Усредненный лагранжиан

Высотное волновое облако образовалось над районом Хэмптона в Бурре, Южная Австралия , 16 января 2007 года.

В механике сплошной среды метод Уизема усредненный лагранжев – или, короче, метод Уизема – используется для изучения лагранжевой динамики медленно меняющихся волновых пакетов в неоднородной (движущейся) среде .Метод применим как к линейным , так и к нелинейным системам . Как прямое следствие используемого в методе усреднения, волновое воздействие является сохраняющимся свойством волнового движения. Напротив, энергия волны не обязательно сохраняется из-за обмена энергией со средним движением. Однако полная энергия, сумма энергий волнового движения и среднего движения, будет сохраняться для стационарного во времени лагранжиана. Кроме того, усредненный лагранжиан имеет сильную связь с законом дисперсии системы.

Этот метод принадлежит Джеральду Уизему , который разработал его в 1960-х годах. Например, он используется при моделировании поверхностных гравитационных волн на границах раздела жидкостей . и в физике плазмы .

Полученные уравнения для чистого волнового движения.

В случае, если доступна лагранжева формулировка системы механики сплошной среды , усредненная лагранжева методология может быть использована для нахождения аппроксимации средней динамики волнового движения – и (в конечном итоге) взаимодействия между волновым движением и средним движением – при условии, что огибающая Динамика несущих волн медленно меняется . Усреднение фазы лагранжиана приводит к усредненному лагранжиану , который всегда не зависит от самой фазы волны (но зависит от медленно меняющихся волновых величин, таких как амплитуда волны , частота и волновое число ). По Нётер теореме вариация усредненного лагранжиана ${\mathcal {L}}$ относительно инвариантной фазы волны $\theta ({\boldsymbol {x}},t)$ тогда возникает закон сохранения :

$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0.$   ( 1 )

Это уравнение утверждает сохранение волнового действия – обобщение концепции адиабатического инварианта механики сплошной среды – с

$${\mathcal {A}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\theta )}}=+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}$$ $${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial ({\boldsymbol {\nabla }}\theta )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}$$

являющееся волновым действием ${\mathcal {A}}$ и поток волнового действия ${\boldsymbol {\mathcal {B}}}$ соответственно. Дальше ${\boldsymbol {x}}$ и $t$ обозначают пространство и время соответственно, а ${\boldsymbol {\nabla }}$ — оператор градиента . частота Угловая $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ и волновое число ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ определяются как

$\omega \equiv -\partial _{t}\theta$   и   ${\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta$   ( 2 )

и оба предполагается медленно меняющимися. Благодаря этому определению, $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ и ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ должны удовлетворять отношениям согласованности:

$\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$   и   ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.$   ( 3 )

Первое уравнение согласованности известно как сохранение гребней волн , а второе утверждает, что поле волновых чисел ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ является безвихревым (т.е. имеет нулевой ротор ).

Метод

Усредненный лагранжев подход применяется к волновому движению – возможно, наложенному на среднее движение – которое можно описать в лагранжевой формулировке . Используя анзац формы волновой части движения, лагранжиан усредняется фазе по . Поскольку лагранжиан связан с кинетической энергией и потенциальной энергией движения, колебания вносят вклад в лагранжиан, хотя среднее значение колебательного хода волны равно нулю (или очень мало).

Полученный усредненный лагранжиан содержит волновые характеристики, такие как волновое число , угловая частота и амплитуда волны (или, что эквивалентно, плотность энергии или волновое действие ). Но сама фаза волны отсутствует из-за усреднения фазы. Следовательно, согласно теореме Нётер , существует закон сохранения, называемый сохранением волнового действия.

Первоначально усредненный метод Лагранжа был разработан Уиземом для медленно меняющихся дисперсионных волновых пакетов. Было сделано несколько расширений, например, для взаимодействующих волновых компонентов, гамильтонова механика , высшего порядка , модуляционные эффекты диссипационные эффекты.

Вариационная формулировка

Метод усредненного лагранжа требует существования лагранжиана, описывающего волновое движение. Например, для поля $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$, описываемая лагранжевой плотностью $L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right),$ принцип стационарного действия :

$$\delta \left(\iiiint \,L\left(\partial _{t}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\right)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t\right)=0,$$

с ${\boldsymbol {\nabla }}$ оператор градиента и $\partial _{t}$ оператор производной по времени . Этот принцип действия приводит к уравнению Эйлера – Лагранжа :

$$\partial _{t}\left({\frac {\partial L}{\partial \left(\partial _{t}\varphi \right)}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi \right)}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,$$

которое представляет собой уравнение в частных производных второго порядка, описывающее динамику $\varphi .$ Уравнения в частных производных более высокого порядка требуют включения в лагранжиан производных более высокого порядка, чем производные первого порядка.

Пример

Например, рассмотрим безразмерное и нелинейное уравнение Клейна – Гордона в одном измерении пространства. $x$:

$${\partial _{t}^{2}\varphi }-{\partial _{x}^{2}\varphi }+\varphi +\sigma \varphi ^{3}=0.$$ ( 4 )

Это уравнение Эйлера-Лагранжа возникает из плотности лагранжа:

$$L\left(\partial _{t}\varphi ,\partial _{x}\varphi ,\varphi \right)={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{t}\varphi \right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{x}\varphi \right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\varphi ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\sigma \varphi ^{4}.$$ ( 5 )

Приближение малой амплитуды для уравнения Синус–Гордон соответствует значению ${\textstyle \sigma =-{\tfrac {1}{24}}.}$ Для $\sigma =0$ система линейна и получено классическое одномерное уравнение Клейна–Гордона.

Медленно меняющиеся волны

Медленно меняющиеся линейные волны

Уизем разработал несколько подходов для получения усредненного метода Лагранжа. Самый простой из них — для медленно меняющихся линейных волновых последовательностей , какой метод здесь будет применен.

Медленно меняющаяся волновая цепочка – без среднего движения – в системе с линейной дисперсией описывается как:

$$\varphi \sim \Re \left\{A({\boldsymbol {x}},t)\,e^{i\theta ({\boldsymbol {x}},t)}\right\}=a({\boldsymbol {x}},t)\,\cos \left(\theta ({\boldsymbol {x}},t)+\alpha \right),$$ с $$a=\left|A\right|$$ и $$\alpha =\arg \left\{A\right\},$$

где $\theta ({\boldsymbol {x}},t)$ — действительная фаза волны , $|A|$ обозначает значение комплексной амплитуды абсолютное $A({\boldsymbol {x}},t),$ пока $\arg\{A\}$ это его аргумент и $\Re \{A\}$ обозначает его действительную часть . Действительная амплитуда и фазовый сдвиг обозначаются через $a$ и $\alpha$ соответственно.

Теперь по определению угловая частота $\omega$ и волнового числа вектор ${\boldsymbol {k}}$ выражаются как производная по времени и градиент фазы волны $\theta ({\boldsymbol {x}},t)$ как:

$$\omega \equiv -\partial _{t}\theta$$ и $${\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta .$$

Как следствие, $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ и ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ должны удовлетворять отношениям согласованности:

$$\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$$ и $${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.$$

Эти два соотношения согласованности обозначают «сохранение гребней волн» и безвихревость поля волновых чисел.

В силу предположения о медленных изменениях волнового пакета, а также возможной неоднородности среды и среднего движения, величины $A,$ $a,$ $\omega ,$ ${\boldsymbol {k}}$ и $\alpha$ все медленно меняются в пространстве ${\boldsymbol {x}}$ и время $t$ – но фаза волны $\theta$ сам по себе не меняется медленно. Следовательно, производные от $a,$ $\omega ,$ ${\boldsymbol {k}}$ и $\alpha$ пренебрегают при определении производных $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ для использования в усредненном лагранжиане:

$$\partial _{t}\varphi \approx +\omega \,a\,\sin(\theta +\alpha )$$ и $${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}\,a\,\sin(\theta +\alpha ).$$

Далее эти предположения о $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ и ее производные применяются к лагранжевой плотности $L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right).$

Медленно меняющиеся нелинейные волны

несколько подходов к медленно меняющимся нелинейным Возможны волновым потокам. Один из них — использование разложений Стокса . использовался Уиземом для анализа медленно меняющихся волн Стокса . Расширение поля Стокса $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ можно записать как:

$$\varphi =a\,\cos \left(\theta +\alpha \right)+a_{2}\,\cos \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+a_{3}\,\cos \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,$$

где амплитуды $a,$ $a_{2},$ и т. д. медленно меняются, как и фазы $\alpha ,$ $\alpha _{2},$ и т. д. Что касается случая линейной волны, то в низшем порядке (с точки зрения модуляционных эффектов) пренебрегают производными амплитуд и фаз, за ​​исключением производных $\omega$ и ${\boldsymbol {k}}$ быстрой фазы $\theta$:

$$\partial _{t}\varphi \approx +\omega a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)+2\omega a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+3\omega a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,$$ и $${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)-2{\boldsymbol {k}}a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)-3{\boldsymbol {k}}a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots .$$

Эти приближения должны применяться к лагранжевой плотности $L$, и его среднее по фазе ${\bar {L}}.$

Усредненный лагранжиан для медленно меняющихся волн

Для чисто волнового движения лагранжиан $L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right)$ выражается через поле $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ и его производные. В усредненном методе Лагранжа сделанные выше предположения о поле $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ – и его производные – применяются для расчета лагранжиана. После этого лагранжиан усредняется по фазе волны. $\theta$:

$${\bar {L}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right){\text{d}}\theta .$$

На последнем этапе этот усредняющий результат ${\bar {L}}$ может быть выражена как усредненная лагранжева плотность ${\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)$ – которая является функцией медленно меняющихся параметров $\omega ,$ ${\boldsymbol {k}}$ и $a$ и не зависит от фазы волны $\theta$ сам.

Усредненная лагранжева плотность ${\mathcal {L}}$ теперь Уизем предлагает следовать среднему вариационному принципу :

$\delta \iint {\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t=0.$

Из вариаций ${\mathcal {L}}$ следовать динамическим уравнениям для медленно меняющихся волновых свойств.

Пример

Продолжая на примере нелинейного уравнения Клейна – Гордона, см. уравнения 4 и 5 , и применяя приведенные выше приближения для $\varphi ,$ $\partial _{t}\varphi$ и $\partial _{x}\varphi$ (для этого одномерного примера) в лагранжевой плотности, результат после усреднения по $\theta$ является:

$${\bar {L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}}\sigma a^{4}+\left(\omega ^{2}-k^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right)a_{2}^{2}+{\mathcal {O}}{\left(a^{6}\right)},$$где предполагалось, что в обозначении big-O , $a_{2}={\mathcal {O}}(a^{2})$ и $a_{3}={\mathcal {O}}(a^{3})$. Вариант ${\bar {L}}$ относительно $a_{2}$ приводит к $a_{2}=0.$ Таким образом, усредненный лагранжиан равен:

$${\mathcal {L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}}\sigma a^{4}+{\mathcal {O}}{\left(a^{6}\right)}.$$ ( 6 )

Для линейного волнового движения усредненный лагранжиан получается, если положить $\sigma$ равен нулю.

Система уравнений, вытекающих из усредненного лагранжиана

Применяя усредненный принцип Лагранжа, изменение по фазе волны $\theta$ приводит к сохранению волнового действия:

$$\partial _{t}\left(+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}\right)=0,$$

с $\omega =-\partial _{t}\theta$ и ${\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\nabla }}\theta$ в то время как фаза волны $\theta$ не появляется в усредненной лагранжевой плотности ${\mathcal {L}}$ из-за усреднения по фазе. Определив волновое действие как ${\mathcal {A}}\equiv +\partial {\mathcal {L}}/\partial \omega$ а поток волнового воздействия как ${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {k}}$ результат:

$$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0.$$

Уравнение волнового действия сопровождается уравнениями согласованности для $\omega$ и ${\boldsymbol {k}}$ которые:

$$\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$$ и $${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.$$

Изменение по амплитуде $a$ приводит к дисперсионному соотношению $\partial {\mathcal {L}}/\partial a=0.$

Пример

Продолжая рассматривать нелинейное уравнение Клейна – Гордона и используя вариационный принцип среднего в уравнении 6 , уравнение действия волны становится путем вариации относительно фазы волны $\theta :$$$\partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}\right)+\partial _{x}\left({\tfrac {1}{2}}ka^{2}\right)=0,$$а нелинейное дисперсионное соотношение следует из изменения по амплитуде $a:$$$\omega ^{2}=k^{2}+1+{\tfrac {3}{4}}\sigma a^{2}.$$

Итак, волновое действие ${\textstyle {\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}}$ и поток волнового воздействия ${\textstyle {\mathcal {B}}={\tfrac {1}{2}}ka^{2}.}$ Групповая скорость $v_{g}$ является $v_{g}\equiv {\mathcal {B}}/{\mathcal {A}}=k/\omega .$

Сохранение волнового действия

Усредненный лагранжиан получается интегрированием лагранжиана по фазе волны . В результате усредненный лагранжиан содержит только производные фазы волны $\theta$ (эти производные по определению являются угловой частотой и волновым числом) и не зависят от самой фазы волны. Таким образом, решения не будут зависеть от выбора нулевого уровня фазы волны. Следовательно, по теореме Нётер , изменение усредненного лагранжиана ${\bar {\mathcal {L}}}$ относительно фазы волны приводит к закону сохранения :

$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0,$

где

• $${\mathcal {A}}\equiv {\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \omega }}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left(\partial _{t}\theta \right)}},$$
• $${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta {\boldsymbol {k}}}}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left({\boldsymbol {\nabla }}\theta \right)}},$$

с ${\mathcal {A}}$ волновое действие и ${\boldsymbol {\mathcal {B}}}$ волнового действия поток . Дальше $\partial _{t}$ обозначает частную производную по времени, а ${\boldsymbol {\nabla }}$ — оператор градиента . По определению групповая скорость ${\boldsymbol {v}}_{g}$ дается:

$${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv {\boldsymbol {v}}_{g}{\mathcal {A}}.$$

Обратите внимание, что в общем случае энергия волнового движения не обязательно должна сохраняться, поскольку возможен обмен энергией со средним потоком. Полная энергия – сумма энергий волнового движения и среднего потока – сохраняется (при отсутствии работы внешних сил и диссипации энергии ).

Сохранение волнового действия также находится путем применения метода обобщенного лагранжева среднего (ОМЛ) к уравнениям совместного течения волн и среднего движения с использованием ньютоновской механики вместо вариационного подхода.

Связь с дисперсионным соотношением

Чисто волновое движение по линейным моделям всегда приводит к усредненной лагранжевой плотности вида: $${\mathcal {L}}=G(\omega ,{\boldsymbol {k}})a^{2}.$$

Следовательно, изменение по амплитуде: $\partial {\mathcal {L}}/\partial a=0$ дает $$G(\omega ,{\boldsymbol {k}})=0.$$

Таким образом, это оказывается дисперсионным уравнением для линейных волн, а усредненный лагранжиан для линейных волн всегда является дисперсионной функцией. $G(\omega ,{\boldsymbol {k}})$ раз больше квадрата амплитуды.

В более общем смысле, для слабо нелинейных и медленно модулированных волн, распространяющихся в одном измерении пространства и включающих эффекты дисперсии более высокого порядка, не пренебрегая производными по времени и пространству. $\partial _{t}a$ и $\partial _{x}a$ амплитуды $a(\mu x,\mu t)$ при использовании производных инструментов, где $\mu \ll 1$ – малый параметр модуляции – усредненная плотность Лагранжа имеет вид: $${\mathcal {L}}=G(\omega ,k)a^{2}+G_{2}(\omega ,k)a^{4}+{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\left(G_{\omega \omega }(\partial _{T}a)^{2}+2G_{\omega k}(\partial _{T}a)(\partial _{X}a)+G_{kk}(\partial _{X}a)^{2}\right),$$с медленными переменными $X=\mu x$ и $T=\mu t.$

Ссылки

Публикации Уизема по методу

Обзор можно найти в книге:

• Уизем, Великобритания (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-94090-9

Некоторые публикации Уизема по этому методу:

• Уизем, Великобритания (1965), «Общий подход к линейным и нелинейным дисперсионным волнам с использованием лагранжиана», Journal of Fluid Mechanics , 22 (2): 273–283, Bibcode : 1965JFM....22..273W , дои : 10.1017/S0022112065000745
• —— (1967а). «Нелинейная дисперсия водных волн». Журнал механики жидкости . 27 (2): 399–412. Бибкод : 1967JFM....27..399W . дои : 10.1017/S0022112067000424 .
• —— (1967b), «Вариационные методы и приложения к волнам на воде», Труды Лондонского королевского общества A: Mathematical and Physical Sciences , 299 (1456): 6–25, Bibcode : 1967RSPSA.299....6W , дои : 10.1098/rspa.1967.0119
• —— (1970), «Двухтактность, вариационные принципы и волны» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 44 (2): 373–395, Бибкод : 1970JFM....44..373W , doi : 10.1017/ S002211207000188X
• Хименес, Дж.; Уизем, Великобритания (1976), «Усредненный лагранжев метод для диссипативных волновых последовательностей», Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 349 (1658): 277–287, Bibcode : 1976RSPSA.349..277J , doi : 10.1098/rspa.1976.0073

Дальнейшее чтение

• Эндрюс, генеральный директор; Макинтайр, Мэн (1978), «О волновом воздействии и его родственниках» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 89 (4): 647–664, Бибкод : 1978JFM....89..647A , doi : 10.1017/ S0022112078002785
• Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. дои : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN  978-3-319-59694-5 .
• Бретертон, Флорида ; Гарретт, CJR (1968), «Волновые поезда в неоднородных движущихся средах», Труды Лондонского королевского общества A: Mathematical and Physical Sciences , 302 (1471): 529–554, Бибкод : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098 /rspa.1968.0034
• Крейк, ADD (1988), Волновые взаимодействия и потоки жидкости , Cambridge University Press, ISBN  9780521368292
• Дьюар, Р.Л. (1970), «Взаимодействие гидромагнитных волн с зависящей от времени неоднородной средой», Physics of Fluids , 13 (11): 2710–2720, Бибкод : 1970PhFl...13.2710D , doi : 10.1063/1.1692854 , ISSN   0031-9171
• Гримшоу, Р. (1984), «Волновое воздействие и взаимодействие волны со средним потоком с применением к стратифицированным сдвиговым потокам», Annual Review of Fluid Mechanics , 16 : 11–44, Bibcode : 1984AnRFM..16...11G , doi : 10.1146/annurev.fl.16.010184.000303
• Хейс, WD (1970), «Сохранение действия и модальное волновое действие», Труды Лондонского королевского общества A: Mathematical and Physical Sciences , 320 (1541): 187–208, Бибкод : 1970RSPSA.320..187H , doi : 10.1098/rspa.1970.0205
• Хейс, В. Д. (1973), «Групповая скорость и распространение волн с нелинейной дисперсией», Труды Лондонского королевского общества A: Mathematical and Physical Sciences , 332 (1589): 199–221, Бибкод : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098/rspa.1973.0021
• Холм, Д.Д. (2002), «Средние лагранжианы, усредненные лагранжианы и средние эффекты колебаний в гидродинамике», Chaos , 12 (2): 518–530, Bibcode : 2002Chaos..12..518H , doi : 10.1063/ 1.1460941 , PMID   12779582
• Янссен, PAEM (2004), Взаимодействие океанских волн и ветра , издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521465403
• Раддер, AC (1999), «Гамильтонова динамика водных волн», Лю, PL-F. (ред.), «Достижения в области прибрежной и океанической инженерии» , том. 4, World Scientific, стр. 21–59, ISBN.  9789810233105
• Седлецкий Ю.В. (2012), «Добавление дисперсионных членов к методу усредненного лагранжиана», Физика жидкостей , 24 (6): 062105 (15 стр.), Бибкод : 2012PhFl...24f2105S , doi : 10.1063/1.4729612
• Симмонс, В. Ф. (1969), «Вариационный метод для слабых резонансных волновых взаимодействий», Труды Лондонского королевского общества A: Mathematical and Physical Sciences , 309 (1499): 551–577, Бибкод : 1969RSPSA.309..551S , дои : 10.1098/rspa.1969.0056
• Виллебранд, Дж. (1975), «Перенос энергии в нелинейном и неоднородном случайном поле гравитационных волн», Journal of Fluid Mechanics , 70 (1): 113–126, Бибкод : 1975JFM....70..113W , doi : 10.1017/S0022112075001929
• Юэнь, ХК; Лейк, Б.М. (1975), «Нелинейные глубоководные волны: теория и эксперимент», Физика жидкостей , 18 (8): 956–960, Бибкод : 1975PhFl...18..956Y , doi : 10.1063/1.861268
• Юэнь, ХК; Лейк, Б.М. (1980), «Неустойчивость волн на глубокой воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 12 : 303–334, Бибкод : 1980AnRFM..12..303Y , doi : 10.1146/annurev.fl.12.010180.001511