Аналитический сигнал

В математике и обработке сигналов аналитический сигнал представляет собой комплексную функцию , не имеющую отрицательных частотных составляющих. ^[1] Действительная и мнимая части аналитического сигнала представляют собой вещественнозначные функции, связанные друг с другом преобразованием Гильберта .

Аналитическим представлением функции действительнозначной является аналитический сигнал , включающий исходную функцию и ее преобразование Гильберта. Такое представление облегчает многие математические манипуляции. Основная идея состоит в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра ) действительной функции излишни из-за эрмитовой симметрии такого спектра. Эти отрицательные частотные компоненты можно отбросить без потери информации, если вместо этого мы готовы иметь дело с комплексной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает разработку методов модуляции и демодуляции, таких как однополосный.

Пока управляемая функция не имеет отрицательных частотных составляющих (то есть она по-прежнему аналитична ), преобразование из комплексной обратно в действительную является всего лишь вопросом отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции вектора : ^[2] в то время как вектор ограничен неизменными во времени амплитудой, фазой и частотой, аналитический сигнал допускает изменяющиеся во времени параметры.

Определение

Передаточная функция для создания аналитического сигнала

Если $s(t)$ это действительная функция с преобразованием Фурье $S(f)$ (где $f$ — действительное значение, обозначающее частоту), то преобразование обладает эрмитовой симметрией относительно $f=0$ ось:

S(-f)=S(f)^{*},

где $S(f)^{*}$ является комплексно- сопряженным $S(f)$ .Функция:

{\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}

где

$\operatorname {u} (f)$ – ступенчатая функция Хевисайда ,
$\operatorname {sgn}(f)$ - знаковая функция ,

содержит только неотрицательные частотные компоненты $S(f)$ . И операция обратима в силу эрмитовой симметрии $S(f)$ :

{\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}

Аналитический сигнал $s(t)$ — обратное преобразование Фурье $S_{\mathrm {a} }(f)$ :

{\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}

где

${\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]$ представляет собой Гильберта преобразование $s(t)$ ;
$*$ – оператор бинарной свертки ;
$j$ это мнимая единица .

отмечая, что $s(t)=s(t)*\delta (t),$ это также можно выразить как операцию фильтрации, которая напрямую удаляет отрицательные частотные компоненты :

s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.

Отрицательные частотные составляющие

С $s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]$ , восстановление отрицательных частотных составляющих — это простой вопрос отбрасывания $\operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]$ что может показаться нелогичным. Комплексное сопряжение $s_{\mathrm {a} }^{*}(t)$ содержит только отрицательные частотные составляющие. И поэтому $s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]$ восстанавливает подавленные положительные частотные составляющие. Другая точка зрения состоит в том, что мнимая компонента в любом случае представляет собой член, который вычитает частотные компоненты из $s(t).$ $\operatorname {Re}$ оператор удаляет вычитание, создавая видимость добавления новых компонентов.

Примеры

Пример 1

s(t)=\cos(\omega t),

где

\omega >0.

Затем:

{\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}

Последнее равенство — это формула Эйлера которой , следствием является ${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$ В общем, аналитическое представление простой синусоиды получается путем выражения ее через комплексную экспоненту, отбрасывания отрицательной частотной составляющей и удвоения положительной частотной составляющей. А аналитическое представление суммы синусоид — это сумма аналитических представлений отдельных синусоид.

Пример 2

Здесь мы используем формулу Эйлера для выявления и отбрасывания отрицательной частоты.

s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)

Затем:

s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}

Пример 3

Это еще один пример использования метода преобразования Гильберта для удаления отрицательных частотных составляющих. Ничто не мешает нам заниматься вычислениями $s_{\mathrm {a} }(t)$ для комплексного значения $s(t)$ . Но это может быть необратимое представление, поскольку исходный спектр вообще не симметричен. Таким образом, за исключением этого примера, общее обсуждение предполагает реальные значения. $s(t)$ .

s(t)=e^{-j\omega t}

, где

\omega >0

.

Затем:

{\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}

Характеристики

Мгновенная амплитуда и фаза

Функция выделена синим цветом, а величина ее аналитического представления красным, что показывает эффект огибающей.

Аналитический сигнал также может быть выражен в полярных координатах :

s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},

где введены следующие изменяющиеся во времени величины:

$s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|$ называется мгновенной амплитудой или огибающей ;
$\phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]$ называется мгновенной фазой или фазовым углом .

На прилагаемой диаграмме синяя кривая изображает $s(t)$ а красная кривая изображает соответствующий $s_{\mathrm {m} }(t)$ .

Производная по времени развернутой мгновенной фазы имеет единицы радиан/секунду и называется мгновенной угловой частотой :

\omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).

( Таким образом, мгновенная частота в герцах ) равна:

f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).

^[3]

Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных особенностей сигнала. Другое применение аналитического представления сигнала связано с демодуляцией модулированных сигналов . Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды сигналов.

Комплексная огибающая/модулирующая полоса

Аналитические сигналы часто смещаются по частоте (преобразуются с понижением частоты) в сторону 0 Гц, что может создавать [несимметричные] отрицательные частотные компоненты: ${s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},$ где $\omega _{0}$ — произвольная опорная угловая частота. ^[2]

Эта функция имеет разные названия, например, комплексная огибающая и комплексная полоса частот . Сложная оболочка не уникальна; это определяется выбором $\omega _{0}$ . Эта концепция часто используется при работе с сигналами полосы пропускания . Если $s(t)$ представляет собой модулированный сигнал, $\omega _{0}$ может быть приравнена к его несущей частоте .

В других случаях $\omega _{0}$ выбирается где-то посередине желаемой полосы пропускания. Затем простой фильтр нижних частот с реальными коэффициентами может исключить интересующую часть. Другой мотив — уменьшить самую высокую частоту, что снижает минимальную частоту выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую управляемость представления сложного сигнала. Таким образом, в этом смысле преобразованный с понижением частоты сигнал по-прежнему является аналитическим . Однако восстановление вещественного представления уже не является простым вопросом простого извлечения вещественного компонента. Может потребоваться повышающее преобразование, а если сигнал был дискретизирован (дискретное время), интерполяция ( повышающая дискретизация также может потребоваться ), чтобы избежать наложения спектров .

Если $\omega _{0}$ выбирается большей, чем самая высокая частота $s_{\mathrm {a} }(t),$ затем ${s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)$ не имеет положительных частот. В этом случае извлечение реального компонента восстанавливает их, но в обратном порядке; низкочастотные составляющие теперь становятся высокими, и наоборот. Это можно использовать для демодуляции типа однополосного сигнала, называемого нижней боковой полосой или инвертированной боковой полосой .

Иногда рассматриваются другие варианты опорной частоты:

Иногда $\omega _{0}$ выбран для минимизации $\int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .$
Альтернативно, ^[4] $\omega _{0}$ может быть выбран так, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку при линейной аппроксимации развернутой мгновенной фазы $\phi (t)$ : $\int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt$
или другая альтернатива (для некоторого оптимального $\theta$ ): $\int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.$

В области частотно-временной обработки сигналов было показано, что аналитический сигнал необходим для определения распределения Вигнера – Вилля , чтобы метод мог иметь желаемые свойства, необходимые для практического применения. ^[5]

Иногда фразе «комплексная огибающая» придают более простое значение комплексной амплитуды вектора (постоянной частоты); ^[а]^[б]в других случаях сложный конверт $s_{m}(t)$ как определено выше, интерпретируется как зависящее от времени обобщение комплексной амплитуды. ^[с] Их соотношение мало чем отличается от действительного случая: изменяющаяся огибающая обобщает постоянную амплитуду .

Расширение аналитического сигнала на сигналы нескольких переменных

Концепция аналитического сигнала четко определена для сигналов одной переменной, которой обычно является время. Для сигналов двух и более переменных аналитический сигнал может быть определен по-разному, и ниже представлены два подхода.

Многомерный аналитический сигнал, основанный на специальном направлении

Прямое обобщение аналитического сигнала можно сделать для многомерного сигнала, как только будет установлено, что подразумевается под отрицательными частотами в этом случае . Это можно сделать, введя единичный вектор ${\boldsymbol {\hat {u}}}$ в области Фурье и обозначьте любой вектор частоты ${\boldsymbol {\xi }}$ как отрицательный, если ${\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0$ . Затем аналитический сигнал создается путем удаления всех отрицательных частот и умножения результата на 2 в соответствии с процедурой, описанной для случая сигналов с одной переменной. Однако конкретного направления нет. ${\boldsymbol {\hat {u}}}$ который должен быть выбран, если нет каких-либо дополнительных ограничений. Поэтому выбор ${\boldsymbol {\hat {u}}}$ носит специальный характер или зависит от приложения.

Моногенный сигнал

Действительная и мнимая части аналитического сигнала соответствуют двум элементам моногенного сигнала с векторным знаком , как это определено для сигналов с одной переменной. Однако моногенный сигнал можно напрямую расширить до произвольного числа переменных, создав ( n + 1) -мерную векторную функцию для случая сигналов с n -переменными.

См. также

Приложения

Примечания

^ "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)" ^[6]
^ «Комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)», с. 586 ^[7]
^ «Комплексная огибающая — это расширенная интерпретация комплексной амплитуды как функции времени». п. 85 ^[8]

Ссылки

^ Смит, Дж. О. «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта», в книге «Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями, второе издание», https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html или https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , онлайн-книга, издание 2007 г., по состоянию на 29 апреля 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Брейсвелл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . МакГроу-Хилл, 2000. стр. 361–362.
^ Б. Боашаш, «Оценка и интерпретация мгновенной частоты сигнала. Часть I: Основы», Труды IEEE, Vol. 80, № 4, стр. 519–538, апрель 1992 г.
^ Джастис, Дж. (1 декабря 1979 г.). «Аналитическая обработка сигналов в музыкальных вычислениях». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 27 (6): 670–684. дои : 10.1109/ТАССП.1979.1163321 . ISSN 0096-3518 .
^ Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов, том. 26, нет. 9, 1987 г.
^ Главач, Франц; Оже, Франсуа (01 марта 2013 г.). Частотно-временной анализ . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118623831 .
^ Дриггерс, Рональд Г. (1 января 2003 г.). Энциклопедия оптической техники: Абе-Лас, страницы 1–1024 . ЦРК Пресс. ISBN 9780824742508 .
^ Окамото, Кеничи (1 января 2001 г.). Дистанционное зондирование глобальной окружающей среды . ИОС Пресс. ISBN 9781586031015 .

Дальнейшее чтение

Леон Коэн, Частотно-временной анализ , Прентис-Холл, Аппер-Седл-Ривер, 1995.
Фредерик В. Кинг, Преобразования Гильберта , том. II, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2009.
Б. Боашаш, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник , Elsevier Science, Оксфорд, 2003.

Внешние ссылки

Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта

[7] "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)" ^[6]

[9] «Комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)», с. 586 ^[7]

[11] «Комплексная огибающая — это расширенная интерпретация комплексной амплитуды как функции времени». п. 85 ^[8]

[1] Смит, Дж. О. «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта», в книге «Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями, второе издание», https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html или https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , онлайн-книга, издание 2007 г., по состоянию на 29 апреля 2021 г.

[Bracewell-2] Jump up to: ^а ^б Брейсвелл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . МакГроу-Хилл, 2000. стр. 361–362.

[3] Б. Боашаш, «Оценка и интерпретация мгновенной частоты сигнала. Часть I: Основы», Труды IEEE, Vol. 80, № 4, стр. 519–538, апрель 1992 г.

[4] Джастис, Дж. (1 декабря 1979 г.). «Аналитическая обработка сигналов в музыкальных вычислениях». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 27 (6): 670–684. дои : 10.1109/ТАССП.1979.1163321 . ISSN 0096-3518 .

[5] Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов, том. 26, нет. 9, 1987 г.

[6] Главач, Франц; Оже, Франсуа (01 марта 2013 г.). Частотно-временной анализ . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118623831 .

[8] Дриггерс, Рональд Г. (1 января 2003 г.). Энциклопедия оптической техники: Абе-Лас, страницы 1–1024 . ЦРК Пресс. ISBN 9780824742508 .

[10] Окамото, Кеничи (1 января 2001 г.). Дистанционное зондирование глобальной окружающей среды . ИОС Пресс. ISBN 9781586031015 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[б]

[с]

[6]

[7]

[8]