной статье), один из них выражает все четыре параметра как импедансы. Обычно четыре параметра выражаются в виде матрицы; ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}$

Матрица может быть сокращена до репрезентативного элемента;

$\left[z(j\omega )\right]$ или просто $\left[z\right]$

Эти концепции можно распространить на сети с более чем двумя портами. Однако на самом деле это делается редко, поскольку во многих практических случаях порты считаются либо чисто входными, либо чисто выходными. Если пренебречь передаточными функциями обратного направления, многопортовую сеть всегда можно разложить на несколько двухпортовых сетей.

Распределенные компоненты

Если сеть состоит из дискретных компонентов, анализ с использованием двухпортовых сетей является вопросом выбора, а не обязательным. Альтернативно сеть всегда можно проанализировать с точки зрения передаточных функций ее отдельных компонентов. Однако если сеть содержит распределенные компоненты , например, в случае линии передачи , то анализ с точки зрения отдельных компонентов невозможен, поскольку они не существуют. Самый распространенный подход к этому — смоделировать линию как двухпортовую сеть и охарактеризовать ее с помощью двухпортовых параметров (или чего-то эквивалентного им). Другим примером этого метода является моделирование несущих, пересекающих базовую область высокочастотного транзистора. Базовую область необходимо моделировать как распределенные сопротивление и емкость, а не как сосредоточенные компоненты .

Анализ изображений

Линии передачи и некоторые типы конструкций фильтров используют метод изображения для определения своих параметров передачи. В этом методе рассматривается поведение бесконечно длинной каскадно связанной цепочки одинаковых сетей. Затем для этой бесконечно длинной цепи рассчитываются входное и выходное сопротивление, а также функции прямой и обратной передачи. Хотя полученные таким образом теоретические значения никогда не могут быть точно реализованы на практике, во многих случаях они служат очень хорошим приближением поведения конечной цепи, пока она не слишком коротка.

Временной сетевой анализ с моделированием

Большинство методов анализа рассчитывают значения напряжения и тока для статических сетей, которые представляют собой схемы, состоящие только из компонентов без памяти, но имеют трудности со сложными динамическими сетями. В общем случае уравнения, описывающие поведение динамической схемы, имеют форму дифференциально-алгебраической системы уравнений (ДАУ). DAE сложно решить, и методы для этого еще не полностью изучены и разработаны (по состоянию на 2010 год). Кроме того, не существует общей теоремы, гарантирующей, что решения ДАУ будут существовать и будут уникальными. ^[5]^{: 204–205} В особых случаях уравнения динамической схемы будут иметь форму обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые легче решать, поскольку численные методы решения ОДУ имеют богатую историю, берущую начало с конца 1800-х годов. Одна из стратегий адаптации методов решения ОДУ к ДАУ называется прямой дискретизацией и является методом выбора при моделировании схем. ^[5]^: 204-205

Методы моделирования сети для временного анализа решают схему, которая представляет собой задачу начального значения (IVP). То есть значения составляющих с памятью (например, напряжения на конденсаторах и токи через катушки индуктивности) задаются в начальный момент времени $t 0$ , а анализ ведется за время $t_{0}\leq t\leq t_{f}$ . ^[5]^: 206-207 Поскольку найти численные результаты для бесконечного числа моментов времени от $t 0$ до $t f$ невозможно, этот период времени дискретизируется на дискретные моменты времени, и численное решение находится для каждого момента. Время между моментами времени называется временным шагом и может быть фиксированным на протяжении всего моделирования или может быть адаптивным .

В IVP при поиске решения за время $t n+1$ решение за время $t n$ уже известно. Затем используется временная дискретизация для замены производных разностями, например: $x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}$ для обратного метода Эйлера , где $h n+1$ — шаг по времени. ^[5]^: 266

Если все компоненты схемы были линейными или схема была предварительно линеаризована, то система уравнений в этот момент представляет собой систему линейных уравнений и решается численными методами линейной алгебры . В противном случае это система нелинейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью нелинейных численных методов, таких как алгоритмы поиска корней .

Сравнение с другими методами

Методы моделирования гораздо более применимы, чем методы, основанные на преобразовании Лапласа , такие как передаточные функции , которые работают только для простых динамических сетей с конденсаторами и катушками индуктивности. Кроме того, входные сигналы в сеть не могут быть определены произвольно для методов, основанных на преобразовании Лапласа.

Нелинейные сети

Большинство электронных конструкций на самом деле нелинейны. Очень немногие из них не включают в себя некоторые полупроводниковые устройства. Они всегда нелинейны, передаточная функция идеального полупроводникового pn-перехода определяется очень нелинейным соотношением;

i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)

где;

i и v — мгновенные ток и напряжение.
I _o — произвольный параметр, называемый обратным током утечки, значение которого зависит от конструкции устройства.
V _T — это параметр, пропорциональный температуре, называемый тепловым напряжением и равный примерно 25 мВ при комнатной температуре.

Есть много других способов проявления нелинейности в сети. Все методы, использующие линейную суперпозицию, потерпят неудачу при наличии нелинейных компонентов. Существует несколько вариантов решения проблемы нелинейности в зависимости от типа схемы и информации, которую желает получить аналитик.

Определяющие уравнения

Приведенное выше уравнение диода является примером материального уравнения элемента общего вида:

f(v,i)=0

Его можно рассматривать как нелинейный резистор. Соответствующие материальные уравнения для нелинейных индукторов и конденсаторов имеют вид соответственно;

f(v,\varphi )=0

f(v,q)=0

где f — любая произвольная функция, φ — накопленный магнитный поток, а q — накопленный заряд.

Существование, уникальность и стабильность

Важным соображением в нелинейном анализе является вопрос уникальности. Для сети, состоящей из линейных компонентов, всегда будет одно и только одно уникальное решение для данного набора граничных условий. В нелинейных схемах это не всегда так. Например, линейный резистор с приложенным к нему фиксированным током имеет только одно решение для напряжения на нем. С другой стороны, нелинейный туннельный диод имеет до трех решений по напряжению для данного тока. То есть частное решение для тока через диод не является единственным, могут быть и другие, столь же справедливые. В некоторых случаях решения может вообще не быть: необходимо рассмотреть вопрос о существовании решения.

Еще одним важным соображением является вопрос стабильности. Частное решение может существовать, но оно может быть неустойчивым, быстро отклоняющимся от этой точки при малейшем раздражении. Можно показать, что сеть, абсолютно стабильная для всех условий, должна иметь одно и только одно решение для каждого набора условий. ^[6]

Методы

Булев анализ коммутационных сетей

Переключающее устройство — это устройство, в котором нелинейность используется для создания двух противоположных состояний. Например, КМОП-устройства в цифровых схемах имеют свой выход, подключенный либо к положительной, либо к отрицательной шине питания, и никогда не находятся где-либо между ними, за исключением переходного периода, когда устройство переключается. Здесь нелинейность задумана как экстремальная, и аналитик может воспользоваться этим фактом. Сети такого типа можно анализировать с помощью булевой алгебры, присваивая два состояния («включено»/«выключено», «положительное»/«отрицательное» или любые другие состояния) логическим константам «0» и «1».

В этом анализе игнорируются переходные процессы, а также любые незначительные расхождения между состоянием устройства и номинальным состоянием, присвоенным логическому значению. Например, логическое значение «1» может быть присвоено состоянию +5 В. Выход устройства может составлять +4,5 В, но аналитик по-прежнему считает, что это логическое значение «1». Производители устройств обычно указывают в своих технических характеристиках диапазон значений, которые следует считать неопределенными (т. е. результат будет непредсказуемым).

Переходные процессы не совсем неинтересны аналитику. Максимальная скорость переключения определяется скоростью перехода из одного состояния в другое. К счастью для аналитика, для многих устройств большая часть перехода происходит в линейной части передаточной функции устройства, и линейный анализ может быть применен для получения хотя бы приблизительного ответа.

Математически возможно вывести булевы алгебры , имеющие более двух состояний. В электронике они не нашли особого применения, хотя устройства с тремя состояниями довольно распространены.

Разделение анализа систематических ошибок и сигналов

Этот метод используется там, где работа схемы должна быть по существу линейной, но устройства, используемые для ее реализации, являются нелинейными. Транзисторный усилитель является примером такой сети. Суть этого метода заключается в разделении анализа на две части. Во-первых, смещения постоянного тока анализируются с использованием некоторого нелинейного метода. Это устанавливает рабочую точку покоя схемы. Во-вторых, характеристики слабого сигнала схемы анализируются с помощью линейного анализа сети. Ниже приведены примеры методов, которые можно использовать на обоих этих этапах.

Графический метод анализа постоянного тока

В большинстве схем смещение постоянного тока подается на нелинейный компонент через резистор (или, возможно, сеть резисторов). Поскольку резисторы являются линейными компонентами, особенно легко определить рабочую точку покоя нелинейного устройства по графику его передаточной функции. Метод заключается в следующем: на основе линейного анализа сети рассчитывается выходная передаточная функция (то есть зависимость выходного напряжения от выходного тока) для сети резисторов и генератора, управляющего ими. Это будет прямая линия (называемая линией нагрузки ), которую можно легко наложить на график передаточной функции нелинейного устройства. Точка пересечения линий является рабочей точкой покоя.

Возможно, самый простой практический метод — рассчитать (линейное) напряжение холостого хода сети и ток короткого замыкания и отобразить их на передаточной функции нелинейного устройства. Прямая линия, соединяющая эти две точки, является передаточной функцией сети.

В действительности разработчик схемы действовал бы в направлении, обратном описанному. Исходя из графика, представленного в технических характеристиках производителя нелинейного устройства, проектировщик выберет желаемую рабочую точку, а затем рассчитает значения линейных компонентов, необходимые для ее достижения.

Этот метод все еще можно использовать, если смещение смещенного устройства подается через другое устройство, которое само по себе является нелинейным, например, диод. Однако в этом случае график передаточной функции сети на смещаемом устройстве больше не будет прямой линией и, следовательно, будет более утомительным.

Эквивалентная схема малого сигнала

Этот метод можно использовать там, где отклонение входных и выходных сигналов в сети остается в пределах по существу линейной части передаточной функции нелинейного устройства или же настолько мало, что кривую передаточной функции можно считать линейной. При наборе этих конкретных условий нелинейное устройство может быть представлено эквивалентной линейной сетью. Следует помнить, что эта эквивалентная схема является полностью условной и действительна только для небольших отклонений сигнала. Это совершенно неприменимо к смещению постоянного тока устройства.

Для простого двухполюсного устройства эквивалентная схема малого сигнала может состоять не более чем из двух компонентов. Сопротивление, равное наклону кривой v/i в рабочей точке (называемое динамическим сопротивлением) и касательное к кривой. Генератор, потому что эта касательная, вообще говоря, не проходит через начало координат. При большем количестве клемм требуются более сложные эквивалентные схемы.

Популярной формой определения эквивалентной схемы малого сигнала среди производителей транзисторов является использование параметров двухпортовой сети, известных как параметры [h] . Это матрица из четырех параметров, как и в случае с параметрами [z], но в случае параметров [h] они представляют собой гибридную смесь импедансов, адмиттансов, коэффициентов усиления тока и коэффициентов усиления напряжения. В этой модели трехвыводной транзистор рассматривается как сеть с двумя портами, причем один из его выводов является общим для обоих портов. Параметры [h] сильно различаются в зависимости от того, какой терминал выбран в качестве общего. Наиболее важным параметром транзисторов обычно является коэффициент усиления по прямому току h ₂₁ в конфигурации с общим эмиттером. это обозначается как hfe _. В технических характеристиках

Схема замещения малого сигнала с точки зрения двухполюсных параметров приводит к концепции зависимых генераторов. То есть значение генератора напряжения или тока линейно зависит от напряжения или тока в другом месте цепи. Например, модель параметра [z] приводит к генераторам зависимого напряжения, как показано на этой диаграмме;

В двухполюсной схеме замещения параметров всегда будут зависимые генераторы. Это относится как к параметрам [h], так и к [z] и любому другому типу. Эти зависимости должны быть сохранены при разработке уравнений в более крупном линейном сетевом анализе.

Кусочно-линейный метод

В этом методе передаточная функция нелинейного устройства разбивается на области. Каждая из этих областей аппроксимируется прямой линией. Таким образом, передаточная функция будет линейной до определенной точки, где произойдет разрыв. После этой точки передаточная функция снова станет линейной, но с другим наклоном.

Хорошо известным применением этого метода является аппроксимация передаточной функции диода с pn-переходом. Передаточная функция идеального диода указана в начале этого (нелинейного) раздела. Однако эта формула редко используется в сетевом анализе, вместо этого используется кусочная аппроксимация. Видно, что ток диода быстро уменьшается до -I _о при падении напряжения. Этот ток для большинства целей настолько мал, что его можно игнорировать. С увеличением напряжения ток увеличивается экспоненциально. Диод моделируется как разомкнутая цепь до перегиба экспоненциальной кривой, а затем за этой точкой как резистор, равный объемному сопротивлению полупроводникового материала.

Общепринятые значения напряжения точки перехода составляют 0,7 В для кремниевых устройств и 0,3 В для германиевых устройств. Еще более простая модель диода, иногда используемая в переключающих устройствах, представляет собой короткое замыкание для прямого напряжения и разомкнутую цепь для обратного напряжения.

Модель прямосмещенного pn-перехода, имеющего приблизительно постоянное напряжение 0,7 В, также является широко используемым приближением для определения напряжения перехода база-эмиттер транзистора в конструкции усилителя.

Кусочный метод аналогичен методу малых сигналов в том, что методы линейного сетевого анализа могут применяться только в том случае, если сигнал остается в определенных пределах. Если сигнал пересекает точку разрыва, модель больше не пригодна для целей линейного анализа. Однако эта модель имеет преимущество перед слабым сигналом, поскольку она в равной степени применима к сигналу и смещению постоянного тока. Таким образом, их можно анализировать с помощью одних и тех же операций, и они будут линейно накладываться друг на друга.

Изменяющиеся во времени компоненты

При линейном анализе компоненты сети считаются неизменными, но в некоторых схемах это неприменимо, например, в генераторах развертки, усилителях, управляемых напряжением , и регулируемых эквалайзерах . Во многих случаях изменение стоимости компонента носит периодический характер. Например, нелинейная составляющая, возбуждаемая периодическим сигналом, может быть представлена как периодически меняющаяся линейная составляющая. Сидни Дарлингтон раскрыл метод анализа таких периодических цепей, изменяющихся во времени. Он разработал канонические формы схем, которые аналогичны каноническим формам Рональда М. Фостера и Вильгельма Кауэра , используемым для анализа линейных схем. ^[7]

Теория векторных цепей

Обобщение теории цепей, основанной на скалярных величинах, на векторные токи является необходимостью для новых развивающихся схем, таких как спиновые цепи. ^{[ нужны разъяснения ]} Обобщенные переменные схемы состоят из четырех компонентов: скалярного тока и векторного спинового тока в направлениях x, y и z. Напряжения и токи становятся векторными величинами с проводимостью, описываемой как матрица спиновой проводимости 4x4. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

^ Белевич V (май 1962 г.). «Краткое содержание истории теории цепей». Труды ИРЭ . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . цитирует «Стандарты IRE на схемы: определения терминов для линейных пассивных взаимных сетей, инвариантных ко времени, 1960». Труды ИРЭ . 48 (9): 1609. Сентябрь 1960 г. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 . обосновать это определение.
Сидни Дарлингтон Дарлингтон С (1984). «История синтеза сетей и теории фильтров для цепей, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов». Транзакции IEEE в схемах и системах . 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .
следует за Белевичем, но отмечает, что теперь слово «сеть» используется в разговорной речи.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Чен, Вай-Кай (2005). Анализ цепей и теория усилителей с обратной связью . ЦРК Пресс. ISBN 1420037277 .
^ Jump up to: ^а ^б Нильссон, Джеймс В.; Ридель, Сьюзан А. (2007). Электрические цепи (8-е изд.). Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-198925-2 .
^ Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н.С.; Кулкарни, Г.У. (2017). «Текущее распространение в проводящих сетях нанопроводов». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Бибкод : 2017JAP...122d5101K . дои : 10.1063/1.4985792 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Наджм, Фарид Н. (2010). Моделирование цепей . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780470538715 .
^ Лиляна Трайкович, «Нелинейные схемы», Справочник по электротехнике (под редакцией: Вай-Кай Чен), стр. 79–81, Academic Press, 2005 г. ISBN 0-12-170960-4
^ Патент США 3265973 , Сидни Дарлингтон, Ирвин В. Сэндберг, «Синтез двухпортовых сетей, имеющих периодически изменяющиеся во времени элементы», выдан 9 августа 1966 г.

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 22: Цепи переменного тока

[1] Белевич V (май 1962 г.). «Краткое содержание истории теории цепей». Труды ИРЭ . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . цитирует «Стандарты IRE на схемы: определения терминов для линейных пассивных взаимных сетей, инвариантных ко времени, 1960». Труды ИРЭ . 48 (9): 1609. Сентябрь 1960 г. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 . обосновать это определение.
Сидни Дарлингтон Дарлингтон С (1984). «История синтеза сетей и теории фильтров для цепей, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов». Транзакции IEEE в схемах и системах . 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .
следует за Белевичем, но отмечает, что теперь слово «сеть» используется в разговорной речи.

[Circuit_Analysis,_Chen-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Чен, Вай-Кай (2005). Анализ цепей и теория усилителей с обратной связью . ЦРК Пресс. ISBN 1420037277 .

[ElectricCircuits-3] Jump up to: ^а ^б Нильссон, Джеймс В.; Ридель, Сьюзан А. (2007). Электрические цепи (8-е изд.). Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-198925-2 .

[4] Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н.С.; Кулкарни, Г.У. (2017). «Текущее распространение в проводящих сетях нанопроводов». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Бибкод : 2017JAP...122d5101K . дои : 10.1063/1.4985792 .

[Circuit_Simulation,_Najm-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Наджм, Фарид Н. (2010). Моделирование цепей . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780470538715 .

[6] Лиляна Трайкович, «Нелинейные схемы», Справочник по электротехнике (под редакцией: Вай-Кай Чен), стр. 79–81, Academic Press, 2005 г. ISBN 0-12-170960-4

[7] Патент США 3265973 , Сидни Дарлингтон, Ирвин В. Сэндберг, «Синтез двухпортовых сетей, имеющих периодически изменяющиеся во времени элементы», выдан 9 августа 1966 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]