Теория возмущений

В математике и прикладной математике теория возмущений включает методы поиска приближенного решения проблемы, начиная с точного решения связанной, более простой проблемы. ^[1]^[2] Важнейшей особенностью метода является средний шаг, который разбивает проблему на «разрешимую» и «пертурбативную» части. ^[3] В теории возмущений решение выражается в виде степенного ряда по малому параметру $\varepsilon$ . ^[1]^[2] Первый член представляет собой известное решение решаемой задачи. Последовательные члены ряда при высших степенях $\varepsilon$ обычно становятся меньше. Приближенное «решение для возмущений» получается путем усечения ряда, обычно сохраняя только первые два члена: решение известной проблемы и поправку на возмущение «первого порядка».

Теория возмущений используется в широком диапазоне областей и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля . Теория возмущений (квантовая механика) описывает использование этого метода в квантовой механике . В целом эта область по-прежнему активно и тщательно исследуется в различных дисциплинах.

Описание

Теория возмущений разрабатывает выражение искомого решения в терминах формального степенного ряда, известного как ряд возмущений, по некоторому «малому» параметру, который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главным членом этого степенного ряда является решение точно решаемой задачи, а дальнейшие члены описывают отклонение решения из-за отклонения от исходной задачи. Формально имеем для приближения к полному решению $\ A\ ,$ ряд по малому параметру (здесь он называется $ε$ ), например:

A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots

В этом примере $\ A_{0}\$ было бы известным решением точно решаемой исходной задачи, а члены $\ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \$ представляют члены первого , второго , третьего и высшего порядка , которые можно найти итеративно с помощью механистической, но все более сложной процедуры. Для маленьких $\ \varepsilon \$ эти члены ряда более высокого порядка обычно (но не всегда) последовательно уменьшаются. Приблизительное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто сохраняя только первые два члена, выражая окончательное решение как сумму начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка».

A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0

Некоторые авторы используют обозначение большой буквы O для обозначения порядка ошибки в приближенном решении: $\;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.$ ^[2]

Если степенной ряд в $\ \varepsilon \$ сходится с ненулевым радиусом сходимости, то задача о возмущениях называется регулярной задачей о возмущениях. ^[1] В регулярных задачах на возмущения асимптотическое решение плавно приближается к точному решению. ^[1] Однако ряд возмущений также может расходиться, и усеченный ряд все равно может быть хорошим приближением к истинному решению, если он усечен в точке, в которой его элементы минимальны. Это называется асимптотическим рядом . Если ряд возмущений расходится или не является степенным рядом (например, если асимптотическое разложение должно включать нецелые степени $\ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\$ или отрицательные силы $\ \varepsilon ^{-2}\$ ) то задача возмущения называется сингулярной задачей возмущения . ^[1] Для анализа сингулярных задач возмущений было разработано множество специальных методов теории возмущений. ^[1]^[2]

Прототипический пример

Самое раннее использование того, что сейчас было бы названо теорией возмущений, было связано с неразрешимыми иначе математическими проблемами небесной механики : например, орбита Луны , которая движется заметно иначе, чем простой кеплеровский эллипс, из-за конкурирующей гравитации Земли и гравитации. Солнце . ^[4]

Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста , чтобы ее можно было точно решить. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс . В условиях ньютоновской гравитации эллипс абсолютно правильный, когда есть только два гравитирующих тела (скажем, Земля и Луна ), но не совсем правильный, когда есть три или более объектов (скажем, Земля, Луна , Солнце и остальная часть тела). Солнечная система ) и не совсем корректно, когда гравитационное взаимодействие формулируется с использованием формулировок общей теории относительности .

Пертурбативное расширение

Помня приведенный выше пример, следуем общему рецепту получения ряда возмущений. Пертурбативное расширение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получаются путем обеспечения согласованности между невозмущенным решением и уравнениями, полностью описывающими систему. Писать $\ D\$ для этого набора уравнений; то есть пусть символ $\ D\$ подождите, пока проблема будет решена. Довольно часто это дифференциальные уравнения, поэтому и буква «Д».

Процесс, как правило, механический, хотя и трудоемкий. Начинаем с записи уравнений $\ D\$ так что они разделились на две части: некоторый набор уравнений $\ D_{0}\$ которое можно решить точно, и некоторую дополнительную оставшуюся часть $\ \varepsilon D_{1}\$ для некоторых маленьких $\ \varepsilon \ll 1~.$ Решение $\ A_{0}\$ (к $\ D_{0}\$ ) известно, и ищут общее решение $\ A\$ к $\ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.$

Далее приближение $\ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\$ вставляется в $\ \varepsilon D_{1}$ . Это приводит к уравнению для $\ A_{1}\ ,$ которое в общем случае можно записать в замкнутом виде как сумму по интегралам по $\ A_{0}~.$ Таким образом, получена поправка первого порядка $\ A_{1}\$ и таким образом $\ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\$ является хорошим приближением к $\ A~.$ Это хорошее приближение именно потому, что игнорированные части имели размер $\ \varepsilon ^{2}~.$ Затем процесс можно повторить, чтобы получить поправки. $\ A_{2}\ ,$ и так далее.

На практике этот процесс быстро превращается в обилие терминов, которыми становится чрезвычайно трудно управлять вручную. Сообщается, что Исаак Ньютон сказал по поводу проблемы орбиты Луны : «От нее у меня болит голова». ^[5] Эта неуправляемость привела к тому, что теория возмущений превратилась в высокое искусство управления и записи этих членов более высокого порядка. Одним из фундаментальных прорывов в квантовой механике для управления расширением являются диаграммы Фейнмана , которые позволяют квантовомеханические представить ряды возмущений в виде эскиза.

Примеры

Теория возмущений использовалась в большом количестве различных областей физики и прикладной математики. Примеры «сборника уравнений» $D$ включать алгебраические уравнения , ^[6]дифференциальные уравнения (например, уравнения движения ^[7]и обычно волновые уравнения ), термодинамическая свободная энергия в статистической механике , перенос излучения, ^[8]и гамильтоновы операторы в квантовой механике .

Примеры типов решений, которые находятся пертурбативно, включают решение уравнения движения ( например , траектории частицы), среднее статистическое значение некоторой физической величины ( например , средней намагниченности) и энергию основного состояния кванта. механическая проблема.

Примеры точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, включают линейные уравнения , в том числе линейные уравнения движения ( гармонический осциллятор , линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или вообще гамильтонианы или свободные энергии). содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).

Примеры систем, которые можно решить с помощью возмущений, включают системы с нелинейными вкладами в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены высших степеней гамильтониана/свободной энергии.

Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений можно отображать (и манипулировать ими) с помощью диаграмм Фейнмана .

История

Теория возмущений была впервые разработана для решения трудноразрешимых проблем при расчете движения планет Солнечной системы. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объяснял гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавляется третье тело, возникает проблема: «Как каждое тело притягивает друг друга?» Орбитальные уравнения Кеплера решают уравнения гравитации Ньютона только в том случае, если последние ограничены взаимодействием только двух тел. Постепенно возрастающая точность астрономических наблюдений привела к возрастающим требованиям к точности решений уравнений гравитации Ньютона, что побудило многих выдающихся математиков 18 и 19 веков, особенно Лагранжа и Лапласа , расширить и обобщить методы теории возмущений.

Эти хорошо развитые методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых задач, возникших в ходе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20-го века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испускаться в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми . ^[9]^[10] Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, главным образом потому, что квантовая механика ограничена линейными волновыми уравнениями, а также потому, что квантовомеханическая нотация позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что облегчает их понимание. Это привело к взрывному росту числа применений, начиная от эффекта Зеемана и заканчивая сверхтонким расщеплением атома водорода .

Несмотря на более простые обозначения, теория возмущений в применении к квантовой теории поля по-прежнему легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмана , наблюдая, что многие члены регулярно повторяются. Эти термины можно заменить точками, линиями, волнистыми линиями и подобными знаками, каждый из которых обозначает термин, знаменатель, интеграл и т. д.; таким образом, сложные интегралы могут быть записаны в виде простых диаграмм без абсолютной двусмысленности относительно того, что они означают. Именно взаимно однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами придает им силу. Хотя изначально диаграммный метод был разработан для квантовой теории поля, оказывается, что он широко применим ко многим другим рядам теории возмущений (хотя и не всегда целесообразен).

Во второй половине XX века, по мере развития теории хаоса , стало ясно, что невозмущенные системы, вообще говоря, являются вполне интегрируемыми системами , а возмущенные — нет. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», тор КАМ каноническим примером которых является . В то же время было также обнаружено, что многие (довольно специальные) нелинейные системы , до которых раньше можно было добраться только с помощью теории возмущений, на самом деле полностью интегрируемы. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл ряда пертурбативов, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.

Улучшение понимания динамических систем , вытекающее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что было названо проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В XIX веке Пуанкаре заметил (как, возможно, и более ранние математики), что иногда члены 2-го и более высокого порядка в ряду возмущений имеют «малые знаменатели»: то есть они имеют общий вид $\ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\$ где $\ \psi _{n}\ ,$ $\ V\ ,$ и $\ \phi _{m}\$ — это некоторые сложные выражения, относящиеся к проблеме, которую необходимо решить, и $\ \omega _{n}\$ и $\ \omega _{m}\$ являются действительными числами; очень часто они являются энергией обычных мод . Проблема малого делителя возникает, когда разность $\ \omega _{n}-\omega _{m}\$ мал, что приводит к «взрыву» пертурбативной поправки , становящейся такой же или, возможно, большей, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: в этот момент она перестает работать и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально ряд пертурбативов представляет собой асимптотический ряд : полезное приближение для нескольких членов, но в какой-то момент оно становится менее точным, если добавить еще больше членов. Прорыв в теории хаоса стал объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Одно сигнализирует о присутствии другого.

Начало изучения движения планет

Поскольку планеты очень удалены друг от друга, а их масса мала по сравнению с массой Солнца, то силами гравитации между планетами можно пренебречь и движение планет в первом приближении считать происходящим по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел , причем двумя телами являются планета и Солнце. ^[11]

Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как на движение планеты вокруг Солнца влияют другие планеты. Это было источником проблемы трех тел ; так, при изучении системы Луна-Земля-Солнце в качестве «малого параметра» было выбрано соотношение масс Луны и Земли. Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения, что так называемые «константы», описывающие движение планеты вокруг Солнца, постепенно изменяются: они как бы «возмущаются» движением других планет и изменяются по мере функция времени; отсюда и название «теория возмущений». ^[11]

Теорию возмущений исследовали учёные-классики – Лаплас , Пуассон , Гаусс – в результате чего вычисления могли проводиться с очень высокой точностью. Открытие планеты Нептун в 1848 году Леверье , основанное на отклонениях в движении планеты Уран . Он отправил координаты Дж.Галле , который успешно наблюдал Нептун в свой телескоп – триумф теории возмущений. ^[11]

Порядки возмущения

Стандартное изложение теории возмущений дается с точки зрения порядка, в котором осуществляется возмущение: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, а также того, являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения . В единственном случае необходимо проявлять особую осторожность, и теория несколько более сложна.

По химии

Многие из методов квантовой химии ab initio напрямую используют теорию возмущений или являются тесно связанными методами. Неявная теория возмущений ^[12] с самого начала работает с полным гамильтонианом и никогда не задает оператор возмущения как таковой. Теория возмущений Мёллера–Плессе использует в качестве возмущения разницу между гамильтонианом Хартри–Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом. Энергия нулевого порядка представляет собой сумму орбитальных энергий. Энергия первого порядка - это энергия Хартри-Фока, а электронная корреляция включается во второй порядок или выше. Расчеты второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и их код включен в большинство программ квантовой химии ab initio . Близкий, но более точный метод — метод связанных кластеров .

Пересечение снаряда

( Пересечение оболочек sc) происходит в теории возмущений, когда траектории материи пересекаются, образуя сингулярность . ^[13] Это ограничивает предсказательную силу физического моделирования в небольших масштабах.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бендер, Карл М. (1999). Перспективные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений . Стивен А. Орзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-3069-2 . ОСЛК 851704808 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Холмс, Марк Х. (2013). Введение в методы возмущений (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-5477-9 . OCLC 821883201 .
^ Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Афелион Пресс. п. 107. ИСБН 978-145378-1470 .
^ Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая задача трех тел», Rev. Mod. Физ. 70, 589 - опубликовано 1 апреля 1998 г.
^ Кроппер, Уильям Х. (2004). Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга . Издательство Оксфордского университета . п. 34. ISBN 978-0-19-517324-6 .
^ «Л. А. Ромеро, «Теория возмущений для полиномов», конспект лекций, Университет Нью-Мексико (2013)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 апреля 2018 г. Проверено 30 апреля 2017 г.
^ Сергей Виницкий, «Теория возмущений ангармонических колебаний», Конспект лекций, LMU (2006).
^ Майкл А. Бокс, «Теория радиационных возмущений: обзор», Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106
^ Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Прентис Холл. п. 443. ИСБН 978-0-58235691-7 .
^ Дирак, ПАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D . дои : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. уравнения (24) и (32).
^ Jump up to: ^а ^б ^с Боголюбов Н. Н. младший (автор статьи). «Теория возмущений» . Энциклопедия математики (encyclepediaofmath.org) .
^ Король, Матча (1976). «Теория химической связи». Журнал Американского химического общества . 98 (12): 3415–3420. дои : 10.1021/ja00428a004 .
^ Рампф, Корнелиус; Хан, Оливер (01 февраля 2021 г.). «Пересечение оболочек во Вселенной ΛCDM» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 501 (1): L71–L75. arXiv : 2010.12584 . Бибкод : 2021MNRAS.501L..71R . дои : 10.1093/mnrasl/slaa198 . ISSN 0035-8711 .

Внешние ссылки

Ван ден Эйнден, Эрик . «Введение в регулярную теорию возмущений» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 20 сентября 2004 г.
Чоу, Карсон К. (23 октября 2007 г.). «Метод возмущений многих масштабов» . Схоларпедия . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Мартинес-Карранса, Дж.; Сото-Эгибар, Ф.; Моя-Сесса, Х. (2012). «Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике». Европейский физический журнал Д. 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Бибкод : 2012EPJD...66...22M . дои : 10.1140/epjd/e2011-20654-5 . S2CID 117362666 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бендер, Карл М. (1999). Перспективные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений . Стивен А. Орзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-3069-2 . ОСЛК 851704808 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Холмс, Марк Х. (2013). Введение в методы возмущений (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-5477-9 . OCLC 821883201 .

[General_Perturbations-3] Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Афелион Пресс. п. 107. ИСБН 978-145378-1470 .

[4] Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая задача трех тел», Rev. Mod. Физ. 70, 589 - опубликовано 1 апреля 1998 г.

[5] Кроппер, Уильям Х. (2004). Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга . Издательство Оксфордского университета . п. 34. ISBN 978-0-19-517324-6 .

[6] «Л. А. Ромеро, «Теория возмущений для полиномов», конспект лекций, Университет Нью-Мексико (2013)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 апреля 2018 г. Проверено 30 апреля 2017 г.

[7] Сергей Виницкий, «Теория возмущений ангармонических колебаний», Конспект лекций, LMU (2006).

[8] Майкл А. Бокс, «Теория радиационных возмущений: обзор», Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106

[9] Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Прентис Холл. п. 443. ИСБН 978-0-58235691-7 .

[10] Дирак, ПАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D . дои : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. уравнения (24) и (32).

[EoM-11] Jump up to: ^а ^б ^с Боголюбов Н. Н. младший (автор статьи). «Теория возмущений» . Энциклопедия математики (encyclepediaofmath.org) .

[12] Король, Матча (1976). «Теория химической связи». Журнал Американского химического общества . 98 (12): 3415–3420. дои : 10.1021/ja00428a004 .

[13] Рампф, Корнелиус; Хан, Оливер (01 февраля 2021 г.). «Пересечение оболочек во Вселенной ΛCDM» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 501 (1): L71–L75. arXiv : 2010.12584 . Бибкод : 2021MNRAS.501L..71R . дои : 10.1093/mnrasl/slaa198 . ISSN 0035-8711 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]