Волна Стокса

Высота поверхности глубоководной волны согласно теории Стокса третьего порядка. Крутизна волны равна: ka = 0,3, где k , — волновое число a — волны амплитуда . Типичными для этих поверхностных гравитационных волн являются острые гребни и плоские впадины .

Испытание модели с периодическими волнами в резервуаре волнового буксира Лаборатории океанической инженерии Джера А. Чейза, Университет Нью-Гэмпшира .

Ундулярный медведь и детеныши у устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид под углом ко рту с самолета на высоте примерно 100 футов (30 м). Волны, следующие за фронтом ствола, выглядят как медленно модулированные волны Стокса.

В гидродинамике волна Стокса — это нелинейная и периодическая поверхностная волна на слое невязкой жидкости постоянной средней глубины.Этот тип моделирования зародился в середине 19-го века, когда сэр Джордж Стоукс , используя подход рядов возмущений , ныне известный как расширение Стокса , получил приближенные решения для нелинейного волнового движения.

Волновая теория Стокса имеет прямое практическое применение для волн на средней и глубокой воде. Используется при проектировании береговых и морских сооружений , для определения кинематики волн ( высоты свободной поверхности и скоростей течения ). Волновая кинематика впоследствии понадобится в процессе проектирования для определения волновых нагрузок на конструкцию. Для длинных волн (по сравнению с глубиной) – и при использовании лишь нескольких членов в разложении Стокса – его применимость ограничена волнами небольшой амплитуды . На таком мелководье теория кноидальных волн часто обеспечивает лучшие приближения периодических волн.

Хотя в строгом смысле волна Стокса относится к прогрессивной периодической волне постоянной формы, этот термин также используется в отношении стоячих волн. и даже случайные волны.

Примеры

В приведенных ниже примерах описываются волны Стокса под действием силы тяжести (без эффектов поверхностного натяжения ) в случае чисто волнового движения, то есть без окружающего среднего тока.

Волна Стокса третьего порядка на глубокой воде

Волна Стокса третьего порядка в глубокой воде под действием силы тяжести. Крутизна волны: ka = 0,3.

Согласно теории Стокса третьего порядка, три гармоники способствуют подъему поверхности глубоководной волны. Крутизна волны: ka = 0,3. Для наглядности вертикальный масштаб искажается в четыре раза по сравнению с горизонтальным.
Описание: * темно-синяя линия — это высота поверхности волны Стокса 3-го порядка, * черная линия — это основная компонента волны с волновым числом k ( длина волны λ, k = 2 π / λ ), * голубая линия — это гармоника на частоте 2 k (длина волны 1 ⁄ 2 λ), а * красная линия — гармоника на частоте 3 k (длина волны 1/3 л . )

Согласно теории Стокса третьего порядка, свободной поверхности высота η , потенциал скорости Φ, фазовая скорость (или скорость) c волны и фаза θ равны для прогрессивной поверхностной гравитационной волны на глубокой воде – т.е. слой жидкости имеет бесконечную глубина: $${\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}$$где

• х – горизонтальная координата;
• z - вертикальная координата с положительным направлением z вверх, противоположным направлению силы тяжести Земли , и z = 0, соответствующим средней высоте поверхности;
• т – время;
• а волны первого порядка — амплитуда ;
• k — угловое волновое число , k = 2 π / λ, где λ — длина волны ;
• ω — угловая частота , ω = 2 π / τ , где τ — период , и
• g — сила гравитации Земли, константа в этом приближении.

Параметр расширения ka известен как крутизна волны. Фазовая скорость увеличивается с увеличением нелинейности ka волн. H Высота волны , представляющая собой разницу между высотой поверхности η на гребне и впадине , составляет: $$H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).$$

Заметим, что члены второго и третьего порядка в потенциале скорости Φ равны нулю. Только в четвертом порядке появляются вклады, отклоняющиеся от теории первого порядка, т.е. теории волн Эйри . До третьего порядка поле орбитальной скорости u = ∇ Φ состоит из кругового движения вектора скорости в каждой позиции ( x , z ). В результате высота поверхности глубоководных волн в хорошем приближении трохоидальная , как уже отмечал Стоукс (1847) .

Стоукс далее заметил, что хотя (в этом эйлеровом описании) поле орбитальной скорости третьего порядка состоит из кругового движения в каждой точке, лагранжевы траектории частиц жидкости не представляют собой замкнутые круги. Это связано с уменьшением амплитуды скорости с увеличением глубины под поверхностью. Этот лагранжев дрейф жидких частиц известен как дрейф Стокса .

Волна Стокса второго порядка на произвольной глубине

Отношение S = a ₂ / a амплитуды a ₂ гармоники . с удвоенным волновым числом (2 k ) к амплитуде a гармоники основной согласно теории Стокса второго порядка для поверхностных гравитационных волн По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а по вертикальной оси — параметр Стокса S, разделенный на крутизну волны ka (при k = 2 π / λ ).
Описание: * синяя линия действительна для произвольной глубины воды, * пунктирная красная линия — предел мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и * штрихпунктирная зеленая линия — асимптотический предел для глубокой воды волны.

Высота поверхности η и потенциал скорости Φ, согласно теории поверхностных гравитационных волн второго порядка Стокса в слое жидкости средней глубины h : $${\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что для конечной глубины потенциал скорости Φ содержит линейный дрейф во времени, не зависящий от положения ( x и z ). И этот временной дрейф, и член с двойной частотой (содержащий sin 2θ) в Φ исчезают для глубоководных волн.

Параметры Стокса и Урселла

Дополнительная информация: параметр Урселла.

Отношение S амплитуд свободной поверхности второго и первого порядка - согласно теории Стокса второго порядка - равно: $${\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.$$

На глубокой воде при больших kh отношение S имеет асимптоту $$\lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.$$

Для длинных волн, т. е. малых kh , отношение S ведет себя как $$\lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},$$или, через высоту волны H = 2 a и длину волны λ = 2 π / k : $$\lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},$$с $${\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.$$

Здесь U — параметр Урселла (или параметр Стокса). Для длинных волн ( λ ≫ h ) малой высоты H , т.е. U ≪ 32π ² /3 ≈ 100 применима теория Стокса второго порядка. В противном случае для достаточно длинных волн ( λ > 7h ) значительной высоты H кноидальное волновое описание. более подходящим является Согласно Хеджесу, теория Стокса пятого порядка применима при U < 40 пятого порядка , в противном случае теория кноидальных волн предпочтительнее.

Дисперсионное соотношение третьего порядка

Нелинейное увеличение фазовой скорости c = ω / k – согласно теории Стокса третьего порядка для поверхностных гравитационных волн линейной теории и с использованием первого определения скорости Стокса – по сравнению с фазовой скоростью c ₀ . По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а по вертикальной оси — нелинейное увеличение фазовой скорости ( c − c ₀ ) / c _0, деленное на крутизну волны ka в квадрате. .
Описание: * сплошная синяя линия действительна для произвольной глубины воды, * пунктирная красная линия — предел мелкой воды (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), и * штрихпунктирная зеленая линия — асимптотический предел для глубокой воды. волны.

третьего порядка Для волн Стокса под действием силы тяжести дисперсионное соотношение – согласно первому определению скорости Стокса :

$${\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}$$

Это дисперсионное соотношение третьего порядка является прямым следствием отказа от вековых членов при вставке решения Стокса второго порядка в уравнения третьего порядка (ряда возмущений для задачи периодических волн).

В глубокой воде (короткая длина волны по сравнению с глубиной): $$\lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),$$и на мелководье (длинные волны по сравнению с глубиной): $$\lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).$$

Как показано выше , длинноволновое разложение Стокса для дисперсионного уравнения будет справедливо только для достаточно малых значений параметра Урселла: U ≪ 100 .

Обзор

Подход Стокса к нелинейной волновой задаче

Волны в следе Кельвина, создаваемые кораблем на проливе Маас-Ваалканаал в Нидерландах. Поперечные волны в этом следе Кельвина представляют собой почти плоские волны Стокса.

NOAA Корабль Delaware II в плохую погоду на берегу Джорджес-Бэнк . Хотя эти океанские волны являются случайными , а не волнами Стокса (в строгом смысле этого слова), они указывают на типичные острые гребни и плоские впадины , которые встречаются в нелинейных поверхностных гравитационных волнах.

Фундаментальная проблема поиска решений для поверхностных гравитационных волн заключается в том, что граничные условия должны применяться в положении свободной поверхности , которое заранее не известно и, таким образом, является частью искомого решения. Сэр Джордж Стоукс решил эту нелинейную волновую проблему в 1847 году, разложив соответствующие потенциальные величины потока в ряд Тейлора вокруг средней (или неподвижной) высоты поверхности. В результате граничные условия могут быть выражены через величины на средней (или неподвижной) высоте поверхности (которая фиксирована и известна).

Затем решение нелинейной волновой задачи (включая разложение в ряд Тейлора вокруг среднего или неподвижного возвышения поверхности) ищется с помощью ряда возмущений, известного как разложение Стокса , в терминах малого параметра, чаще всего крутизны волны. . Неизвестные члены разложения можно решать последовательно. Часто для обеспечения решения достаточной точности для инженерных целей требуется лишь небольшое количество членов. Типичным применением является проектирование береговых и морских сооружений , а также кораблей .

Еще одним свойством нелинейных волн является то, что фазовая скорость нелинейных волн зависит от высоты волны . В подходе, основанном на рядах возмущений, это легко приводит к ложному вековому изменению решения, что противоречит периодическому поведению волн. Стоукс решил эту проблему, также разложив дисперсионное соотношение в ряд возмущений с помощью метода, теперь известного как метод Линдстедта – Пуанкаре .

Применимость

По мнению Ле Мехо (1976), обоснованность нескольких теорий периодических волн на воде. Голубая область показывает диапазон применимости теории кноидальных волн ; светло-желтый для теории волн Эйри ; а пунктирные синие линии обозначают требуемый порядок в волновой теории Стокса. Светло-серая штриховка дает расширение дальности за счет численных аппроксимаций с использованием теории функции тока пятого порядка для высоких волн ( H > 1 ⁄ ч ( _разрыв ).

Волновая теория Стокса при использовании низкого порядка разложения возмущений (например, до второго, третьего или пятого порядка) справедлива для нелинейных волн на средней и глубокой воде, то есть для длин волн ( λ ), не больших по сравнению со средним значением. глубина ( ч ). На мелководье разложение Стокса низшего порядка нарушается (даёт нереалистичные результаты) при значительной амплитуде волны (по сравнению с глубиной). Тогда аппроксимации Буссинеска более подходящими будут . Дальнейшие аппроксимации волновых уравнений типа Буссинеска (многонаправленных) приводят – для одностороннего распространения волн – к уравнению Кортевега – де Фриза или уравнению Бенджамина – Боны – Махони . Подобно (почти) точным решениям в виде волн Стокса, эти два уравнения имеют решения в виде уединенных волн ( солитонов ), помимо решений периодических волн, известных как кноидальные волны .

Современные расширения

Уже в 1914 году Уилтон расширил разложение Стокса для глубоководных поверхностных гравитационных волн до десятого порядка, хотя и внес ошибки в восьмом порядке. Теория пятого порядка для конечной глубины была выведена Де в 1955 году. Для инженерного использования удобны формулировки Фентона пятого порядка, применимые как к первому , так и ко второму определению фазовой скорости (быстроты) Стокса. Разграничение того, когда теория Стокса пятого порядка предпочтительнее теории кноидальных волн пятого порядка , проводится для параметров Урселла ниже примерно 40.

В подходах Стокса к нелинейной волновой задаче возможен другой выбор системы отсчета и параметров разложения. В 1880 году Стоукс сам инвертировал зависимые и независимые переменные, взяв потенциал скорости и функцию тока в качестве независимых переменных, а координаты ( x , z ) в качестве зависимых переменных, причем x и z были горизонтальными и вертикальными координатами соответственно. Это имеет то преимущество, что свободная поверхность в системе отсчета, в которой волна устойчива (т. е. движется с фазовой скоростью), соответствует линии, на которой функция тока является постоянной. Тогда заранее известно расположение свободной поверхности, а не неизвестная часть решения. Недостатком является уменьшение радиуса сходимости разложения перефразированного ряда.

Другой подход заключается в использовании лагранжевой системы отсчета , следуя за жидкими участками . Лагранжевы формулировки демонстрируют улучшенную сходимость по сравнению с формулировками как в эйлеровой системе координат , так и в системе с потенциалом и функцией тока в качестве независимых переменных.

Точное решение для нелинейных чистых капиллярных волн постоянной формы и для бесконечной глубины жидкости было получено Крэппером в 1957 году. Обратите внимание, что эти капиллярные волны - будучи короткими волнами, вызванными поверхностным натяжением , если эффекты гравитации пренебрежимо малы - имеют острые впадины и плоские гребни. Это контрастирует с нелинейными поверхностными гравитационными волнами, которые имеют острые гребни и плоские впадины.

Некоторые интегральные свойства волн Стокса на глубокой воде в зависимости от крутизны волны. Крутизна волны определяется как отношение высоты волны H к длине волны λ. Свойства волны делаются безразмерными с использованием волнового числа k = 2π/ λ , гравитационного ускорения g жидкости и плотности ρ .
Показаны кинетической энергии плотность T , потенциальной энергии плотность V , плотность полной энергии E = T + V горизонтальной волны импульса , плотность I и относительное увеличение фазовой скорости c . Плотности энергии волн T , V и E интегрируются по глубине и усредняются по одной длине волны, поэтому они представляют собой энергии на единицу горизонтальной площади; плотность импульса волны I аналогична. Пунктирные черные линии показывают 1/16 ( кГн ). ² и 1/8 ( кГн ) ² , которые являются значениями интегральных свойств, полученных из (линейной) теории волн Эйри . Максимальная высота волны возникает при крутизне волны H / λ ≈ 0,1412 , выше которой периодические поверхностные гравитационные волны не существуют.
Обратите внимание, что показанные волновые свойства имеют максимум для высоты волны, меньшей максимальной высоты волны (см., например, Longuet-Higgins 1975 ; Cokelet 1977 ).

С помощью компьютерных моделей разложение Стокса для поверхностных гравитационных волн было продолжено Шварцем (1974) до высокого (117-го) порядка . Шварц обнаружил, что амплитуда a (или a ₁ первого порядка ) основной волны достигает максимума до того, как максимальная высота волны H. будет достигнута Следовательно, крутизна волны ka в терминах амплитуды волны не является монотонной функцией вплоть до самой высокой волны, и Шварц вместо этого использует kH в качестве параметра разложения. Чтобы оценить самую высокую волну на глубокой воде, Шварц использовал аппроксимации Паде и графики Домба – Сайкса , чтобы улучшить сходимость разложения Стокса.Расширенные таблицы волн Стокса на различных глубинах, рассчитанные другим методом (но в соответствии с результатами других), приведены у Уильямса ( 1981 , 1985 ).

Существует несколько точных взаимосвязей между интегральными свойствами, такими как кинетическая и потенциальная энергия , импульс горизонтальной волны и радиационное напряжение , как обнаружено Лонге-Хиггинсом (1975) . Для глубоководных волн он показывает, что многие из этих интегральных свойств имеют максимум до того, как достигается максимальная высота волны (что подтверждает выводы Шварца). Cokelet (1978) , используя метод, аналогичный методу Шварца, вычислил и свел в таблицу интегральные свойства для широкого диапазона конечных глубин воды (все они достигают максимума ниже самой высокой высоты волны). Кроме того, эти интегральные свойства играют важную роль в законах сохранения волн на воде согласно теореме Нётер .

В 2005 году Хаммак, Хендерсон и Сегур предоставили первые экспериментальные доказательства существования трехмерных прогрессивных волн постоянной формы на глубокой воде – то есть бипериодических и двумерных прогрессивных волн постоянной формы. Существование этих трехмерных устойчивых глубоководных волн было обнаружено в 2002 году в результате исследования бифуркации двумерных волн Стокса, проведенного Крейгом и Николлсом с использованием численных методов.

Конвергенция и нестабильность

Конвергенция

Сходимость разложения Стокса впервые была доказана Леви-Чивитой (1925) для случая волн малой амплитуды – на свободной поверхности жидкости бесконечной глубины. Вскоре это было распространено Струиком (1926) на случай конечной глубины и волн малой амплитуды.

Ближе к концу XX века было показано, что для волн конечной амплитуды сходимость разложения Стокса сильно зависит от постановки периодической волновой задачи. Например, обратная формулировка задачи периодических волн, использованная Стоксом, – с пространственными координатами как функцией потенциала скорости и функции тока – не сходится для волн большой амплитуды. В то время как другие формулировки сходятся гораздо быстрее, например, в эйлеровой системе отсчета (с потенциалом скорости или функцией тока как функцией пространственных координат).

Самая высокая волна

Волны Стокса максимальной высоты на глубокой воде под действием силы тяжести.

Максимальная крутизна волнения для периодических и распространяющихся глубоководных волн равна H / λ = 0,1410633 ± 4 · 10. ⁻⁷ , поэтому высота волны составляет около одной седьмой ( ⁠ 1/7 . ⁠ ) длины волны λ А поверхностные гравитационные волны этой максимальной высоты имеют острый гребень волны – с углом 120° (в области жидкости) – также для конечной глубины, как показал Стоукс в 1880 году.

Точная оценка наибольшей крутизны волн на глубокой воде ( H / λ ≈ 0,142 ) была сделана уже в 1893 году Джоном Генри Мичеллом с использованием численного метода. Более детальное исследование поведения самой высокой волны вблизи остроугольного гребня было опубликовано Малкольмом А. Грантом в 1973 году. Существование самой высокой волны на глубокой воде с остроугольным гребнем в 120° было доказано Джоном Толандом в 1978 году. Выпуклость η(x) между последовательными максимумами с остроугольным гребнем в 120° была независимо доказана CJ Amick et al. и Павел Иванович Плотников в 1982 году..

Высшую волну Стокса – под действием силы тяжести – можно аппроксимировать следующим простым и точным представлением свободной поверхности высоты η ( x , t ): $${\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],$$с $$A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,$$для $$-{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,$$

и сдвинуты по горизонтали на целое число длин волн, чтобы представить другие волны в регулярном цуге волн. Это приближение имеет точность везде с точностью до 0,7% по сравнению с «точным» решением для самой высокой волны.

Другое точное — хотя и менее точное, чем предыдущее — приближение движения жидкости на поверхности самой крутой волны — это аналогия с качанием маятника в старинных часах .

Большую библиотеку волн Стокса, рассчитанных с высокой точностью для случая бесконечной глубины, представленных с высокой точностью (не менее 27 цифр после десятичной точки) в виде аппроксимации Паде, можно найти на сайте StokesWave.org.

нестабильность

На большей глубине волны Стокса нестабильны. Это было показано Т. Бруком Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. Неустойчивость Бенджамина-Фейра представляет собой боковую или модуляционную неустойчивость, при которой модуляции боковой полосы распространяются в том же направлении, что и несущая волна ; волны становятся неустойчивыми на более глубокой воде при относительной глубине kh > 1,363 (где k — волновое число , а h — средняя глубина воды). Неустойчивость Беньямина-Фейра можно описать нелинейным уравнением Шредингера , вставив волну Стокса с боковыми полосами. Впоследствии, при более детальном анализе, было показано – теоретически и экспериментально – что волна Стокса и ее боковые полосы демонстрируют повторяемость Ферми-Пасты-Улама-Цингу : циклическое чередование модуляции и демодуляции.

В 1978 году Лонге-Хиггинс посредством численного моделирования полностью нелинейных волн и модуляций (распространяющихся в направлении несущей волны) представил детальный анализ области неустойчивости на глубокой воде: как для супергармоник, так и для возмущений на пространственных масштабы меньшие, чем длина волны $\lambda$) и субгармоники (для возмущений пространственных масштабов, превышающих $\lambda$). С увеличением амплитуды волны Стокса появляются новые режимы супергармонической неустойчивости. Появление новой ветви неустойчивости происходит при переходе энергии волны через экстремум. Детальный анализ механизма возникновения новых ветвей неустойчивости показал, что их поведение близко подчиняется простому закону, позволяющему с хорошей точностью находить темпы роста неустойчивости для всех известных и прогнозируемых ветвей. В исследованиях Лонге-Хиггинса двумерного волнового движения, а также последующих исследованиях трехмерных модуляций Маклином и др. были обнаружены новые типы неустойчивостей – они связаны с резонансными волновыми взаимодействиями между пятью (или более) волнами. компоненты.

Расширение Стокса

Основные уравнения потенциального потока

Во многих случаях колебательный поток в жидкости внутри поверхностных волн можно точно описать с помощью теории потенциального потока , за исключением пограничных слоев вблизи свободной поверхности и дна (где завихренность важна из-за эффектов вязкости , см. Пограничный слой Стокса ). Тогда скорость потока u можно описать как градиент скорости потенциала $\Phi$:

$$\mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi .$$ ( А )

Следовательно, в предположении несжимаемости течения поле скорости u бездивергентно скорости и потенциал $\Phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа

$$\nabla ^{2}\Phi =0$$ ( Б )

в жидком интерьере.

Область жидкости описывается с использованием трехмерных декартовых координат ( x , y , z ), где x и y — горизонтальные координаты, а z — вертикальная координата — с положительным направлением z , противоположным направлению гравитационного ускорения . Время обозначается буквой t . Свободная поверхность расположена в точке z = η ( x , y , t ) , а дно области жидкости находится в точке z = - h ( x , y ) .

на свободной поверхности Граничные условия для поверхностных гравитационных волн – с использованием описания потенциального потока – состоят из кинематического и динамического граничных условий. Кинематическое скорости граничное условие обеспечивает выполнение нормальной составляющей жидкости потока , $\mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }$ в матричных обозначениях на свободной поверхности равна нормальной составляющей скорости движения свободной поверхности z = η ( x , y , t ) :

$${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).$$ ( С )

Динамическое чуть граничное условие гласит, что без эффектов поверхностного натяжения атмосферное давление чуть выше свободной поверхности равно давлению жидкости ниже поверхности. Для нестационарного потенциального течения это означает, что уравнение Бернулли должно применяться на свободной поверхности. В случае постоянного атмосферного давления динамическое граничное условие принимает вид:

$${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}+g\,\eta =0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t),$$ ( Д )

принято равным нулю где постоянное атмосферное давление без ограничения общности .

Оба граничных условия содержат потенциал $\Phi$ а также высоту поверхности η . (Динамическое) граничное условие, выраженное только потенциалом $\Phi$ можно построить, взяв материальную производную динамического граничного условия и используя кинематическое граничное условие: $${\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}$$$${\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}$$

$${\color {Gray}{\Rightarrow \quad }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).$$ ( Э )

В нижней части слоя жидкости непроницаемость требует обращения в нуль нормальной составляющей скорости потока:

$${\frac {\partial \Phi }{\partial n}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial y}}\right)^{2}}}}\,\left\{{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial h}{\partial x}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial h}{\partial y}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right\}=0,\qquad {\text{ at }}z=-h(x,y),$$ ( Ф )

где h ( x , y ) — глубина слоя ниже исходной точки z = 0 , а n — составляющая координаты в направлении, нормальном к дну .

Для постоянных волн над горизонтальным дном средняя глубина h является постоянной, а граничное условие на дне становится: $${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.$$

Ряд Тейлора в граничных условиях свободной поверхности

Граничные условия свободной поверхности (D) и (E) применяются при еще неизвестном возвышении свободной поверхности z = η ( x , y , t ) . Их можно преобразовать в граничные условия на фиксированной высоте z = константа с помощью ряд Тейлора вокруг этой высоты. разложения поля потока в Без ограничения общности среднюю высоту поверхности, вокруг которой строятся ряды Тейлора, можно принять равной z = 0 . Это гарантирует, что расширение происходит вокруг возвышения, находящегося вблизи фактического возвышения свободной поверхности. Сходимость ряда Тейлора для стационарно-волнового движения малой амплитуды была доказана Леви-Чивитой (1925) .

Используются следующие обозначения: ряд Тейлора некоторого поля f ( x , y , z , t ) вокруг z = 0 – и вычисленный в точке z = η ( x , y , t ) – равен: $$f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots$$с нулевым индексом, означающим оценку при z = 0 , например: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) .

Применяя разложение Тейлора к граничному условию свободной поверхности (уравнение). (E) через потенциал Φ дает:

$${\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}+\left[{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +\cdots =0,\end{aligned}}$$ ( Г )

показывая члены с точностью до тройного произведения η , Φ и u , что требуется для построения разложения Стокса до третьего порядка O (( ka ) ³ ). Здесь ka — крутизна волны, k — характерное волновое число , а — характерная амплитуда волны для исследуемой задачи. Поля η , Φ и u считаются равными O ( ka ).

Динамическое граничное условие свободной поверхности (уравнение). (D) можно оценить в величинах при z = 0 как:

$${\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\,\eta \right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}{\biggr ]}_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{3}\Phi }{\partial t\,\partial z^{2}}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}\right)\right]_{0}+\cdots =0.\end{aligned}}$$ ( Ч )

Преимущества этих разложений в ряд Тейлора полностью проявляются в сочетании с подходом в виде рядов возмущений для слабонелинейных волн ( ka ≪ 1) .

Подход на основе рядов возмущений

Ряды возмущений выражаются в терминах малого параметра порядка ε ≪ 1 , который впоследствии оказывается пропорциональным (и порядка) наклону волны ka , см. решение ряда в этом разделе . Итак, возьмем ε = ka : $${\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}$$

При применении в уравнениях потока они должны быть действительными независимо от конкретного значения ε . Приравнивая по степеням ε , каждый член, пропорциональный ε в определенной степени, должен равняться нулю. В качестве примера того, как работает метод рядов возмущений, рассмотрим нелинейное граничное условие (G) ; становится: $${\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}$$

Итоговые граничные условия при z = 0 для первых трёх порядков таковы:

Первый заказ:

$${\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}=0,$$ ( Дж1 )

Второй заказ:

$${\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right),$$ ( Дж2 )

Третий заказ:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}$$ ( Дж3 )

Аналогичным образом – из динамического граничного условия (H) – условия при z = 0 в порядках 1, 2 и 3 становятся:

Первый заказ:

$${\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+g\,\eta _{1}=0,$$ ( К1 )

Второй заказ:

$${\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial t}}+g\,\eta _{2}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2},$$ ( К2 )

Третий заказ:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial t}}+g\,\eta _{3}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\\&-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z^{2}}}-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2}\right).\end{aligned}}$$ ( К3 )

Для линейных уравнений (A) , (B) и (F) метод возмущений приводит к серии уравнений, независимых от решений для возмущений других порядков:

$$\left.{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} _{j}&=&{\boldsymbol {\nabla }}\Phi _{j},\\[1ex]\nabla ^{2}\Phi _{j}&=&0,\\[1ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{j}}{\partial n}}&=&0\quad {\text{ at }}z=-h,\end{array}}\right\}\qquad {\text{for all orders }}j\in \mathbb {N} ^{+}.$$ ( Л )

Вышеупомянутые уравнения возмущений можно решать последовательно, т. е. начиная с первого порядка, затем переходя ко второму, третьему порядку и т. д.

Приложение к прогрессивным периодическим волнам постоянной формы.

Анимация крутых волн Стокса на глубокой воде с длиной волны , примерно в два раза превышающей глубину воды, в течение трех последовательных периодов волн . составляет Высота волны около 9,2% длины волны .
Описание анимации : Белые точки — это жидкие частицы, движущиеся во времени. В показанном здесь случае средняя эйлерова горизонтальная скорость волны ниже впадины равна нулю.

Волны постоянной формы распространяются с постоянной фазовой скоростью (или скоростью ), обозначаемой как c . Если установившееся волновое движение происходит в горизонтальном направлении x , то величины потока η и u не зависят отдельно от x и времени t , а являются функциями x − ct : $$\eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).$$

Кроме того, волны являются периодическими – и поскольку они также имеют постоянную форму – как в горизонтальном пространстве x, так и во времени t , с длиной волны λ и периодом τ соответственно. Обратите внимание, что Φ ( x , z , t ) сам по себе не обязательно является периодическим из-за возможности постоянного (линейного) дрейфа x и/или t : $$\Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),$$причем φ ( x , z , t ) – а также производные ∂ Φ /∂ t и ∂ Φ /∂ x – являются периодическими. Здесь β — средняя скорость потока ниже уровня желоба , а γ связана с гидравлическим напором , наблюдаемым в системе отсчета , движущейся с фазовой скоростью волны c (поэтому поток становится устойчивым в этой системе отсчета).

Чтобы применить расширение Стокса к прогрессивным периодическим волнам, полезно описать их с помощью ряда Фурье как функции фазы волны θ ( x , t ): $$\theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),$$

предполагая, что волны распространяются в направлении x . Здесь k = 2 π / λ — волновое число , ω = 2 π / τ — угловая частота и c = ω / k (= λ / τ ) — фазовая скорость .

Теперь возвышение свободной поверхности η ( x , t ) периодической волны можно описать как ряд Фурье : $$\eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).$$

Аналогично, соответствующее выражение для потенциала скорости Φ ( x , z , t ) имеет вид: $$\Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),$$

удовлетворяющее как уравнению Лапласа ∇ ² Φ = 0 во внутренней среде жидкости, а также граничное условие ∂ Φ /∂ z = 0 в слое z = − h .

данного значения волнового числа k параметры: An _Для , B _n (при n = 1, 2, 3, ... ), c , β и γ еще предстоит определить. Все они могут быть разложены в ряды возмущений по ε . Фентон (1990) предоставляет эти значения для волновой теории Стокса пятого порядка.

Для прогрессивных периодических волн производные по x и t функций f ( θ , z ) от θ ( x , t ) могут быть выражены как производные по θ : $${\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.$$

Важным моментом для нелинейных волн – в отличие от линейной теории волн Эйри – является то, что фазовая скорость c зависит еще и от амплитуды волны a , помимо ее зависимости от длины волны λ = 2π/ k и средней глубины h . Пренебрежение зависимостью c от амплитуды волны приводит к появлению вековых членов , к вкладам высших порядков в решение ряда возмущений. Стоукс (1847) уже применил необходимую нелинейную поправку к фазовой скорости с, чтобы предотвратить вековое поведение. Общий подход к этому теперь известен как метод Линдстедта – Пуанкаре . Поскольку волновое число k задано и, следовательно, фиксировано, нелинейное поведение фазовой скорости c = ω / k учитывается путем также разложения угловой частоты ω в ряд возмущений: $$\omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .$$

Здесь ω0 _k окажется связанным с волновым числом законом линейной дисперсии . Однако производные по времени через ∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θ теперь также дают вклады – содержащие ω ₁ , ω ₂ и т. д. – в основные уравнения более высоких порядков в ряду возмущений. Настраивая ω ₁ , ω ₂ и т. д., можно предотвратить вековое поведение. Для поверхностных гравитационных волн обнаружено, что ω ₁ = 0 , и первый ненулевой вклад в дисперсионное уравнение вносит ω ₂ (см., например, подраздел « Дисперсионное соотношение третьего порядка » выше).

Два определения Стокса скорости волны

Для нелинейных поверхностных волн вообще существует неоднозначность в разделении общего движения на волновую часть и среднюю часть. Как следствие, существует некоторая свобода в выборе фазовой скорости (быстроты) волны. Стоукс (1847) выделил два логических определения фазовой скорости, известные как первое и второе определения Стокса скорости волны:

1. Первое определение скорости волны, данное Стоксом , для чистого волнового движения имеет среднее значение горизонтальной эйлеровой скорости потока Ū _E в любом месте ниже уровня впадины , равное нулю. Из-за безвихревости потенциального потока, а также горизонтальности морского дна и периодичности средней горизонтальной скорости, средняя горизонтальная скорость является постоянной между уровнем дна и желоба. в первом определении Стокса волна рассматривается в системе отсчета , движущейся со средней горизонтальной скоростью Ū _E. Таким образом , Это выгодный подход, когда средняя эйлерова скорость потока Ū _{E , например, из измерений.} известна
2. Второе определение скорости волны, данное Стоксом, относится к системе отсчета, в которой средний горизонтальный массоперенос волнового движения равен нулю. Это отличается от первого определения из-за переноса массы в зоне всплеска , т. е. между уровнем впадины и гребня, в направлении распространения волны. Этот волновой перенос массы вызван положительной корреляцией между высотой поверхности и горизонтальной скоростью. В системе отсчета для второго определения Стокса перенос массы, вызванный волнами, компенсируется противоположным течением (поэтому Ū _E < 0 для волн, распространяющихся в положительном направлении x ). Это логическое определение волн, генерируемых в волновом лотке в лаборатории, или волн, движущихся перпендикулярно пляжу.

Как отметил Майкл Э. Макинтайр , средний горизонтальный массоперенос будет (почти) равен нулю для группы волн , приближающейся к стоячей воде, а также на глубокой воде массоперенос, вызванный волнами, уравновешиваемыми противоположным массопереносом при возврате. течение (подтекание). Это связано с тем, что в противном случае для ускорения водоема, в котором распространяется группа волн, потребуется большая средняя сила.

Ссылки

Сэр Джордж Габриэль Стоукс

• Стоукс, Г.Г. (1847), «К теории колебательных волн», Труды Кембриджского философского общества , 8 : 441–455.
  

Перепечатано в: Стоукс, Г.Г. (1880a), «К теории колебательных волн», Математические и физические статьи, Том I , Cambridge University Press, стр. 197–229, ISBN  9781001435534 , OCLC   314316422

• Стоукс, Г.Г. (1880b), «Дополнение к статье по теории колебательных волн», Математические и физические статьи, Том I , Cambridge University Press, стр. 314–326, ISBN  9781001435534 , OCLC   314316422

Другие исторические ссылки

• Крэппер, Г.Д. (1957), «Точное решение для прогрессивных капиллярных волн произвольной амплитуды», Journal of Fluid Mechanics , 2 (6): 532–540, Bibcode : 1957JFM.....2..532C , doi : 10.1017 /S0022112057000348 , S2CID   120377950
• Де, SC (1955), «Вклад в теорию волн Стокса», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 51 (4): 713–736, Бибкод : 1955PCPS...51..713D , doi : 10.1017/S0305004100030796 , S2CID   122721263
• Леви-Чивита, Т. (1925), «Строгое определение постоянных волн конечной величины», Mathematische Annalen , 93 : 264–314, doi : 10.1007/BF01449965 , S2CID   121341503
• Струик, DJ (1926), «Строгое определение периодических безвихревых волн в канале конечной глубины», Mathematische Annalen , 95 : 595–634, doi : 10.1007/BF01206629 , S2CID   122656179
• Лорд Рэлей (1917), «О периодических безвихревых волнах на поверхности глубокой воды» , Philosophical Magazine , Series 6, 33 (197): 381–389, doi : 10.1080/14786440508635653 .
  

Перепечатано в: Стратт, Джон Уильям (лорд Рэлей) (1920), Scientific Papers , vol. 6, Издательство Кембриджского университета, стр. 478–485, §419, OCLC   2316730.

• Уилтон, младший (1914), «О глубоководных волнах» , Philosophical Magazine , Series 6, 27 (158): 385–394, doi : 10.1080/14786440208635100

Более поздние (с 1960 г.)

• Кокелет, ЭД (1977), «Крутые гравитационные волны в воде произвольной одинаковой глубины», Philosophical Transactions of the Royal Society , 286 (1335): 183–230, Бибкод : 1977RSPTA.286..183C , doi : 10.1098/rsta. 1977.0113 , S2CID   119957640
• Крейк, ADD (2005), «Джордж Габриэль Стоукс о теории волн в воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 37 (1): 23–42, Bibcode : 2005AnRFM..37...23C , doi : 10.1146/annurev.fluid .37.061903.175836
• Диас, Ф.; Хариф, К. (1999), «Нелинейная гравитация и капиллярно-гравитационные волны», Annual Review of Fluid Mechanics , 31 : 301–346, Bibcode : 1999AnRFM..31..301D , doi : 10.1146/annurev.fluid.31.1. 301
• Фентон, JD (1985), «Теория Стокса пятого порядка для устойчивых волн», Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering , 111 (2): 216–234, CiteSeerX   10.1.1.461.6157 , doi : 10.1061 /(ASCE)0733-950X(1985)111:2(216)
  

И в (с учетом исправлений):

Фентон, JD (1990), «Нелинейные волновые теории», в LeMéhauté, B.; Хейнс, Д.М. (ред.), Ocean Engineering Science (PDF) , The Sea, vol. 9A, Wiley Interscience, стр. 3–25, ISBN.  9780674017399

• Лонге-Хиггинс, MS (1975), «Интегральные свойства периодических гравитационных волн конечной амплитуды», Proceedings of the Royal Society A , 342 (1629): 157–174, Бибкод : 1975RSPSA.342..157L , doi : 10.1098/ rspa.1975.0018 , S2CID   123723040
• Мэй, CC (1989), Прикладная динамика поверхностных волн океана , World Scientific, ISBN  9789971507893
• Шварц, Л.В. (1974), «Компьютерное расширение и аналитическое продолжение разложения Стокса для гравитационных волн», Journal of Fluid Mechanics , 62 (3): 553–578, Бибкод : 1974JFM....62..553S , doi : 10.1017 /S0022112074000802 , S2CID   120140832
• Шварц, ЛВ; Фентон, JD (1982), «Сильно нелинейные волны», Annual Review of Fluid Mechanics , 14 : 39–60, Bibcode : 1982AnRFM..14...39S , doi : 10.1146/annurev.fl.14.010182.000351
• Вехаузен, Й.В. , Лайтон, Э.В. (1960), Флюгге, С. и Трусделл, К. (ред.), «Поверхностные волны» , Энциклопедия физики , 9 : 653–667, §27, OCLC   612422741
• Уизем, Великобритания (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-94090-6
• Уильямс, Дж. М. (1981), «Ограничение гравитационных волн в воде конечной глубины», Philosophical Transactions of the Royal Society , Series A, 302 (1466): 139–188, Бибкод : 1981RSPTA.302..139W , doi : 10.1098/ rsta.1981.0159 , S2CID   122673867 и
  

Уильямс, Дж. М. (1985), Таблицы прогрессивных гравитационных волн , Питман, ISBN  978-0273087335

Внешние ссылки

• Цзюнь Чжан, апплет волн Стокса , Техасский университет A&M , получено 9 августа 2012 г.