Схема следования по Кельвину

Пт = 0,5

Пт = 1

Пт = 2

Моделирование следа Кельвина для гауссова искажения (показано рядом с следом) при различных числах Фруда

Водоплавающие птицы и лодки, движущиеся по поверхности воды, создают следы , впервые математически объясненные лордом Кельвином и известные сегодня как следы Кельвина . ^[1]

Этот шаблон состоит из двух линий следа, которые образуют плечи шеврона V, с источником следа в вершине буквы V. Для достаточно медленного движения каждая линия следа смещена от пути источника следа примерно на величину arcsin. (1/3) = 19,47° и состоит из перистых волн, расположенных под углом примерно 53° к траектории.

Форма

Внутренняя часть буквы V (с общим раскрытием 39°, как указано выше) заполнена поперечными изогнутыми волнами, каждая из которых напоминает дугу круга с центром в точке, лежащей на пути на расстоянии, вдвое превышающем расстояние дуги до следа. источник. Эта часть шаблона не зависит от скорости и размера источника следа в значительном диапазоне значений.

Однако на более высоких скоростях (в частности, при больших числах Фруда ) в игру вступают другие части закономерности. На вершинах поперечных волновых дуг их гребни разворачиваются и продолжаются внутри V-конуса и к источнику, образуя перекрывающуюся структуру более узких волн, направленных за пределы конуса. По мере увеличения скорости источника эти более короткие волны начинают доминировать и образуют вторую букву V внутри узора, которая становится уже, поскольку увеличенная скорость источника подчеркивает более короткие волны, находящиеся ближе к траектории источника. ^[2]

Углы в этой схеме не являются внутренними свойствами простой воды: любая изоэнтропическая и несжимаемая жидкость с низкой вязкостью будет демонстрировать то же явление. Более того, это явление не имеет ничего общего с турбулентностью. Все обсуждаемое здесь основано на линейной теории идеальной жидкости, ср. Теория волн Эйри .

Части рисунка могут быть скрыты из-за воздействия струи гребного винта и хвостовых вихрей за кормой лодки, а также из-за того, что лодка является крупным объектом, а не точечным источником. Вода не обязательно должна быть неподвижной, она может двигаться, как в большой реке, и тогда важным фактором является скорость воды относительно лодки или другого объекта, вызывающего след.

Формула

Эта закономерность следует из закона дисперсии глубоководных волн , который часто записывается как:

\omega ={\sqrt {gk}},

где

g

= сила гравитационного поля

ω

— угловая частота в радианах в секунду.

k

= угловое волновое число в радианах на метр

«Глубокий» означает, что глубина превышает половину длины волны.Из этой формулы следует, что групповая скорость глубоководной волны равна половине ее фазовой скорости , которая, в свою очередь, равна квадратному корню из длины волны.Двумя параметрами скорости, важными для структуры следа, являются:

v

— относительная скорость воды и поверхностного объекта, вызывающего след.

c

— фазовая скорость волны, меняющаяся в зависимости от частоты волны.

Формирование

По мере движения поверхностного объекта он непрерывно генерирует небольшие возмущения, представляющие собой сумму синусоидальных волн с широким спектром длин волн. Волны с самыми длинными длинами имеют фазовую скорость выше $v$ , рассеиваются в окружающей воде, и их нелегко наблюдать. или ниже $Однако другие волны с фазовой скоростью v$ усиливаются за счет конструктивной интерференции и образуют видимые ударные волны , стационарные в положении относительно лодки.

Угол $θ$ между фронтом фазовой ударной волны и траекторией объекта равен $θ$ = $arcsin(c/v)$ . Если c/v > 1 или < −1, более поздние волны не могут догнать более ранние волны и ударная волна не образуется.

На глубокой воде ударные волны образуются даже от медленно движущихся источников, поскольку волны с достаточно короткой длиной волны движутся медленнее. Эти ударные волны расположены под более острыми углами, чем можно было бы наивно ожидать, потому что именно групповая скорость определяет область конструктивной интерференции , а на глубокой воде групповая скорость составляет половину фазовой скорости .

Углы

Все ударные волны, каждая из которых сама по себе имела бы угол от 33° до 72°, сжимаются в узкую полосу следа с углами от 15° до 19°, с наиболее сильной конструктивной интерференцией на внешнем крае (угол arcsin( 1/3) = 19,47°), помещая два плеча буквы V в знаменитый след Кельвина.

Лаконичная геометрическая конструкция ^[3] демонстрирует, что поразительно, что этот групповой угол ударной волны относительно траектории лодки, 19,47°, для любого и всех вышеперечисленных $θ$ , фактически не зависит от $v$ , $c$ и $g$ ; он просто опирается на тот факт, что групповая скорость составляет половину фазовой скорости $c$ . На любой планете медленно плавающие объекты имеют «эффективное число Маха » 3.

Для медленных пловцов с низким числом Фруда геометрический аргумент Лайтхилла-Уитэма о том, что раскрытие шеврона Кельвина (клин, V-образный узор) является универсальным, выглядит следующим образом. Рассмотрим лодку, движущуюся справа налево с постоянной скоростью v , излучающую волны различной длины и, следовательно, волнового числа $k$ и фазовой скорости $c (k)$ , представляющих интерес, когда < v для ударной волны (ср., например, Звуковой удар или Черенков радиация ). Эквивалентно и более интуитивно понятно: зафиксируйте положение лодки и направьте воду в противоположном направлении, как сваю в реке.

Сначала сосредоточьтесь на заданном $k$ , излучая (фазовые) волновые фронты, стационарное положение которых относительно сборки лодки соответствует стандартному ударному клину, касающемуся всех них, ср. Рис.12.3.

Как указано выше, отверстия этих шевронов меняются в зависимости от волнового числа, причем угол $θ$ между фронтом фазовой ударной волны и траекторией лодки (воды) составляет $θ$ = arcsin( $c$ / v ) ≡ $π /2 - ψ$ . Очевидно, $ψ$ увеличивается с ростом $k$ . Однако эти фазовые шевроны не видны: наблюдаются соответствующие им групповые волновые проявления.

Рассмотрим один из фазовых кругов рис.12.3 для конкретного $k$ , соответствующего моменту времени $t$ в прошлом, рис.12.2. Его радиус равен QS , а сторона фазового шеврона — касательная к нему PS . Очевидно, PQ = $vt$ и SQ = $ct$ = $vt cos ψ$ , поскольку прямой угол PSQ помещает S на полукруг диаметра PQ .

Однако, поскольку групповая скорость равна половине фазовой скорости для любого и всех $k$ , видимая (групповая) точка возмущения, соответствующая S , будет T , средней точкой SQ . Точно так же он лежит на полукруге, теперь с центром в R , где, очевидно, RQ = PQ /4, эффективный групповой волновой фронт, излучаемый R , с радиусом v $t$ /4 теперь.

Примечательно, что результирующий угол волнового фронта с траекторией лодки, угол касательной от P к этому меньшему кругу, очевидно, имеет синус TR/PR =1/3 для любых и всех $k$ , $c$ , $ψ$ , $g$ и т. д. : Поразительно, что практически все параметры задачи выпали, за исключением зависимости глубоководной групповой скорости от фазовой скорости! Обратите внимание, что (в высшей степени условно) эффективный излучатель групповых помех движется медленнее, при напряжении 3 В /4.

Таким образом, суммируя все соответствующие значения $k$ и $t$ для формирования эффективной картины ударной волны (рис. 12.3), возникает универсальная картина следа Кельвина: полный видимый угол шеврона вдвое больше, 2arcsin(1/3) ≈ 39°.

Волновые фронты вейвлетов в следе имеют угол 53°, что примерно соответствует среднему значению 33° и 72°.Волновые компоненты с углами ударной волны от 73° до 90° доминируют внутри V. Они оказываются на полпути между точкой генерации и текущим местоположением источника следа. Этим объясняется кривизна дуг.

У этих очень коротких волн с предполагаемыми углами ударных волн ниже 33° отсутствует механизм усиления их амплитуд за счет конструктивной интерференции , и они обычно рассматриваются как небольшая рябь на вершине внутренних поперечных волн.

Природа двух типов гребней , продольных и поперечных, графически иллюстрируется картиной волновых фронтов движущегося точечного источника в собственной системе отсчёта . Радиусы волновых фронтов из-за дисперсии пропорциональны квадрату времени (отсчитываемого от момента излучения), а огибающая волновых фронтов представляет собой картину следа Кельвина.

Ссылки

^ Уильям Томсон (1887) «На корабельных волнах», Институт инженеров-механиков, Труды , 38 : 409–34; иллюстрации, стр. 641–49.
^ «Число Фруда корпуса» ( $Fr$ ) корабля $Fr = U / \sqrtgL —$ , где $U$ — скорость корабля, $g$ — ускорение свободного падения у земной поверхности, а $L$ длина корпуса корабля, характерная длина волны. Видеть Марк Рабо и Фредерик Муази (2013) «След корабля: угол Кельвина или Маха?», Physical Review Letters , 110 (21): 214503. Доступно в Интернете по адресу: Парижский университет, Юг ; Александр Дармон, Майкл Бензакен и Эли Рафаэль (2014) «Схема следа Кельвина при больших числах Фруда», Journal of Fluid Mechanics , 738 : R3-1 – R3-8. Доступно онлайн по адресу: ESPCI ParisTech.
^ ГБ Уизем (1974). Линейные и нелинейные волны (John Wiley & Sons Inc., 1974), стр. 409–10. Онлайн-сканирование.

[1] Уильям Томсон (1887) «На корабельных волнах», Институт инженеров-механиков, Труды , 38 : 409–34; иллюстрации, стр. 641–49.

[2] «Число Фруда корпуса» ( $Fr$ ) корабля $Fr = U / \sqrtgL —$ , где $U$ — скорость корабля, $g$ — ускорение свободного падения у земной поверхности, а $L$ длина корпуса корабля, характерная длина волны. Видеть Марк Рабо и Фредерик Муази (2013) «След корабля: угол Кельвина или Маха?», Physical Review Letters , 110 (21): 214503. Доступно в Интернете по адресу: Парижский университет, Юг ; Александр Дармон, Майкл Бензакен и Эли Рафаэль (2014) «Схема следа Кельвина при больших числах Фруда», Journal of Fluid Mechanics , 738 : R3-1 – R3-8. Доступно онлайн по адресу: ESPCI ParisTech.

[3] ГБ Уизем (1974). Линейные и нелинейные волны (John Wiley & Sons Inc., 1974), стр. 409–10. Онлайн-сканирование.

[1]

[2]

[3]