Эрмитова функция

В математическом анализе эрмитовой функцией называется комплексная функция, обладающая тем свойством, что ее комплексно-сопряженная равна исходной функции с измененным знаком переменной :

$f^{*}(x)=f(-x)$

(где $^{*}$ указывает на комплексно-сопряженное) для всех $x$ в области $f$. В физике это свойство называется PT-симметрией .

Это определение распространяется и на функции двух и более переменных, например, в случае, когда $f$ является функцией двух переменных, она эрмитова, если

$f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})$

для всех пар $(x_{1},x_{2})$ в области $f$.

Из этого определения сразу следует, что: $f$ является эрмитовой функцией тогда и только тогда, когда

• реальная часть $f$ является четной функцией ,
• мнимая часть $f$ это нечетная функция .

Мотивация

Эрмитовы функции часто встречаются в математике, физике и обработке сигналов . Например, следующие два утверждения следуют из основных свойств преобразования Фурье:

• Функция $f$ является действительным тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $f$ является эрмитовым.
• Функция $f$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $f$ имеет реальную ценность.

Поскольку преобразование Фурье реального сигнала гарантированно является эрмитовым, его можно сжать с использованием эрмитовой четно-нечетной симметрии. Это, например, позволяет дискретное преобразование Фурье хранить сигнала (который, как правило, является сложным) в том же пространстве, что и исходный реальный сигнал.

• Если f эрмитово, то $f\star g=f*g$.

Где $\star$ является взаимная корреляция , и $*$ это свертка .

• Если оба f и g эрмитовы, то $f\star g=g\star f$.

См. также

• Комплексно-сопряженное - основные операции с комплексными числами.
• Чётные и нечётные функции – функции, такие, что f(–x) равно f(x) или –f(x).