Закон Грина

Эта статья о законе гидродинамики. Не путать с теоремой Грина .

Распространение мелководных длинных волн, показывающее изменение длины волны и высоты волн с уменьшением глубины воды.

В гидродинамике описывающий закон Грина , названный в честь британского математика XIX века Джорджа Грина , представляет собой закон сохранения, эволюцию неразрушающихся распространяющихся поверхностных гравитационных волн, на мелководье с постепенно меняющейся глубиной и шириной. В своей простейшей форме для волновых фронтов и контуров глубины, параллельных друг другу (и побережью), он гласит:

$H_{1}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{1}}}=H_{2}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{2}}}$   или   $\left(H_{1}\right)^{4}\,\cdot \,h_{1}=\left(H_{2}\right)^{4}\,\cdot \,h_{2},$

где $H_{1}$ и $H_{2}$ – это высоты волн в двух разных местах – 1 и 2 соответственно – где проходит волна, и $h_{1}$ и $h_{2}$ — средние глубины воды в тех же двух местах.

Закон Грина часто используется в прибрежной инженерии для моделирования длинных мелководных волн на пляже, причем под словом «длинные» понимаются длины волн, примерно в двадцать раз превышающие среднюю глубину воды. Цунами мелеют (изменяют свою высоту) в соответствии с этим законом, поскольку они распространяются – под действием рефракции и дифракции – через океан и вверх по континентальному шельфу . Очень близко к побережью (и приближаясь к нему) нелинейные эффекты становятся важными, и закон Грина больше не применяется.

Описание

Сближение волновых лучей (уменьшение ширины $b$) в Маверикс, Калифорния , создавая высокие для серфинга волны . Красные линии — волновые лучи; синие линии — это волновые фронты . к берегу из-за рефракции батиметрии Расстояния между соседними волновыми лучами меняются по направлению (изменений глубины). Расстояние между волновыми фронтами сокращается по направлению к берегу из-за обмеления волн (уменьшения глубины $h$).

Согласно этому закону, основанному на линеаризованных уравнениях мелкой воды , пространственные изменения высоты волны $H$ (вдвое больше амплитуды $a$ для синусоидальных волн , равных амплитуде уединенной волны ) для бегущих волн в воде средней глубины $h$ и ширина $b$ (в случае открытого канала ) удовлетворить

$H\,{\sqrt {b}}\,{\sqrt[{4}]{h}}={\text{constant}},$

где ${\sqrt[{4}]{h}}$ является четвертым корнем $h.$ Следовательно, при рассмотрении двух сечений открытого канала, обозначенных цифрами 1 и 2, высота волны на участке 2 равна:

$H_{2}={\sqrt {\frac {b_{1}}{b_{2}}}}\;{\sqrt[{4}]{\frac {h_{1}}{h_{2}}}}\;H_{1},$

индексы 1 и 2 обозначают величины в соответствующем сечении. Так, когда глубина уменьшилась в шестнадцать раз, волны стали вдвое выше. А высота волны удваивается после того, как ширина канала постепенно уменьшается в четыре раза. Для распространения волн перпендикулярно прямому берегу с изоблинами глубин, параллельными береговой линии, примем $b$ константа, скажем, 1 метр или ярд.

Для преломления длинных волн в океане или у побережья ширина $b$ можно интерпретировать как расстояние между волновыми лучами . Лучи (и изменения расстояния между ними) следуют из приближения геометрической оптики к линейному распространению волн. В случае прямых параллельных контуров глубины это упрощает использование закона Снеллиуса .

Грин опубликовал свои результаты в 1838 году. основан на методе Лиувилля-Грина , который впоследствии превратился в то, что сейчас известно как приближение ВКБ . Закону Грина также соответствует постоянство среднего потока энергии горизонтальных волн для длинных волн:

$b\,{\sqrt {gh}}\,{\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\text{constant}},$

где ${\sqrt {gh}}$ - групповая скорость (равна фазовой скорости на мелководье), ${\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}$ - средняя плотность энергии волн , интегрированная по глубине и на единицу горизонтальной площади, $g$ гравитационное ускорение и $\rho$ воды это плотность .

Длина волны и период

Далее, согласно анализу Грина, длина волны $\lambda$ волна укорачивается при обмелении на мелководье, при этом

${\frac {\lambda }{\sqrt {g\,h}}}={\text{constant}}$

вдоль волнового луча . колебаний период (а следовательно, и частота Согласно линейной теории Грина, ) мелководных волн не меняется.

Вывод

Грин вывел свой закон обмеления для водных волн, используя то, что сейчас известно как метод Лиувилля – Грина, применимый к постепенным изменениям глубины. $h$ и ширина $b$ по пути распространения волны.

Волновое уравнение для открытого канала

Отправной точкой являются линеаризованные одномерные уравнения Сен-Венана для открытого канала прямоугольного сечения (вертикальные боковые стенки). Эти уравнения описывают эволюцию волны с свободной поверхности . возвышением $\eta (x,t)$ и скорость горизонтального потока $u(x,t),$ с $x$ горизонтальная координата вдоль оси канала и $t$ время:

${\begin{aligned}&b\,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (b\,h\,u)}{\partial x}}=0,\\&{\frac {\partial u}{\partial t}}+g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0,\end{aligned}}$

где $g$ - гравитация Земли (принимаемая за постоянную), $h$ средняя глубина воды , $b$ ширина канала и $\partial /\partial t$ и $\partial /\partial x$ обозначают частные производные по пространству и времени. Медленное изменение ширины $b$ и глубина $h$ с расстоянием $x$ вдоль оси канала учитывается путем обозначения их как $b(\mu x)$ и $h(\mu x),$ где $\mu$ небольшой параметр: $\mu \ll 1.$ Два приведенных выше уравнения можно объединить в одно волновое уравнение для возвышения поверхности:

${\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {g}{b}}\,{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b\,h\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)=0,$   и со скоростью, следующей из  $u=-g\int {\frac {\partial \eta }{\partial x}}\;\mathrm {d} t.$ ( 1 )

В методе Лиувилля – Грина подход заключается в преобразовании приведенного выше волнового уравнения с неоднородными коэффициентами в однородное (пренебрегая некоторыми небольшими остатками с точки зрения $\mu$).

Преобразование в фазу волны как независимую переменную

Следующий шаг — применить преобразование координат , введя время прохождения (или фазу волны ) $\tau$ данный

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g\,h}},$   так   $\tau =\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(\mu s)}}}\;\mathrm {d} s$

и $x$ связаны через быстроту $c={\sqrt {gh}}.$ Представляем медленную переменную $X=\mu x$ и обозначая производные от $b(X)$ и $h(X)$ относительно $X$ с простым числом, например $b'=\mathrm {d} b/\mathrm {d} X,$ тот $x$-производные в волновом уравнении, уравнение. ( 1 ), станет:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}\right)^{-1}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\sqrt {g\,h}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}\qquad {\text{and}}\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b\,h\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)=b\,h\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+\mu \left(b'\,h+b\,h'\right)\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {b}{g}}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}+\mu \,{\frac {b'\,h+{\tfrac {1}{2}}\,b\,h'}{\sqrt {gh}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}.\end{aligned}}$

Теперь волновое уравнение ( 1 ) преобразуется в:

${\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}-\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\left({\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}=0.$ ( 2 )

Следующим шагом является преобразование уравнения таким образом, чтобы оставались только отклонения от однородности во втором порядке приближения , т.е. пропорциональные $\mu ^{2}.$

Дальнейшая трансформация в сторону однородности

Однородное волновое уравнение (т.е. уравнение ( 2 ), когда $\mu$ равен нулю) имеет решения $\eta =F(t\pm \tau )$ для бегущих волн постоянной формы, распространяющихся как в отрицательном, так и в положительном направлении. $x$-направление. Для неоднородного случая, рассматривая волны, распространяющиеся в положительном направлении $x$-направлении, Грин предлагает приближенное решение:

$\eta (\tau ,t)=\Theta (X)\,F(t-\tau ).$ ( 3 )

Затем

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}},\\{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,F\qquad {\text{and}}\\{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\,\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\Theta ''\,F.\end{aligned}}$

Теперь левая часть уравнения. ( 2 ) становится:

$\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\left(2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\left({\frac {\Theta ''}{\Theta '}}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta '\,F.$

Таким образом, предлагаемое решение в уравнении. ( 3 ) удовлетворяет уравнению. ( 2 ) и, следовательно, также уравнение. ( 1 ) кроме двух вышеуказанных членов, пропорциональных $\mu$ и $\mu ^{2}$, с $\mu \ll 1.$ Ошибка в решении может быть сделана по порядку ${\mathcal {O}}(\mu ^{2})$ предоставил

$2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}=0.$

Это имеет решение:

$\Theta (X)=\alpha \,b^{-{\tfrac {1}{2}}}\,h^{-{\tfrac {1}{4}}}.$

Используя уравнение ( 3 ) и преобразование из $x$ к $\tau$, приближенное решение для высоты поверхности $\eta (x,t)$ является

$\eta (x,t)=b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {1}{4}}}(x)\;F\left(t-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2}),$ ( 4 )

где константа $\alpha$ было установлено равным единице без потери общности . Волны, движущиеся в отрицательном направлении $x$-направление имеет знак минус в аргументе функции $F$ перевернут на знак плюс. Поскольку теория линейна, решения можно добавлять благодаря принципу суперпозиции .

Синусоидальные волны и закон Грина.

Волны, изменяющиеся синусоидально во времени, с периодом $T,$ считаются. То есть

$\eta (x,t)=a(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x))={\tfrac {1}{2}}\,H(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x)),$

где $a$ это амплитуда , $H=2a$ высота волны , $\omega =2\pi /T$ угловая частота и $\phi (x)$ это фаза волны . Следовательно, также $F$ в уравнении ( 4 ) должен быть синусоидальным, например $F=\beta \sin(\omega t-\phi (x))$ с $\beta$ константа.

Применяя эти формы $\eta$ и $F$ в уравнении ( 4 ) дает:

$H\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {1}{4}}=\beta ,$

что является законом Грина .

Скорость потока

Скорость горизонтального потока в $x$-направление следует непосредственно из подстановки решения на высоту поверхности $\eta (x,t)$ из уравнения. ( 4 ) в выражение для $u(x,t)$ в уравнении ( 1 ):

${\begin{aligned}u(x,t)&=g^{\tfrac {1}{2}}\;b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {3}{4}}}(x)\;F\left(t-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\\&+\mu \,{\tfrac {1}{2}}\,g\,b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {1}{4}}}(x)\;{\frac {(b\,{\sqrt {h}})'}{b\,{\sqrt {h}}}}\,\Phi (x,t)+{\frac {Q}{b(x)\,h(x)}}+{\mathcal {O}}\left(\mu ^{2}\right),\\&\qquad {\text{with}}\qquad \Phi (x,t)=\int _{t_{0}}^{t}F\left(\sigma -\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\;\mathrm {d} \sigma \end{aligned}}$

и $Q$ дополнительный постоянный разряд .

Обратите внимание, что – когда ширина $b$ и глубина $h$ не являются константами – член пропорционален $\Phi (x,t)$ подразумевает ${\mathcal {O}}(\mu )$ (небольшая) разность фаз между возвышением $\eta$ и скорость $u$.

Для синусоидальных волн с амплитудой скорости $V,$ скорости потока приближаются к ведущему порядку , так как

$V\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {3}{4}}={\text{constant}}.$

Этого можно было ожидать, поскольку для горизонтальной кровати ${\textstyle V={\sqrt {g\,h}}\,(a/h)={\sqrt {g/h}}\,a}$ с $a$ амплитуда волны.

Ссылки

Зеленый

• Грин, Г. (1838), «О движении волн в переменном канале небольшой глубины и ширины», Труды Кембриджского философского общества , 6 : 457–462, Bibcode : 1838TCaPS...6..457G

Другие

• Крейк, ADD (2004), «Истоки теории волн в воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode : 2004AnRFM..36....1C , doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802. 122118
• Дин, Р.Г.; Далримпл, Р.А. (1991), Механика водных волн для инженеров и ученых , Расширенная серия по океанической инженерии, том. 2, Всемирный научный журнал , ISBN  978-981-02-0420-4
• Диденкулова И.; Пелиновский Э.; Сумер, Т. (2009), «Динамика длинных поверхностных волн вдоль выпуклого дна», Журнал геофизических исследований , 114 (C7): C07006, 14 стр, arXiv : 0804.4369 , Bibcode : 2009JGRC..114.7006D , doi : 10.1029/2008JC005027 , S2CID   55186672
• Лэмб, Х. (1993), Гидродинамика (6-е изд.), Дувр, ISBN  0-486-60256-7
• Сатаке, К. (2002), «28 – Цунами», в Ли, штат Вашингтон; Канамори, Х.; Дженнингс, ПК; Кисслингер, К. (ред.), Международный справочник по землетрясениям и инженерной сейсмологии , Международная геофизика, том. 81, Часть A, Academic Press , стр. 437–451, ISBN.  978-0-12-440652-0
• Синолакис, CE (1991), «Накат цунами на крутых склонах: насколько хороша на самом деле линейная теория», Natural Hazards , 4 (2): 221–234, doi : 10.1007/BF00162789 , S2CID   129683723
• Синолакис, CE; Скьельбрея, Дж. Э. (1993), «Эволюция максимальной амплитуды одиночных волн на плоских пляжах», Журнал Waterway, Port, Coastal и Ocean Engineering , 119 (3): 323–342, doi : 10.1061/(ASCE)0733- 950X(1993)119:3(323)